对称结构动力学设计中的广义逆特征值问题

1、对称结构动力学设计中的广义逆特征值问题李书卓家寿任青文摘要将对称结构动力学设计问题归结为一类含设计参数的广义逆特征值问题，以结构的动态特性指标作为设计准则来设计结构，通过建立等效的非线性方程组，利用Newton法求解其设计参数，使得到的结构具有满足设计要求的动态特性。数值例题表明本文方法有很好的效能。关键词结构设计；动力学；逆问题分类号TU311.3;V214.33InversegeneralizedeigenvalueproblemindynamicdesignofsymmetricstructuresLiShu(InstituteofAircraftDesign,BeijingUniver

2、sityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100083,P.R.China)ZhuoJiashou,RenQingwen(Dept.ofEngineeringMechanics,InstituteofCivilEngineering,HohaiUniversity,Nanjing210098,P.R.China)AbstractInthispaper,dynamicdesignofsymmetricstructuresisconsideredasaninversegeneralizedeigenvalueproblem.Thestructuredynami

3、cperformanceindicesaretreatedasacriteriontodesignstructures.Byconstructingequivalentnonlinearequations,thedesignparameterscanbesolvedusingNewtonsmethodsothatthedesignedstructuressatisfythespecifieddynamicperformance.Thenumericalexampleshowsthebenefitofthepresentedmethodology.Keywords:structuraldesig

4、n;dynamics;inverseproblem1引言振动问题在航空、航天、机械、土木建筑等工程领域大量存在，许多重大事故都与振动有关，对结构进行动力学设计有其重要意义1。动力学设计，就是以结构的动态特性指标作为设计准则来设计结构，这样得到的结构具有满足设计要求的动态特性。这类问题是工程实际中经常遇到的问题。本文将对称结构动力学设计问题归结为一类含参数的广义逆特征值问题，视结构的刚度矩阵和质量矩阵为设计参数的非线性函数，以设计出结构具有给定的固有频率为准则，建立等效的非线性方程组，利用Newton法求解。实际应用中，由于结构的对称性普遍存在，不可避免地会遇到重特征值情况。当结构出现重特征值时

5、，数学上已经证明对应的逆特征值问题是一个几乎处处无解的问题2。特征值导数是结构设计中的重要环节和主要工作，为克服重特征值情形带来的困难，本文将文献3的理论应用于重特征值导数的计算，这是一种新的数学方法，通过对重特征值导数的重新定义，给出重特征值导数的表达式。算例表明本文方法适合于对称结构的动力学设计。2对称结构的动力学设计结构刚度矩阵和质量矩阵是关于设计参数的函数，而且事实上一般是非线性函数。结构动力学设计通常要求结构具有指定的动力特性，如频率和振型。我们将结构动力学设计问题归纳为一类含设计参数的广义逆特征值问题。2.1对称结构的动力学设计问题对于如下的动力特征方程KO=MOQ2(1)其中K是

6、结构刚度矩阵，M是质量矩阵，=(,)是振型矩12n阵，Q2=diag(32,32，仁)是频率矩阵(diag(.)表示对角矩阵)，12n并且满足下列条件tM=1(2)QtKO=Q2(3)实际设计中，往往只要求满足部分低阶动态特性的要求，这时TM=Irrr(4)tK=Q2rrr(5)其中=(，)，Q2=diag(32，32，32)，rWn。众所周知，结构的刚度矩阵和质量矩阵是由结构的物理参数和几何参数决定的，不妨假设这组参数为c=(c，c，c)t，其中元素可代表弹性模量、密度、长度、面积等等，则刚度矩阵和质量矩阵是参数c的函数，分别表示为K(c),M(c)，(11)rfc为了确定参数c,建立下面非

7、线性方程组3(c)3*=0i=1,，mig(c)i(c)3*i=1,，mi(6)(7)其中(c),g(c),，g2m(c)t。为了方便,0(C)=32i(c)(8)K(c)=0i(c)M(c)(9)由式(9)不难知i冰f(10)对式(8)两边求导,闷()7因此(15)(16)1邂11昭()KdiV(c)11邈(r)fc1fc*1t1.c)也Jz(12)一般说来，mHr,这时，采用Moore-Penrose广义逆求下面线性方程组的解g（c（k）Ac（k）=g（c（k）（13）则k+1步逼近值为c(k+1)=C(k)Ac(k)(14)2.2重特征值导数计算在对称结构中，重特征值情形是不可避免的。特

8、征值的导数计算有多种多样。设9是式（9）在点c=c*的r重特征值，相应的特征向量为,ii=i(,，)GRnXrii+1i+r1令设i+r1彎I则根据文献3被定义为重特征值的导数，其中p(.)表示谱半径。d(9)三pPji(tD(9)ijii2.3计算步骤1选择初值co,设k=0；2.当c=ck时，用有限元方法计算K和M；3求特征方程K=MQ2前r阶特征值3(ck)和相应的特征向量(ck),iii=1,，r4.收敛性检验。如果|3(Ck)3C*|足够小，停止计算；5利用式(12)计算g(c(k)；利用式(14)计算下一步逼近值；令k=k+1和重复步骤27。3数值算例以文献4中的二单元悬臂梁模型作

9、为算例，见图1,单元位移矢量为d=v，w，d，e，v，w，e，e11y1z122y2z2(17)(昭二卑元慰皆於捱显J(UJ啣充国二单元益魁垂图1-2IJL20122,/A30一込仏ML0订，0aE4A对具有8个自由度的梁单元，单元刚度矩阵K和质量矩阵M分别为symmetric-12/,/Pe00汎仏-0一一陆仏fl0fl6/a/L002412M00一JLnijD込仏flfl15600-ZlL4A-22L00一3匸U：比一3L-1：3人】1pAl.:M00一:必佗0syninictric15600一TIL15622L】41/由于结构的对称性，涉及到重特征值问题。下面为结构所要求具有指定的特征值

10、0=diag(1.84141.841473.481273.4812)r分别以长度L,惯性矩I,I,密度P,面积A,弹性模量E为设计变量，zy通过计算结果如下L=I=I=P=1,A=420,E=1000zy可见，本文方法得到的结果与文献4提供算例的结果完全一致。在整个计算过程中，如初值适当，收敛速度很快。4结论本文研究了对称结构动力学的设计问题。数值算例表明将对称结构动力学的设计问题视为一类含参数的广义逆特征值问题是合理的，并且获得了很好的数值结果。其中，对于对称结构中常见的重特征值情形，我们运用了新的数学方法解决了重特征值导数的计算问题，有实际意义。该数学方法是在由重特征值对应的特征向量张成的子空间中重新定义了重特征值的导数。本文中采用Newton方法解非线性方程组，其收敛性和收敛快慢与初值选取有较大的关系。*中国博士后科学基金资助作者简介：李书：男，1965年生，博士，副教授作者单位：李书：北京航空航天大学飞机设计所，北京100083；卓家寿任青文：河海大学土木学院工程力学系，南京210098)参考文献1顾松年参数辩识与动力学设计见：第三届全国逆特征值问题讨论会论文集.南京，1992.31352李书，冯太华，范绪箕结构静力问题的重特征值灵敏度分析工程力学，1996,13(2)：971043SunJG.Anoteonlocalbehaviorof