高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何大全

1、新 课 标 全 国 卷文 科 数 学 汇 编立体几何一、选择题 TOC o 1-5 h z 【2017, 6如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M N, Q为所在棱的 中点，则在这四个正方体中，直接 AB与平面MNQf平行的是（）【2016, 7如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 小，则它的表面积是（）O I,3A. 17 冗 B .18 冗 C .20 冗 D .28 冗【2016, 11平面过正方体 ABCD ABGD1的顶点 A,/平面CB1D1 , I平面ABCDm ,平面ABB1An ,则m,n所成角的正弦值

2、为（与 C .卷D【2015, 6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书 中 有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为 米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米 （如图，米堆为一个圆 锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的 体积和堆放的米各位多少？”已知 1斛米的体积约为1. 62立方尺， 圆周率约为3,估算出堆放的米有（）A. 14 斛 B . 22 斛 C . 36 斛 D . 66 斛【2015, 11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20兀，

3、则r=（） TOC o 1-5 h z A. 1 B . 2 C . 4 D . 8【2015,11】【2014, 1|I|8【2013, 11】【2012, 7】U |I【2014, 8】如图，网格纸的各小格都是正方形，心口 粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是（） 干!1A.三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四L棱柱【2013, 11某几何体的三视图如图所示，则该 （）.A. 16+8兀B . 8 + 8兀 C【2012, 7如图，网格纸上小正方形的边长为 几何体的体积为A. 6B. 9C. 12几何体的体积为.16+16兀D . 8+16 几1,粗线画出的是某几何体的三视图，

4、则此D. 15【2012, 8平面 截球。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的体积为()A. . 6B. 4,3C. 4 ., 6D. 6 ., 3【2011, 8在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()二、填空题【2017, 16已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平 面SCA 平面SCB, SA AC, SB BC ,三棱锥S ABC的体积为9,则球O的表面 积为.【2013, 15已知H是球O的直径AB上一点，AH： HB= 1 ： 2, AB1平面a , H为垂足，a 截球O所得截面的面积为 冗,则球O的表面积为.【20

5、11, 16已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上. 若 圆锥底面面积是这个球面面积的-,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者16的高的比值为.三、解答题【2017, 18如图，在四棱锥 P ABCD中，AB / CD,且 BAP CDP 90 .(1)证明：平面 PAB 平面 PAD ； (2)若 PA PD AB DC , APD 90 ,且四棱锥P ABCD的体积为8 ,求该四棱锥的侧面积.3【2016, 18如图所示，已知正三棱锥 P ABC的侧面是直角三角形， PA 6,顶点P在 平面ABC内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点E .连结P

6、E并延长交AB于点 G .(1)求证：G是AB的中点；(2)在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积.【2015, 18如图四边形ABCM菱形，G为AC与BD交点，BE，平面ABCD(I )证明：平面AECL平面BED(II)若ZAB(=120 , AEEC, 三棱锥 E- ACD5k的体积为 叵,求该三棱锥的侧面积./【2014,19如图，三棱柱ABC ABCi中，侧面BBiCiC为菱形，BC的中点为O,且AO平面BB1GC .(1)证明：B1c AB；(2)若 AC AB1, CBB1 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC A14G 的高.【2

7、013, 19如图，三棱柱 ABC- ABG 中，GA CB, AB= AA, / BAA= 60 .(1)证明：AB! AC； (2)若AB= CB= 2, AC= 并，求三棱柱ABC- ABC的体积.【2012, 19如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面,一-一1ACB 90 , AC=BC1AA,2是棱AA的中点.证明：平面BDC，平面BDC平面BDC分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.C1B1A1【2011,18如图所示，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四60oAB PD (1) (2)2AD ,底面ABCD .证明：PA BD ；若PD AD 1,求棱锥D

8、PBC的高.DABDB一、选择题 TOC o 1-5 h z 【2017, 6如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M N, Q为所在棱的 中点，则在这四个正方体中，直接 AB与平面MNQf平行的是（）【解法】选 A.由B, AB/ MQ则直线AB/平面MNQ由C, AB/ MQ则直线AB/平面MNQ 由D, AB/ NQ则直线AB/平面MNQ故A不满足，选A.【2016, 7如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是凹，则它的表面积是（）.3A. 17 冗 B .18 冗 C .20 冗 D .28 冗解析：选 A.由三视图可

9、知，该几何体是一个球截去球的1 ,设球的半径为 R,则-，加上3个截面的面积,87 3#3等,解得R 2 .该几何体的表面积等于球的表面积的,. 1每个截面是圆面的-， 401所以该几何体的表面积为S 4兀23 冗214 7t 3冗17 7t.故选A.4【2016, 11平面过正方体 ABCD ABC1D1的顶点 A,/平面CBQ1， I平面ABCD m , I平面ABB1A1 n ,则m,n所成角的正弦值为（）A.当 B -夸 C . D , 1解析：选A.解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面，即平面AEF,即研究AE与AF所成角的正弦值，易知 EAF

