2019年湘教版数学八年级下册全册教案(含教学反思)

1、第1章直角三角形1直角三角形的性质和判定（I ）第1课时直角三角形的性质和判定.掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角 形是直角三角形；（重点）.探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性 质.（重点、难点）、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质.二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图，AB/ DF, ACBC于 C, BC与DF交于点E,若/ A= 20。，则/ CEF等于（）A. 110 B . 100 C . 80 D . 70解析：ACL

2、BC 于 C,.ABC是直角三角形，ABC= 90 / A= 90 20 =70 ,；/AB生 / 1=70 ,AB/ DF, / 1 + / CEM 180，即/CEF = 180 / 1=180 70 =110 .故选 A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键.探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知 AB/ CD / BAF= /F, /EDC= /E,求证： EOF直角三角形.解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证 EO汽直角三角形，只需证/ E+ /F=90即可，而/E1 _ 1_ _=2

3、(180 /BCD, /F = 2(180 /ABC,由 AB/ CD 可知 / ABO / BC氏180 ,即问题得证. TOC o 1-5 h z 、1。证明：. / BAF= / F, / BAF+ /F+/ABF= 180 , . / F=(180一 E11/ABF.同理，/ E=2(180 -Z ECID. / E+ /F = 180 (/ABF+八一八。1。/ECD. -AB/ CD/AB斗 /EC氏 180 . . / E+ / F= 180 -2X 180 =90 ,.EOF是直角三角形.方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180 ,如果一个三角形中有两

4、个角的和为 90 ,可知该三角形为直角三角形.探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，zABC中，AD是高，E、F分别是AR AC的中点.若A晖10, A最8,求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD1解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE= AE=2AB,1DF= AF= 2AC,再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可.八，11(1)解：: AD是局，E、F分别是 AR AC的中点，DE= AE= 2AB= 2X 10=_ 1 _ 1 _5, DF= AF= 2A堤X8=4, .四

5、边形 AEDF勺周长=AE+ D9 DF+ AF= 5 + 5 + 4+ 4=18;(2)证明：:DE= AE, DF= AF,. E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的 垂直平分线上的点， EF垂直平分AD方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直 角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或 证明.探究点四：直角三角形性质的综合运用类型 利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在 ABC中，AB= AC, /BAC= 120 , EF为AB的垂直平分线，交 BC于F,交AB于点E.求证：FC= 2BF解析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平

6、分线的性质，因此连接 AF,得到4AFB为等腰三角形.又可求得/ B= / C= / BA曰300 ,进而求得/ FAC = 90 .取CF的中点M连接AM就可以利用直角三角形的性质进行证明.证明：如图，取CF的中点M 连接AF、AMTEF是AB的垂直平分线， AF010= BF；/BAF= /B. . AB= AC, / BA生 120 , . . / B= / BA已 / C=万(180 120 )=30 ./FAO /BAC- / BA已 90 .在AFC 中，/ C= 30 , M1为CF的中点， ./AF阵60 , A旧FC= FM . . AFMfe等边三角形./. AF= AM=

7、 fC.又.BF= AF, .BF= 2fC,即 FC= 2BF.方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注 意找准斜边和斜边上的中线.类型二 利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A、B、C D处，球放在EF的中点。处，则游戏（填“公平”或“不公平” ）.解析：游戏是否公平就是判断点 A B CC D到点。的距离是否相等.四个 直角三角形有公共的斜边 EF,且。为斜边EF的中点.连接OA OB OC OD根 据“直角三角形斜边上的中线

8、等于斜边的一半”的性质可知，OA OB= OOD1= EF,即点A、B、G D到O的距离相等.由此可得出结论：游戏公平.方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应 连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解 题.【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在RtABC中，AB=AC, Z BAC= 90 ,。为 BC的中点.(1)写出点。到AABC的三个顶点A、B、C的距离的数量关系；(2)如果点M N分别在线段AR AC上移动，移动中保持AN= BM请判断 OMN 的形状，并证明你的结论.一一一一 一 11解析：(1)由于4ABC是直角

