几何压轴大题（通用版含解析）

1、2020中考考点必杀500题专练13（几何压轴大题）（30道）1（2019安徽省中考模拟）已知如图1，在ABC中，ACB90，BCAC，点D在AB上，DEAB交BC于E，点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2，将BDE绕点B逆时针旋转（090），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC4，BE2，直接写出线段BF的范围【答案】（1）结论：FDFC，DFCF理由见解析；（2）结论不变理由见解析；（3）BF【解析】解：（1）结论：FDFC，DFCF理由：如图1中，ADEACE90，AFFE，DF

2、AFEFCF，FADFDA，FACFCA，DFEFDA+FAD2FAD，EFCFAC+FCA2FAC，CACB，ACB90，BAC45，DFCEFD+EFC2（FAD+FAC）90，DFFC，DFFC（2）结论不变理由：如图2中，延长AC到M使得CMCA，延长ED到N，使得DNDE，连接BN、BMEM、AN，延长ME交AN于H，交AB于OBCAM，ACCM，BABM，同法BEBN，ABMEBN90，NBAEBM，ABNMBE，ANEM，BANBME，AFFE，ACCM，CFEM，FCEM，同法FDAN，FDAN，FDFC，BME+BOM90，BOMAOH，BAN+AOH90，AHO90，ANM

3、H，FDFC（3）当点落在上时，取得最大值， 如图5所示，是的中点，又，即的最大值为图5当点落在延长线上时，取得长最小值，如图6所示，是的中点，又，即的最小值为图6综上所述，【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题2（2019山东省中考模拟）正方形中，E是边上一点，（1）将绕点A按顺时针方向旋转，使重合，得到，如图1所示.观察可知：与相等的线段是_，_.（2）如图2，正方形中，分别是边上的点，且，试通过旋转的方式说明：（3）在（2）题中，连接分

4、别交于，你还能用旋转的思想说明.【答案】（1）BF，AED；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】 (1)、ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到ABF，DE=BF，AFB=AED(2)、将ADQ绕点A按顺时针方向旋转90，则AD与AB重合，得到ABE，如图2，则D=ABE=90， 即点E、B、P共线，EAQ=BAD=90，AE=AQ，BE=DQ， PAQ=45， PAE=45 PAQ=PAE， APEAPQ（SAS）， PE=PQ， 而PE=PB+BE=PB+DQ， DQ+BP=PQ；(3)、四边形ABCD为正方形， ABD=ADB=45，如图，将ADN绕点A按顺时针方向

5、旋转90，则AD与AB重合，得到ABK，则ABK=ADN=45，BK=DN，AK=AN， 与（2）一样可证明AMNAMK，得到MN=MK，MBA+KBA=45+45=90， BMK为直角三角形， BK2+BM2=MK2， BM2+DN2=MN2考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质3（2019内蒙古自治区中考模拟）如图,ABC内接于O,AB是O的直径,CD平分ACB交O于点D,交AB于点F,弦AECD于点H,连接CE、OH.(1)延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC2=PBPA,求证:PC是O的切线;(2)求证:CFAE=ACBC;(

6、3)若=,O的半径是,求tanAEC和OH的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) tanAEC=，OH =1.【解析】(1)证明:PC2=PBPA,=,BPC=APC,PBCPCA,BAC=PCB,连接OC,如图所示,AO=OC,ACO=BAC,ACO=PCB.AB是O的直径,ACB=90,BCO+ACO=90,BCO+PCB=90,PCO=90.OC是半径,PC是O的切线.(2)证明:AB是O的直径,ACB=90.CD平分ACB,ACD=FCB=45.AECD,CAE=45=FCB.在ACE与CFB中,CAE=FCB,AEC=FBC,ACECFB,=,CFAE=ACBC. (3)作