10、 ,所以其3正弦值为立.故选A.2解法二（原理同解法一）：过平面外一点A作平面,并使/平面CB1D1,不妨将点A变换成B,作 使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到,即为平面ABD ,如图所示,即研究AB与BD所成角的正弦值，易知 ABD鼻，所以其正弦值为 容 故选A.中有如下问题：“今【2015, 6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处 堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为 斛米的体积约为（）BA. 14 斛 B5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知 11. 6

11、2立方尺，圆周率约为.22 斛 C . 36 斛 D3,66斛估算出堆放的米有1134 3 【2015,设圆锥底面半径为r ,依题14,16、2 广 320320（一）5 ,故堆放的米约为3993r 8 r ，所以米堆的体积为3+ 1. 6222,故选 B.111圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20兀，则r=（）BA. 1 B . 2 C . 4 D . 8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为 2兀产+兀 r x 2r+兀 r2+2r x

12、2r =5兀 r2+4r2=16+20tt ,解得r=2,故选B.【2014, 8如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是（）BA.三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱解：几何体是一个横放着的三棱柱.故选B().16+16 兀 1 1 d dL.【2013, 11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为tt8+16 冗A. 16+8 兀解析：选A.该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.V半圆柱=九X 2 2X 4= 8冗,V长方体= 4X2X2= 16,所以所求体积为16+8冗.故选A.2【2012, 7如图，网格纸上小正方形

13、的边长为 几何体的体积为（）1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此6912【解析】由三视图可知，该几何体为 三棱锥A-BCD底面4BCM 底边为6,高为3的等腰三角形, 侧面ABDL底面BCDAOL底面BCD因此此几何体的体积为11V - (- 6 3) 3 9 ,故选择 B. 321 ,球心O到平面的D. 15ABDOC【2012, 8 8,平面 截球O的球面所得圆的半径为距离为行,则此球的体积为（J6434.66.3T【解析】如图所示，由已知01A 1 , OO1后,在Rt 001A中，球的半径 R 0A 73,所以此球的体积V 4 R3 4第，故选择B.3【点评】本题主要考察球面的性质及

14、球的体积的计算.【2011, 8在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形.故选D.二、填空题【2017, 16已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球0的球面上，SC是球0的直径.若平面SCA 平面SCB, SA AC, SB BC ,三棱锥S ABC的体积为9,则球0的表面积为【解析】取SC的中点0 ,连接0A,0B ,因为SA AC,SB BC ,所以0A SC,0B SC , TOC o 1-5 h z 因为平面 SAC 平面SBC，

15、所以0A 平面SBC , 设0A r , 1-111 3，1 3Va SBC-Ssbc0A-2r r r丁3,所以: r39r3,33233所以球的表面积为4 r2 36 .【2013, 15已知H是球0的直径AB上一点，AH： HB= 1 ： 2, AB1平面a , H为垂足，a 截球0所得截面的面积为 冗，则球0的表面积为.2解析：如图， TOC o 1-5 h z 设球0的半径为R,则AHh 空，0生 R .又:九 EH=兀，. . EHh 1. .在RtAOEH 332中，R2= +12 , - R2=S球=4几口=*.382【2011, 16已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底

16、面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高 16的比值为.【解析】设圆锥底面半径为r ,球的半径为R,则由底2 4#2,知r2 - R2 .164根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 0,且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB QB .设 P0 x, Q0 y ,则 x y 2R .又 P0 BA BO Q ,知 r2 0 B2 xy . TOC o 1-5 h z 即 xy r2 3 R2 .?43R由？?及x y可得x - R, y -. 22则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为1 .3

17、故答案为1 . 3 三、解答题【2017, 18如图，在四棱锥 P ABCD中，AB / CD,且 BAP CDP 90 .(1)证明：平面 PAB 平面 PAD ； (2)若 PA PD AB DC , APD 90 ,且四 棱锥P ABCD的体积为8 ,求该四棱锥的侧面积.3【解法】(1) Q BAP CDP 90 , AB AP,CD DP又Q AB / CDAB DP又AP 平面PAD , DP 平面PAD，且API DP PAB 平面PADQ AB 平面PAB ,所以 平面PAB 平面PAD(2)由题意：设PA PD AB DC=a ,因为APD 90 ,所以PAD为等腰直角三角 形

18、即 AD= .2a取AD中点E ,连接PE ,贝U PE a , PE AD .2又因为平面PAB 平面PAD所以PE 平面ABCD因为AB 平面PAD , AB / CD所以 AB AD , CD AD又 AB DC=a所以四边形ABCD为矩形11 二 21 3 8VPABCD 二gABgADgPE -gag. 2aga -a 33233即a 2【2016, 18如图所示，已知正三棱锥 P ABC的侧面是直角三角形，PA 6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D, D在平面PAB内的正投影为点E .连结PE并延长交AB于点 G .(1)求证：G是AB的中点；(2)在题图中作出点E在平面PAC内