9、三角形，。是BC的中点，得OA=。氏OC= BQ(2)由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得/ CAd /B= /45 ,。星。且又 AN= MB 所以 AON2 BOM 所以。OM /NO每/MOB于是有/ NO睡/AO比90 ,所以 OMN!等腰直角三角形.一一、_C _1一解：(1)连接 AO 在 RQABC中，Z BAC= 90 ,。为 BC的中点，. OA-BC=0&OC即OA。氏OC(2)/XOMN等腰直角三角形.理由如下：V AO BA,。谖OB / BA谖90,-1. .0A 0q NA002 /CA昆 / B= 45 , AOL BC,又 A&

10、 BM| .A0N2 BOM. ONt 0M / NO号 / MOB / NOA_ / AOMt / MOB / AOM. / NO睡 / AOB = 90 , .MON等腰直角三角形.方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比 如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半， 直角三角形两锐角互余.三、板书设计.直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形.通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定

11、一个三角形是否为直角 三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题.在今后的教学中应让学生不断强化提高这一百八、.第2课时 含30。锐角的直角三角形的性质及其应用1.理解并掌握含300锐角的直角三角形的性质；（重点）2,能利用含30锐角的直角三角形的性质解决问题.（难点）、情境导入用两个全等的含300角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流二、合作探究探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30 ,那么它所对的直 角边等于斜边的一半4的U等腰三角形的一个底角为75。，腰长4cmi那么腰上的高是 5这个三角

12、形的面积是 cm2.解析：因为75不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180 ”可知等腰三角形的顶角为30 ,依题意画出图形，则有/ A= 30 , BD)AC, AB= 4cm所以 B4 2cm, Sa ab= 2AC- BD= 2X 4X2=4(cm2).故答案为 2, 4.方法总结：作出准确的图形、构造含 30角的直角三角形是解决此题的关键.探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对的角等于300,一一，一一 -，- -1-，-如图所小，在四边形 ACB时,AD/ BQ ABAQ且A捻2BQ求/ DAC的度数.解析：根据题意得/ CBA= 30 ,由平行

13、得/ BA由300 ,进而可得出结论.一八八一。八1_一一解：V ABAQ ./CA氏90 . vAG= 2BQ / CB是30 . /AD/ BQ ./ BA氏 30 ,/CA& / CA济 / BA氏 120 .方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30。的角，再利用相关条件求解.探究点三：含300锐角的直角三角形性质的应用画如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东600方向;该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东300方向； 航行到D处，观测到海岛B在北偏西300方向；当船到达C处时恰与海岛B相 距20海里.请你确定轮船到达

14、C处和D处的时间.a解析：根据题意得出/ BAC /BCD /BDA勺度数，根据直角三角形的性质求出BC AC CD的长度.根据速度、时间、路程关系式求出时间.解：由题意得/ BC庄900 30 =60 , / BDC= 90 30 =60BC4 /BD生 60 , .BCM 等边三角形.在 ABD 中，/ BA4 90 60 = 30 , ZBDC= 60 ,./AB* 90 ,即 ABD为直角三角形，. / ABC= 30一 、一一、一 _ 1 一一、一八 一v BG= 20 海里，. . CD= BD= 20 海里.又 ; BD= gAR . . AD= 40 海里. . AC= AD

15、CA 20(海里)船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间为20= 2(h),从A处到D处的时间为10 = 4(h) . .轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分.方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是 解决这类题的关键，再利用含 30。角的直角三角形的性质解题.三、板书设计.含30锐角的直角三角形的性质(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所 对的角等于30 .含30。锐角的直角三角形的性质的应用.在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形