7、FMAC于M,FNBC于N,CQAB于Q,延长AE、CB交于点K.CD平分ACB,FM=FN.SACF=ACFM=AFCQ,SBCF=BCFN=BFCQ,=,=.AB是O的直径,ACB=90且tanABC=.=且AEC=ABC,tanAEC=tanABC=. 设AC=3k,BC=2k,在RtACB中,AB2=AC2+BC2且AB=2,(3k)2+(2k)2=(2)2,k=2(k=-2舍去),AC=6,BC=4,FCB=45,CHK=90,K=45=CAE,HA=HC=HK,CK=CA=6.CB=4,BK=6-4=2,OA=OB,HA=HK,OH是ABK的中位线,OH=BK=1.【点睛】此题考查

8、了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用4（2017营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与CBM的平分线BF相交于点F （1）如图1，当点E在AB边得中点位置时： 通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ，请证明你的猜想；（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明

9、你的猜想【答案】（1）DE=EF；NE=BF；理由见解析；（2）DE=EF，理由见解析【解析】解：（1）DE=EF；NE=BF；理由如下：四边形ABCD为正方形，AD=AB，DAB=ABC=90，N，E分别为AD，AB中点， AN=DN=AD，AE=EB=AB，DN=BE，AN=AE，DEF=90，AED+FEB=90，又ADE+AED=90，FEB=ADE，又AN=AE，ANE=AEN，又A=90，ANE=45，DNE=180ANE=135，又CBM=90，BF平分CBM，CBF=45，EBF=135，在DNE和EBF中， DNEEBF（ASA），DE=EF，NE=BF（2）DE=EF，理由

10、如下：在DA边上截取DN=EB，连接NE，四边形ABCD是正方形，DN=EB，AN=AE，AEN为等腰直角三角形，ANE=45，DNE=18045=135，BF平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF， NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，在DNE和EBF中，DNEEBF（ASA）， DE=EF【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明DNE与EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键5（2019山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图1，在RtABC中，ABAC2，BAC90，点D为BC的中点，以

11、CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长【答案】（1）BE=AF；（2）无变化；（3）1或+1【解析】解：（1）在RtABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=AB=2，点D为BC的中点，AD=BC=，四边形CDEF是正方形，AF=EF=AD=，BE=AB=2，BE=AF，故答案为BE=AF；（2）无变化；如图2，在RtA

12、BC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在RtCEF中，sinFEC=，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BFEF=，由（2）知，BE=AF，AF=1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在RtABC中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=，在正方形CDEF中，FEC=FED=45，在Rt

13、CEF中，sinFEC= ， ，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB，ACFBCE， =，BE=AF，由（1）知，CF=EF=CD=，在RtBCF中，CF=，BC=2，根据勾股定理得，BF=，BE=BF+EF=+，由（2）知，BE=AF，AF=+1即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为1或+16（2019山东省中考模拟）如图1，在中，点、分别在边、上，连结，点、分别为、的中点（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是_，位置关系是_；（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面

14、内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为.【解析】解：（1）点、是、的中点，点、是、的中点，（2）结论：是等腰直角三角形证明：由旋转知，由三角形中位线的性质可知，是等腰三角形同（1）的方法得，、同（1）的方法得， 、是等腰直角三角形；（3）由（2）得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大且在顶点上面时，连接AM，AN，如图：在中，在中，故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）面积的最大值为【点睛】本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压

15、轴题目，综合性较强7（2018河南省中考模拟）已知：在中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作，交BE的延长线于F，连接CF求证：四边形ADCF是平行四边形；填空：当时，四边形ADCF是_形；当时，四边形ADCF是_形【答案】（1）见解析；（2）矩；菱.【解析】证明：， 在和中， 又，四边形ADCF为平行四边形；当时，四边形ADCF是矩形；当时，四边形ADCF是菱形故答案为矩，菱【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出是解题关键8（2019江苏省中考模拟）如图，矩形中，点在边的延长线上，连接，过点作的垂线，交于点，交边的延长线于点.（1）连接，若，求证