19、的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积.解析：(1)由题意可得 ABC为正三角形，故PA PB PC 6 .因为P在平面ABC内的正投影为点D ,故PD 平面ABC .又AB 平面ABC ,所以AB PD .因为D在平面PAB内的正投影为点E ,故DE 平面PAB .又AB 平面PAB ,所以AB DE .因为 AB PD, AB DE, PDI DE D, PD,DE 平面 PDG ,所以AB 平面PDG .又PG 平面PDG ,所以AB PG .因为PA PB,所以G是AB的中点.(2)过E作EF/BP交PA于F ,则F即为所要寻找的正投影.理由如下，因为PB PA,

20、PB/ZEF,故EF PA.同理EF PC,又 PAI PC P, PA,PC 平面 PAC ,所以 EF 平面 PAC ,故F即为点E在平面PAC内的正投影.1 _ 1 _ _ _所以Vd PEF -SApef DE -PF EF DE .36在4PDG中，PG 3，DG 76 , PD 2曲，故由等面积法知 DE 2 .由勾股定理知PE 2应，由 PEF为等腰直角三角形知PF EF 2,故Vd pef【2015, 18如图四边形ABCM菱形，G为AC与BD交点，BE1平面ABCD(I )证明：平面AECL平面BED(II)若/AB(=120 , AEEC, 三棱锥 E- ACD的体积为,求

21、该三棱锥的侧面积.3解：(I ) v BEX 平面 ABCD BEX AC . ABC师菱形，BDLAC,ACL平面BED又AC?平面AEC /.平面AECL平面BED 十分(H)设ABr 在菱形ABC时，由/ AB(=120可得,AG=GC= x , GB=GD= .22在RtAAEC中，可得Eo/x.在RtAEBM直角三角形，可得BE&2x.2Ve acd - - AC GD BE -x3, 解得 x =2 .3 2243由 BA=BD=BC得 AE= ED=EC=6 .AAEC的面积为3, AEAD的面积与A ECD勺面积均为 & .所以三棱锥E-ACD的侧面积为3+2娓.仅分18.解析

22、 (1)因为BE 平面ABCD ,所以BE AC .又ABCD为菱形，所以AC BD .又因为 BDI BE B, BD, BE 平面 BED,所以AC 平面BED .又AC 平面AEC ,所以平面 AEC 平面BED .(2)在菱形 ABCD 中，取 AB BC CD AD 2x ,又 ABC 1200,所以 AG GC 73x, BG GD x .在 AAEC 中， AEC 900,所以 EG 1 AC 垂x ,2所以在 RtAEBG 中，BE TEG_Bg7 收x ,所以 VE ACD 1 1 2x 2x sin120o 应x x3 ,解得 x 1 . 3 233在 RtEBA, RtA

23、EBC , RtEBD 中，可得 AE EC ED ,6 .所以三棱锥的侧面积 际 2 1 2 . 5 1 、,6 、,6 3 2、. 5.22【2014,19如图，三棱柱ABC ABG中，侧面BB1cle为菱形，B1c的中点为O,且AO平面 bb1cle.(1)证明：B1c AB；(2)若 AC AB1, CBB1 60 ,BC 1,求三棱柱 ABC ABG 的高.证明：（I）连接BC,则。为BC与BC的交点， TOC o 1-5 h z . AOL平面 BBCC .-.ACLBC,1 分因为侧面BBGC为菱形，. BCBC,分. BCL平面 ABC, AB?平面 ABC,故AB6分(H)作

24、 ODL BC 垂足为 D,连结 AD . AOL BC, . BC,平面 AOD 又BC?平面ABC 平面ABCL平面AOD交线为AD作OK AD 垂足为H,OK平面ABC/CBB=60 ,所以ACBB为等边三角形，又 BC=1,可得0母由于 ACAB, ； OA -B1C - , a AD OD2 OA2 , 224由OH AD=OD OA可得OH叵,又O为BC的中点，所以点B到平面ABC的距离为 14理,所以三棱柱ABC-ABC的高高为耳。仅分另解（等体积法）：./ CBB=60 ,所以ACBB为等边三角形，又BC=1,22则等腰三角形ABC的面积为1 22212(42)2可得 BO=,

25、由于 ACL AB, . OA - B1c 1，. . AB=1, AC史，9 分一2,设点Bi到平面ABC的距离为d,由 VBi-ab（=V-bb1c得 d d - 工，解得 d 2I8427所以三棱柱ABC-ABC的高高为叵 。7【2013, 19如图，三棱柱 ABC- ABG中，GA CB812分A五 AA, /BAA= 60 .(1)证明：AB AC; (2)若AB= C及2, AC= 历，求三棱柱 ABC- ABC的体积.证明：（1）取AB的中点O,连结OC OA, AB 因为CA= CB所以OCLAB.由于 AB= AA, /BAA= 60 ,故4AAB为等边三角形，所以OA, AB.因为OCT OA= O,所以 AB1平面OAC.又 AC?平面 OAC,故 AB AC.（2）解：由题设知 ABC与ZXAAB都是边长为2的等边三角形，所以o最oa= 73.又 AC=而,则 AC2= OC + OA12 ,故 OA1_ OC因为OCT AB= O,所以OA,平面ABC OA为三方g柱ABC- ABG的高.又 ABC的面积Sa abc=百，故三棱柱ABC- AB1G的体积V= Sa abcX OA = 3.【2012, 19如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，