16、中得到的，如果是般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两 直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.1 . 2直角三角形的性质和判定（H）第1课时勾股定理.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；（重点）.掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；（重点）. 了解利用拼图验证勾股定理的方法.（难点）、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉 斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角 三角形.各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究探究点一：勾股定理【类

17、型一直接运用勾股定理如图，在乙 ABC 中，/AC昆 90 , AB= 13cm, BC 5cm, CDL AB于D,求:AC的长; SA ABC；CD的长.解析：(1)由于在 ABC中，/ AC氏90 , AB= 13cmi B最5cm,根据勾股 定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出 Saabc； (3)根据 CD)- AB= BC- AC即可求出 CD解：(1) .在 ABC中，/AC氏900 , A五 13cmi BC= 5cm, .AC= .AB BC =12(cm);112(2) v Saabc= CB AO X 5X 12=30(cm2);(3).Sabc=

18、 2AC BG= 2cD- AB,C*AC- BC 60AB-=cm) 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用 两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解 这个方程即可.类型二分类讨论思想在勾股定理中的应用在zABC中,AB= 15, A最13, BC边上的高AD= 12,试求 ABC周长.解析：本题应分 ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解：此题应分两种情况：(1)当4ABC为锐角三角形时，如图所示，在 RtAABDt, BD= a/A-AD = 4152 122 =9,在 RtzXACD中，CD= -AG2 AD =、132

19、- 122 = 5, . BC= 5+9 = 14,.ABC的周长为 15+13+14=42;(2)当AABC为钝角三角形时，如图所示，在 RtAABDt, BD= 1A百AD =52 122 =9.在 RtAACDt, C*-AC AD = 4132 122 = 5,. BG= 9-5 = 4, .ABG勺周长为：15+13 + 4 = 32,.ABC 的周长为 32 或 42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形， 判断是否符合题意.【类型三】勾股定理与等腰三角形的综合如图所示，已知 ABC中，/ B= 22.5 , AB的垂直平分线分别交 BGAB于 n F点

20、，BD= 6/2, AELBC于 E,求 AE的长.解析：欲求AE,需与BD联系，连接AD,由线段垂直平分线的性质可知 AD =BD可证 ADEM等腰直角三角形，再利用勾股定理求 AE的长.解：如图所示，连接 AD:DF是线段AB的垂直平分线，AD= B46/2, /BA比 /B= 22.5 ./ ADE= / B+ /BAA 45 , AE BQ / DAE= 45.AE= DE由勾股定理得AS+DE= AE2, 2AE2= (6 . 2,唳6.方法总结：22.5虽然不是特殊角，但它是特殊角45。的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换.直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的 方法.探究

21、点二：勾股定理与图形的面积探索与研究:方法1：如图:对任意的符合条件的直角三角形 ABC绕其顶点A旋转90得直角三角形AED所以/BAE= 90 ,且四边形ACFD1一个正方形，它的面积和四边形 ABFE面积相等，而四边形 ABFE的面积等于RtABAEH RtzXBFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;方法2:如图:任意的符合条件的两个全等的 RtzXBEA和RtzXACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?解析：方法1:根据四边形ABFE的面积等于RtzXBAE和RtzXBFE的面积之 和进行解答；方法 2:根据 ABC和RtzXACD的面积之和等于 RtzXABD

22、和 BCD的面积之和解答.2 1 21 z ,、，一、解：方法 1： S正方形 acfa S 四边形 abfe= Sabae+ Sabfe,即 b = 2c + 2( b + a)( b a),整理得 2b2=c2 + b2 a2,.a2+b2= c2；方法2: S 四边形 abc- SaabctP Sk acd, S 四边形 abc户 Saabct|- Sk bcd,艮 S Saabc+ Sk acd= Sa abd 一1 c 11 o 1+ Sabcb 即2b+2ab= 2c+2a(b a), 整理得 b+ab= c+a(b a), b+ab=c + ab-a2, /. a2+ b2=c2