16、：四边形为菱形；（2）在（1）的条件下，求的长；（3）设，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）；（3），.【解析】解：（1）证明：BD=BE，BMDEDBN=EBN四边形ABCD是矩形，ADBC DNB=EBNDBN=DNBBD=DN又 BD=BEBE=DN又ADBC四边形DBEN是平行四边形又BD=BE 平行四边形DBEN是菱形（2）由（1）可得，BE=BD=10CE=BE-BC=2在RtDCE中，DE=2由题意易得MBC=EDC，又DCE=BCD=90BCMDCE BM=（3）由题意易得BNA=EDC，A=DCE=90NABDCE y=，其中0 x【点睛】

17、此题主要考查勾股定理和三角形相似的综合应用9（2019河南省中考模拟）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为 ：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（045），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H若AG=6，GH=2，则BC= 【答案】（1）四边形CEGF是正方形；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3

18、【解析】（1）四边形ABCD是正方形，BCD=90，BCA=45，GEBC、GFCD，CEG=CFG=ECF=90，四边形CEGF是矩形，CGE=ECG=45，EG=EC，四边形CEGF是正方形；由知四边形CEGF是正方形，CEG=B=90，ECG=45，GEAB，故答案为；（2）连接CG，由旋转性质知BCE=ACG=，在RtCEG和RtCBA中，=、=，=，ACGBCE，线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）CEF=45，点B、E、F三点共线，BEC=135，ACGBCE，AGC=BEC=135，AGH=CAH=45，CHA=AHG，AHGCHA，设BC=CD=AD=a，则AC=a

19、，则由得，AH=a，则DH=ADAH=a，CH=a，由得，解得：a=3，即BC=3，故答案为3【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.10（2018山东省中考模拟）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在ABC的外部作CED，使CED=90，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；（2）将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE

20、，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由【答案】(1)AF=AE；（2）AF=AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=AE，理由详见解析.【解析】解：（1）如图中，结论：AF=AE理由：四边形ABFD是平行四边形，AB=DF，AB=AC，AC=DF，DE=EC，AE=EF，DEC=AEF=90，AEF是等腰直角三角形， AF=AE（2）如图中，结论：AF=AE理由：连接EF，DF交BC于K四边形ABFD是平行四边形，ABDF，DKE=ABC=45，EK

21、F=180DKE=135，ADE=180EDC=18045=135，EKF=ADE，DKC=C，DK=DC，DF=AB=AC，KF=AD， 在EKF和EDA中， ，EKFEDA， EF=EA，KEF=AED，FEA=BED=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE（3）如图中，结论不变，AF=AE理由：连接EF，延长FD交AC于KEDF=180KDCEDC=135KDC，ACE=（90KDC）+DCE=135KDC，EDF=ACE，DF=AB，AB=AC，DF=AC在EDF和ECA中，EDFECA，EF=EA，FED=AEC，FEA=DEC=90，AEF是等腰直角三角形，AF=AE【点睛】本题

22、考查四边形综合题，综合性较强11（2019哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，CDE的平分线交AM延长线于点F(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM1：2，BE，求AB的长；(2)如图2，若DADE，求证：BF+DFAF【答案】(1)AB6；(2)证明见解析.【解析】解：(1)设BMx，则CM2x，BC3x，BABC，BA3x在RtABM中，E为斜边AM中点，AM2BE2由勾股定理可得AM2MB2+AB2，即40 x2+9x2，解得x2AB3x6(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DPAF于P点

23、DF平分CDE，12DEDA，DPAF341+2+3+490，2+345DFP904545AHAFBAF+DAF90，HAD+DAF90，BAFDAH又ABAD，ABFADH(SAS)AFAH，BFDHRtFAH是等腰直角三角形，HFAFHFDH+DFBF+DF，BF+DFAF【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解决问题的关键.12（2017湖北省中考模拟）如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H(1) 求证：HEHG(2) 如图2，当B