23、.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图 形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.三、板书设计.勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的应用.勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中，提 高课堂效率.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突 这这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层 层设问，从面积（数）入手，师生共同探究突破本节课的难点第2课时勾股定理的实际应用.熟练运用勾股定理解决实际问题；（重点

24、）.勾股定理的正确使用.（难点）鳍遗、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B处, 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A处爬向B处，你们想一 想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际生活中的应用类型勾股定理在实际问题中的简单应用画U如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时纯 子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收纯.问6秒后船向岸边移动了 多少米（假设绳子是直的，结果保留根号）？解析：开始时，AO 5米，BC= 13米，即可求得AB的值，6秒后根据BGAC长度即可求得AB的值，然后解答即可.解：在 RtzXA

25、BC中，BG= 13 米，AG= 5 米，则 A五BC AC =12 米，6 秒 后，BG= 13 0.5 X6= 10米，则AB= BCAC =5/3米，则船向岸边移动距离为（125出）米.方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角 形，在计算中常应用勾股定理.912类型二 含30或45等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭,今日A市测得沙尘暴中心在 A市的正西方向300km的B处，以1s/7km/h的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响

26、？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间.解析：过点A作AM BF于C,然后求出/ ABC 300 ,再根据直角三角形1,， 、一，300角所对的直角边等于斜边的一半可得 AC= /AB,从而判断出A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，此时AD= 200kmi利用勾股定理列式求出 CD的长， 再求出受影响的距离，然后根据时间=路程+速度计算即可得解.解：如图，过点A作ACL BF于C,由题意得，/ ABC= 90 60 = 30 ,、1- 1 .ACU2AB= /X 300= 150(km), .15025, .第二种短些，此时最短距离为25cm；如图(将正面与左侧面展开)所示，A

27、M=25, .最短距离为 25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面 展开时，考虑要全面，不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况，虽然看 似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前 面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可.类型二运用勾股定理与方程解决有关计算问题ED如图，四边形ABC黑边长为9的正方形纸片，将其沿MNff叠，使点B 落在CD边上的B处，点A的对应点为A,且B C= 3,则AM勺长是()解析：设 AMkx,连接 BM| MB ,在 RtABM中，Ae + aM= bM,在 RtA MDB 中

28、，B M = MD+ DB 2, . M艮MB , .A百+ AMI = BMI= B M=mD + DB 2, 即 92+x2= (9 -x)2+ (9-3)2,解得 x=2,即 A旧2.故选 B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为 X,然后用含有X的式子 表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示白勺数为a,则a的值是（）A.5+1 B . -V5+1C.y/5-1 D.近解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即 可求出A点的坐标.图中的直角三角形的两直角边为 1和2, 斜边长为12+22=，

29、5,1到A的距离是 会，那么点A所表示的数为45 1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确 定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离.三、板书设计.勾股定理在实际生活中的应用.勾股定理在几何图形中的应用就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了 “ a2+ b2=c2，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学 模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高（重点）第3课时勾股定理的逆定理.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.（难点）、情境导入古

30、埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】勾股数画U判断下列几组数中，一定是勾股数的是（）A. 1,啦，/ B . 8, 15, 17C 7, 14, 15 D. |, 士 1 5 5解析：选项A不是，因为也和43不是正整数；选项B是，因为82+ 152= 172,3且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72+ 142152;选项D不是，因为与54 一5不是正整数.故选B.方法总结：勾股数必须满足：三个数必须是正整数，例如： 2.5、6、6

31、.5满足a2+b2=c2,但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；一组勾 股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.已知a,【类型二】判断三角形的形状b, c 为 ABC的三边，且满足(a 7)2+(b 24)2+(c 25)2=0.试判断 ABC的形状.解析：可先确定a, b,c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断.解：由平方数的非负性，c = 25.又a2 = 72 = 49, b2=得 a7=0, b 24=0,242= 576, c2 = 252 = 625c25= 0. . . a= 7, b= 24, a2+ b2= c2. .ABC是直角三角形.方法总结：此题主

32、要依据“若几个非负数的和为0,则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a, b, c的值.该知识点在解题时会经常用到， 应注意掌握.【类型三 利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题在如图的方格中， ABC的顶点A B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角/ ACD勺度数等于(A. 130 B . 135C. 140 D . 145解析：:A4=12+22BC=12+22=5, AC=12+32=10, ：.AC= A百+ BC,.ABO等腰直角三角形，/ACM ABC勺外角， / AC氏/ A+ / B= 45+ 90 = 135 .故选 B.方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定

33、理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中300所对的直角边是斜边的一半，45的直角三角形中两直角边相等.【类型四 运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形 ABCDK / B= 90 , A五8, BG= 6, C*24, AA26,求四边形ABCD勺面积.解析：连接AG根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证 ABCftACM直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面 积相加即为四边形ABCD勺面积.解：连接 AG ./B= 90 ,ABC为直角三角形，. AC=AB2+BC= 82 + 62= 102, .,.AG= 10,在ACD,AC+ CD= 1

34、00+576 = 676, AD = 262 = 676,.AC+ CD= AD2, .ACM直角三角形，且/ AC又90 ,S 四边形 abcd= Saabc+ Sc c 1 c / AC户X 6X8+5X 10X24= 144.方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题, 解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等.探究点二：勾股定理逆定理的实际应用硝 如图，南北向MN我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海， 上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷 偷向我领海开来，便立即通知正在 MN上巡逻的我国反走私艇 B密切注

35、意.反 走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B 距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海.解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间， 即可得出走私艇何时能进入我国领海.所以现在的问题是得出走私艇的距离， 根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知， ABEffizEBC均为直角三角形， 可分别解这两个直角三角形即可得出.解：设 MNf AC相交于 E,则/BEC= 90 , v A+ BC = 52+ 122= 132= AC, .ABE直角三角形，且/ ABO90 ,由于MNLCE，所以走私艇C进入我国领海的

36、最短距离是 CE,由Sb= 1AB B最1AC- BE,彳3B60（海里），由CE 2213+ Bl BC,即 CE+(63)2= 122,得C144(海里)，144+13=崔=0.85(h) 131313169= 51(min), 9 时 50 分 + 51 分=10 时 41 分.答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海.方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形.三、板书设计.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a, b, c满足a2+b2= c2,那么这个三角形是直角三角 形.利用勾股定理逆定理求角和线段的长.利用勾股定理逆定

37、理解决实际问题学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是 按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进 行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高 .3直角三角形全等的判定.熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；（重点）2,熟练使用“分析综合法”探求解题思路.（难点）一、情境导入前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法一一 SAS ASA AAS SSS. 当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判 定还有其他的方法吗？二、合作探究探究点一：运

38、用“ HL”判定直角三角形全等的H如图所示，AD BC CH AB,垂足分别为 H E, AD交CE于点F, AD=EC 求证：FA= FC/FCA此结论解析：要利用“等角对等边”可由三角形全等得到.证明：-.ADL BC, CEL AB, . / AE最 / ADC= 900 . .在 RtAEC RtACDAEO AD中 CLA展AE8RtCDAHL), . / FAC= /FCA . . FA= FC方法总结:在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点.探究点二:直角三角形判定方法的灵活应用【类型一】解决线段相等问题已知如图 AC! BC, ADL BD, AD

39、= BC, CEL AB, DF AB,垂足分别为 E、F.求证：CE= DF解析：根据已知条件证明现有的 RtABC与BAD全等，得出线段和角相等，再证RtAACEfH RtzXBDF全等，从而解决问题.证明：.AC，BQ BD AR ./AC氏 / AD氏 90 ,在 RtABC RtABADAB= BA中，BCaJ AB登 RtBADHL),AO BD, / CA氏/DBA - CEL AB,/CEA= ZDFB= 900 ,DF AB,. / CEA= / DF氏 90 ,在八 CAEffl DBF中， / CA邑 / DBFAO BR.CAE1 ADBf(AAS), . CE= DF