24、EAB时，过点A作APDE于点P连接BP，求的值(3) 在(2)的条件下，若AD2，ADE30，则BP的长为_ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）BP的长为【解析】（1）延长BC至M，且使CMBE，连接AM，ABMDCE（SAS）DECAMBEBCM，BGCGG为EM的中点FG为AEM的中位线FGAMHGEAMBHEGHEHG(2) 过点B作BQBP交DE于Q由八字型可得：BEQBAPBEQBAP（ASA）PAQE(3) ADECED30CECDBEBCCD2CD，CDDE2CDADE30APEQ1，DPPQ1BP13（2019陕西省中考模拟）（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边

25、三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE填空：AEB的度数为 ；线段AD、BE之间的数量关系为 （2）拓展研究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A、D、E在同一条直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD2，若点P满足PD2，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点A到BP的距离为或【解析】解：（1）如图1ACB和DCE均为等边三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=60，ACD=BCE在ACD和

26、BCE中，ACDBCE（SAS），ADC=BECDCE为等边三角形，CDE=CED=60点A，D，E在同一直线上，ADC=120，BEC=120，AEB=BECCED=60故答案为60ACDBCE，AD=BE故答案为AD=BE（2）AEB=90，AE=BE+2CM理由：如图2ACB和DCE均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD=BCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，ADC=BECDCE为等腰直角三角形，CDE=CED=45点A，D，E在同一直线上，ADC=135，BEC=135，AEB=BECCED=90CD=CE，CMDE，DM=ME

27、DCE=90，DM=ME=CM，AE=AD+DE=BE+2CM（3）点A到BP的距离为或理由如下：PD=1，点P在以点D为圆心，1为半径的圆上BPD=90，点P在以BD为直径的圆上，点P是这两圆的交点当点P在如图3所示位置时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交BP于点E，如图3四边形ABCD是正方形，ADB=45AB=AD=DC=BC=，BAD=90，BD=2DP=1，BP=BPD=BAD=90，A、P、D、B在以BD为直径的圆上，APB=ADB=45，PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AHBP，由（2）中的结论可得：BP=2AH+

28、PD，=2AH+1，AH=当点P在如图3所示位置时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交PB的延长线于点E，如图3同理可得：BP=2AHPD，=2AH1，AH=综上所述：点A到BP的距离为或 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键14（2019浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（4，6）

29、，点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PECP交AB于点D，且PEPC，过点P作PFOP且PFPO（点F在第一象限），连结FD、BE、BF，设OPt（1）直接写出点E的坐标（用含t的代数式表示）： ；（2）四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；（3）BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，说明理由【答案】(1)、（t+6，t）；(2)、当t=2时，S有最小值是16；(3)、理由见解析【解析】（1）如图所示，过点E作EGx轴于点G，则COP=PGE=90，由题意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，PECP、PFOP，CPE

30、=FPG=90，即CPF+FPE=FPE+EPG，CPF=EPG，又COOG、FPOG，COFP，CPF=PCO，PCO=EPG，在PCO和EPG中，PCO=EPG，POC=EGP，PC=EP，PCOEPG（AAS），CO=PG=6、OP=EG=t，则OG=OP+PG=6+t，则点E的坐标为（t+6，t），（2）DAEG，PADPGE，AD=t（4t），BD=ABAD=6t（4t）=t2t+6，EGx轴、FPx轴，且EG=FP，四边形EGPF为矩形，EFBD，EF=PG，S四边形BEDF=SBDF+SBDE=BDEF=（t2t+6）6=（t2）2+16，当t=2时，S有最小值是16；（3）假设

31、FBD为直角，则点F在直线BC上，PF=OPAB，点F不可能在BC上，即FBD不可能为直角；假设FDB为直角，则点D在EF上，点D在矩形的对角线PE上，点D不可能在EF上，即FDB不可能为直角；假设BFD为直角且FB=FD，则FBD=FDB=45，如图2，作FHBD于点H，则FH=PA，即4t=6t，方程无解，假设不成立，即BDF不可能是等腰直角三角形15（2019江西省中考模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：操作发现在等腰ABC中，ABAC，分别以AB和AC为腰，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则下列结论正确的是