40、方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定 直角三角形全等的方法有五种，不要只限于 HL.【类型二】灵活选用判定方法解决线段和差问题已知，如图所示，A五AG ZBAG= 90 , AE是过A点的一条直线，且B、C在 DE的异侧，BDLAE于 D, CE!AE于 E,求证：BA DE+ CE解析：先证 ABDizACE再根据等量代换得出结论.证明：V BD AE 于 D, CEL AE 于 E, . / AD氏 / AE生 90 ,又/BA生 900 ,AB斗 /BA* /CA / BAQ / ABA / CAE 又 v AB= GAAB侯 ACAtE BD= AE, AD

41、= CE, AE= AN DE /. BD= C曰 DE方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全 等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系.在证明全等时可灵 活选用判定方法.探究点三：利用尺规作直角三角形W已知：线段a,如图.，一一3求作：RQABC 使 B捻a, AB= ga, / C= 90解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取 直角边，再作出斜边即可.解：作法：如图所示,作l2，ll于点C；在11上截取CB= a；3(3)以点B为圆心，以2a的长为半径回弧，交12于点A； 连接AB, RtABC即为所求.方法总结：尺规作图时，应

42、养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的三、板书设计.斜边、直角边定理斜边和一直角边对应相等白两个直角三角形全等 （简称“HL”）.直角三角形判定方法的灵活应用使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对 应相等.这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很 容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的 动手操作能力.4角平分线的性质.理解并掌握角平分线的性质及判定；（重点）.能够对角平分线的性质及判定进行简单应用.（难点）一、情境导入在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上， 要从P点 建两条路，一条到公路，一

43、条到铁路.问题1:怎样修建道路最短？问题2:往哪条路走更近呢？、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等如图，在 ABC中，/C= 90【类型一 利用角平分线的性质求线段长,AG= BC, / BAC的平分线AD交BC于D,DE,AB于E,若A五7cm,则 DBE的周长是.解析：在 ABC中，/C= 90 , AC= BC, / BAG勺平分线 AD交 BC于 D, DELAB于E,根据角平分线的性质，可得 C* ER A堤AE= BC,继而可得 DBE的周长为D斗BD+ BE= C况BN BE= BG BE= A曰BE= AB.故答案为7cm.方法总结：此题考查了角平分线的性质.此

44、题难度适中，注意掌握数形结 合思想与转化思想的应用.【类型二 利用角平分线的性质求面积如图，B叶分/ ABC DEI AB于点E, DF, BC且交BC的延长线于点F.若 AB= 18cm, BO 12cm, DE= 2.4cm,求 ABC的面积.解析：根据角平分线的性质得到 DE= DF,再将 ABC分成BCDffiAADBW 个三角形，分别求出它们的面积再求和.一 1解：BDT分 / ABC DEI AB, DF BF, DE= DFSabc= Sabc升 Saab卢 2BC DF + 2AB- DE= 2( BC4- AB - D2x30X2.4 =36(cm2).方法总结：如果求三角形

45、面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的 和.类型三 利用角平分线的性质进行证明如图，已知/ 1 = /2, P为BN上一点且PDL BC于D, AB+ BG= 2BR求证：/ BAN /BC口 180 .解析：过点P作PEE BA,根据已知条件得RtABPEkiRtBPQ再卞g据AB+ BC = 2BD得A已CD,可证RtAPE和RtPDC可得/ PC氏/PAE根据邻补角互补 可得/ BA巴/ BC口180 .证明：过P作PE，AB,交BA的延长线于E. V PDL BQ /1 = /2,P9PD,在 RtABPEffi