32、 （填序号即可）AFBC：AFBC；整个图形是轴对称图形；DEBC、数学思考在任意ABC中，分别以AB和AC为腰，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程类比探索在任意ABC中，仍分别以AB和AC为腰，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图所示，连接DE，其中F是DE的中点，连接AF，试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由【答案】操作发现：；数学思考：AFBC，AFBC，理由见解析；类比探索：AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由见解析【解析】操作发现：如图1，延长FA交BC于GAB

33、D和ACE是等腰直角三角形，且BAD=CAE=90，AB=AD，AC=AEAB=AC，AD=AEF是DE的中点，AFDE，DAF=EAF，BAF=CAFAB=AC，AF=AF，FBAFCA（SAS），FB=FC，FG是BC的垂直平分线，即FGBC，AFBC，故正确；AGB=AFD=90，BAG=FDA，AFDBGA（AAS），AF=BGBC，故正确；AFD=AGC=90，DEBC，故正确；根据前面的证明可以得出将图形1，沿FG对折左右两部分能完全重合，整个图形是轴对称图形，故正确，结论正确的有：故答案为：；数学思考：结论：AFBC，AFBC，理由是：如图2，延长AF至M，使FM=AF，连接DM

34、、EM，延长FA交BC于GDF=EF，四边形DAEM是平行四边形，AD=EM=AB，ADEM，DAE+AEM=DAE+BAC=180，BAC=AEMAC=AE，CABAEM（SAS），AM=BC=2AF，AME=CBA，即AFBCADEM，DAM=AME=CBABAD=90，DAM+BAG=90，CBA+BAG=AGB=90，AFBC；类比探索：AF和BC的数量和位置关系不发生改变，理由是：如图3，延长AF至M，使AF=FM，连接EM、DM，设AF交BC于NEF=DF，四边形AEMD是平行四边形，AE=DM=ACBAD+EAC=180，BAC+EAD=180AEDM，ADM+EAD=180，A

35、DM=BACAB=AD，ABCDAM（SAS），AM=BC=2AF，DAM=ABC，AFBCDAM+BAF=ABC+BAF=90，ANB=90，AFBC【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时运用类比的方法：作辅助线构建平行四边形是解答本题的关键16（2017湖北省中考模拟）如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记BCE=，连接BE，DE，过点C作CFDE于F，交直线BE于H（1）当=60时，如图1，则BHC= ；（2）当4590，如图2，线段BH、EH、CH之间存在一种特定的

36、数量关系，请你通过探究，写出这个关系式： （不需证明）；（3）当90180，其它条件不变（如图3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明【答案】（1）45；（2）BH+EH=CH；（3）不成立，BHEH=CH【解析】解：（1）作CGBH于G，如图1所示：四边形ABCD是正方形，CB=CD，BCD=90，由旋转的性质得：CE=CB，BCE=60，CD=CE，BCG=ECG=BCE=30CFDE，ECF=DCF=DCE，GCH=（BCE+DCE）=90=45；故答案为45；（2）BH+EH=CH理由如下：作CGBH于G，如图2所示：同（1）得：B

37、HC=45，CGH是等腰直角三角形，CH=GHCB=CE，CGBE，BG=EG=BE，BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=CH；故答案为BH+EH=CH；（3）当90180，其它条件不变，（2）中的关系式不成立，BHEH=CH；理由如下：作CGBH于G，如图3所示：同（2）得：BHC=45，CGH是等腰直角三角形，CH=GH，BG=EG=BE，BHEH=BG+GHEH=BG+EGEHEH=2GH=CH点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度17（2018山东省中考模拟）矩形ABCD中，DE平

38、分ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PEPD），PMPD，PM交AD边于点M（1）若点F是边CD上一点，满足PFPN，且点N位于AD边上，如图1所示求证：PN=PF；DF+DN=DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PFPN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2），证明见解析【解析】解：（1）四边形ABCD是矩形，ADC=90又DE平分ADC，ADE=EDC=45；PMPD，DMP=45，DP=MPPMPD，PFPN，MPN+NPD=NPD+DPF=90，MPN=DPF在

39、PMN和PDF中， ，PMNPDF（ASA），PN=PF，MN=DF；PMPD，DP=MP，DM2=DP2+MP2=2DP2，DM=DP又DM=DN+MN，且由可得MN=DF，DM=DN+DF，DF+DN=DP；（2）理由如下： 过点P作PM1PD，PM1交AD边于点M1，如图，四边形ABCD是矩形，ADC=90又DE平分ADC，ADE=EDC=45；PM1PD，DM1P=45，DP=M1P，PDF=PM1N=135，同（1）可知M1PN=DPF在PM1N和PDF中，PM1NPDF（ASA），M1N=DF，由勾股定理可得：=DP2+M1P2=2DP2，DM1DPDM1=DNM1N，M1N=DF

40、，DM1=DNDF，DNDF=DP【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识在每个问题中，构造全等三角形是解题的关键，注意勾股定理的应用本题考查了知识点较多，综合性较强，难度适中18（2019云南省中考模拟）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC；（2）如图2，求证：BP=BF；当AD=25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP=9时，求BEEF的值【答案】（1）证

41、明见解析；（2）证明见解析；108. 【解析】（1）在矩形ABCD中，A=D=90，AB=DC，E是AD中点，AE=DE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC=90，BPC沿PC折叠得到GPC，PGC=PBC=90，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；当AD=25时，BEC=90，AEB+CED=90，AEB+ABE=90，CED=ABE，A=D=90，ABEDEC，设AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，

42、ECFGCP，设BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如图，连接FG，GEF=BAE=90，BFPG，BF=PG=BP，BPGF是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=129=108【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键19（2018广东省中考模拟）已知：如图1在RtABC中，C=90，AC=8cm，BC=6cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动，速度为lc

43、m/s；连接PQ，设运动的时间为t秒（0t5），解答下列问题：（1）当为t何值时，PQBC；（2）设AQP的面积为y（cm2），求y关于t的函数关系式，并求出y的最大值；（3）如图2，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，是否存在某时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）当t=时，PQBC；（2）（t）2+，当t=时，y有最大值为；（3）存在，当t=时，四边形PQPC为菱形【解析】（1）在RtABC中，AB=10，BP=2t，AQ=t，则AP=102t，PQBC，APQABC，=，即=，解得t=，当t=时，PQBC（2）过点P作P

44、DAC于D，则有APDABC，=，即=，PD=6t，y=t（6t）=（t）2+，当t=时，y有最大值为（3）存在理由：连接PP，交AC于点O四边形PQPC为菱形，OC=CQ，APOABC，=，即=，OA=（5t），8（5t）=（8t），解得t=，当t=时，四边形PQPC为菱形【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题20（2018江苏省中考模拟）如图1，在矩形ABCD中，AD3，DC4，动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作PQ

45、AC交AD于Q，将PDQ沿PQ翻折得到PQE. 设点P的运动时间为t（s）（1）当点E落在边AB上时，t的值为 ；（2）设PQE与ADC重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式；（3）如图2，以PE为直径作O当O与AC边相切时，求CP的长【答案】（1）（2）s=（当0t2），s=（2t4）（3） 【解析】解：（1）过P作PFBA于F在ADC中，sinACD=，cosACD=PQCA，QPD=ACD，tanACD=PD=PE=t，QD=，PQ=，EQ=QD=，AQ=在EFP中，PF=3，PE=t，EF=PEQ=90，FEP+EPF=90，AEQ+EQA=90，FEP=EQA，cosFEP=cos

46、EQA，解得：t=；（2）当E刚好在CA上时，如图3PQCA，1=4，2=33=4，1=2，PC=PEPE=PD=t，PC=PD=t，2t=4，解得：t=2当时，如图1，S=SEPQ=SPDQ=PDQD=；当时，如图4，由（2）可知，PM=PC=4-t，EM=t-（4-t）=2t4ACPQ，EMNEPQ， SEPQ=SPDQ=PDQD=， ，S=-=综上所述：S=（3）如图，设切点为H，作PGAC于G，连接HO并延长交PQ于F设CP5x，则PG3x，PDPE45x，OF OP， HFOHOFOPOF OP PD（ 45x ） （ 45x ）3x，解得：x ，CP5x点睛：本题是四边形的综合题解

47、答时要充分利用折叠的性质，解题的关键是利用相等的角的三角函数值相等21（2019山东省中考模拟）ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为： BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请

48、求出GE的长【答案】（1）CFBD，BC=CF+CD；（2）成立，证明详见解析；（3）.【解析】解：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，B=ACF，ACB+ACF=90，即CFBD；DABFAC，CF=BD，BC=BD+CD，BC=CF+CD；（2）成立，正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC，B=ACF，CF=BDACB+ACF=90，即CFBD；BC=BD+CD，BC=CF+CD；（3）解：过A作AHBC于H，过E作EMBD于M，ENCF于N，BAC=90，

49、AB=AC，BC=AB=4，AH=BC=2，CD=BC=1，CH=BC=2，DH=3，由（2）证得BCCF，CF=BD=5，四边形ADEF是正方形，AD=DE，ADE=90，BCCF，EMBD，ENCF，四边形CMEN是矩形，NE=CM，EM=CN，AHD=ADC=EMD=90，ADH+EDM=EDM+DEM=90，ADH=DEM，在ADH与DEM中，ADHDEM，EM=DH=3，DM=AH=2，CN=EM=3，EN=CM=3，ABC=45，BGC=45，BCG是等腰直角三角形，CG=BC=4，GN=1，EG=考点：四边形综合题.22（2019四川省成都市簇锦中学中考模拟）如图，四边形ABCD

50、的顶点在O上，BD是O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AHCE，垂足为点H，已知ADEACB（1）求证：AH是O的切线；（2）若OB4，AC6，求sinACB的值；（3）若，求证：CDDH【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，ACBADB，ADEACB，ADEADB，BD是直径，DABDAE90，在DAB和DAE中， ，DABDAE，ABAE，又OBOD，OADE，又AHDE，OAAH，AH是O的切线；（2）解：由（1）知，EDBE，DBEACD，EACD，AEACAB6在RtABD中，AB6，BD8，ADE

51、ACB，sinADB，即sinACB；（3）证明：由（2）知，OA是BDE的中位线，OADE，OADECDFAOF，CDOADE，即CDCE，ACAE，AHCE，CHHECE，CDCH，CDDH【点睛】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键23（2019浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(3，4)，P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B 三点的圆交 x 轴正半轴于点 C，连结 AB, PC，BC，设 OP=m.（1）求证：当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形.（2）连结 PB，求 ta

52、nBPC 的值.（3）记该圆的圆心为 M，连结 OM，BM，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m 的值.（4）作点 O 关于 PC 的对称点O ，在点 P 的整个运动过程中，当点O 落在APB 的内部 (含边界)时，请写出 m 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）tanBPC=；（3）m=或 m=；（4）0m或 m=【解析】（1）COA=90，PC是直径，PBC=90A（0，4）B（3，4），ABy轴，当A与P重合时，OPB=90，四边形POCB是矩形；（2）连结OB，（如图1）BPC=BOCABOC，ABO=BOC，BPC=BOC=ABO，tanBPC=tanA

53、BO；（3）PC为直径，M为PC中点如图2，当OPBM时，延长BM交x轴于点NOPBM，BNOC于N，ON=NC，四边形OABN是矩形，NC=ON=AB=3，BN=OA=4设M半径为r，则BM=CM=PM=r，MN=BNBM=4rMN2+NC2=CM2，（4r）2+32=r2解得：r，MN=4M、N分别为PC、OC中点，m=OP=2MN；如图3，当OMPB时，BOM=PBOPBO=PCO，PCO=MOC，OBM=BOM=MOC=MCO在BOM与COM中，BOM=COM，OBM=OCM，BM=CM，BOMCOM（AAS），OC=OB5AP=4m，BP2=AP2+AB2=（4m）2+32ABO=B

54、OC=BPC，BAO=PBC=90，ABOBPC，PC，PC2BP2（4m）2+32又PC2=OP2+OC2=m2+52，（4m）2+32=m2+52解得：m或m=10（舍去）综上所述：m或m（4）点O与点O关于直线对称，POC=POC=90，即点O在圆上当O与O重合时，得：m=0；当O落在AB上时，得：m；当O与点B重合时，得：m；0m或m【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论第（2）题关键是把BPC进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中

55、已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点O到达APB各边上为特殊位置求出m，再讨论m的范围24（2017内蒙古自治区中考模拟）如图，AB为O直径，C、D为O上不同于A、B的两点，ABD=2BAC，连接CD过点C作CEDB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为O的切线；（2）当BF=5,时，求BD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）9.【解析】（1）如图，连接., 又3=1+2又，OCDB.CEDB，.又为的半径，为O的切线.（2）如图，连接.在RtBEF中，BEF=90, BF=5,，.OCBE, .设的半径为r, .AB为O直径，., .【点睛】本题考查了

56、切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可25（2019广西壮族自治区中考模拟）如图，ABC内接于O，CBG=A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EFBC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD（1）求证：PG与O相切；（2）若=，求的值；（3）在（2）的条件下，若O的半径为8，PD=OD，求OE的长【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）OE=24【解析】（1）如图，连接OB，则OB=OD，BDC=DBO，BAC=BDC、BDC=GBC，GBC=BDC，CD是O的切线，DBO+O

57、BC=90，GBC+OBC=90，GBO=90，PG与O相切；（2）过点O作OMAC于点M，连接OA，则AOM=COM=AOC，ABC=AOC，又EFB=OGA=90，BEFOAM，AM=AC，OA=OC，又，；（3）PD=OD，PBO=90，BD=OD=8，在RtDBC中，BC=8，又OD=OB，DOB是等边三角形，DOB=60，DOB=OBC+OCB，OB=OC，OCB=30，=，可设EF=x，则EC=2x、FC=x，BF=8x，在RtBEF中，BE2=EF2+BF2，100=x2+（8x）2，解得：x=6，6+8，舍去，x=6，EC=122，OE=8（122）=24【点睛】本题主要考查圆

58、的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.26（2019内蒙古自治区中考模拟）在RtABC中，BC=9， CA=12，ABC的平分线BD交AC与点D， DEDB交AB于点E（1）设O是BDE的外接圆，求证：AC是O的切线；（2）设O交BC于点F，连结EF，求的值【答案】（1）见详解；（2）【解析】（1）证明：由已知DEDB，O是RtBDE的外接圆，BE是O的直径，点O是BE的中点，连结OD，又BD为ABC的平分线，即又OD是O的半径，AC是O的切线 （2） 解：设O的半径为r， 在RtABC中，ADOA

59、CB又BE是O的直径BEFBAC27（2018河南省中考模拟）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPC=A=B=90求证：ADBC=APBP（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立说明理由（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足DPC=A设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与ABD底边上的高相等时，求t的值【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）1秒或5秒【解析】解：

60、（1）如图1，DPC=A=B=90，ADP+APD=90，BPC+APD=90，APD=BPC，ADPBPC，ADBC=APBP；（2）结论ADBC=APBP仍成立；证明：如图2，BPD=DPC+BPC，又BPD=A+APD，DPC+BPC=A+APD，DPC=A=，BPC=APD，又A=B=，ADPBPC，ADBC=APBP；（3）如下图，过点D作DEAB于点E，AD=BD=5，AB=6，AE=BE=3DE=4，以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，DC=DE=4，BC=5-4=1，AD=BD，A=B，又DPC=A，DPC=A=B，由（1）（2）的经验得ADBC=APBP，又AP=t，BP