46、RtBPD中,PE= PD,BP= BP, Rt BP昭 RtA BPDHL) ,BE=BD . AB+ BC= 2BQ BG= C BD, AB= BE- AE, . AE= CD PE，BE, PDL BQPE= PD, ./PEA= / PDC= 90 .在PEA? 口 APDOt, / PE昆 / PDQAE= CR.PEM PDCSAS), ./PC庄 /PAE-/BA耳 / EAP= 180 ,/ BAP+ / BC由 180 .方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线.探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上画口如图所

47、示，在 ABO, PD垂直平分BQ PMLAB于点M PN，AC交AC 的延长线于点N,且B处CN求证：/ 1 = /2.解析：先根据中垂线性质得出 PB= PG再卞!据HL证RtPB阵RtAPCN再根据角平分线性质的逆定理得出结论.证明：连接 PR PC . PC直平分 BG PB= PC . PIVLAB, PNJ AC； . . / PM比 Z PNG= 900 .在 RtzXPBlW RtzXPCN中，v PB= PC； B旧CNN R RtAPBM 组PCNHL) . . PW PN.点 P在 / BAC 的平分线上，即 / 1 = /2.方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法

48、：一是利用三角形全等 证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明.显然，方法二比方法一更简 捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作 出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等.探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用酶如图所示，在 ABC#作等腰三角形ABDf口等腰三角形ACE且使它们 的顶角/ DA& /EAQ连接BE、CD相交于P点，AP的延长线交BC于F点，试 判断/ BPF与/ CPF0勺关系，并加以说明.解析：首先猜想/ BP三/CPF即/ DP是/EPA显然这两个角所在的三 角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解.解：/BP曰/ CP

49、F理由如下：过人点作AML DC于M,作AN! BE于N. = / DAB =/ EAC / DA济 / BAG= / EAO / BAC. / DAC= / BAE 在 BAEffi DACAB= AR中，/ BAE= / DACA已AG“c八1.BA匿DACSAS), . BDQ Sa bae= Sa dacAML DC AN，BE, .BE AN1_ _ 八 _ _= 2DC- AMAN= AM| PA 平分/DPE ./DPA= /APE 又/DP是 / CP匕/ EPA= /BP匕./BPF= /CPF方法总结：证明两个角相等：如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；如果在两个三角形

50、里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的 判定.探究点四：利用角平分线的性质作图如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过,工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300ml并且工厂到铁路与公路的距离相等.请在图上标出工厂的位置，并说明理由（比例尺为1 ： 20000）.解：画出/ AOB的平分线OC在射线OC上量出表示实际距离 300m长度的1图上距离线段 OP, O2 300X 20000= 0.015(m) =1.5(cm).因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置.方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运 用数学知

51、识来解决.三、板书设计角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以 直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过 程.第2章四边形1多边形第1课时多边形的内角. 了解多边形及其相关概念；.熟练运用多边形内角和公式进行简单计算.(重点)一、情境导入小学时我们学习过多边形，对它有了初步的了解.什么是多边形的内角， 外角，对角线，如何计算对角线的条数，如何用字母表示它；三角形的内角和 是180 ,你想知道任意一个多边形的内角和是多少度吗？今天

52、，我们就来探究一下多边形的内角和如何计算.（I） 二、合作探究探究点一：多边形及其有关概念类型 多边形的定义及概念卜列说法中，正确的有(1)三角形是边数最少的多边形；(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；3) n边形有n条边、n个顶点、2n个内角；(4)多边形分为凹多边形和凸多边形.A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个解析：(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次相接；(3) n边形的边数和顶点数、内角的个数都是一样的，即有n条边（或n个顶点或n个内角）就叫n边形.故 （2）和（3）的说法不正确.因此，只有（1）

53、、（4）的说法正确，故选B.方法总结：理解多边形的概念需注意：（1）线段必须“不在同一直线上”且 首尾顺次相连；（2）必须是“平面图形”；（3） n为边数，为不小于3的正整数.2倍，则【类型二】 多边形的对角线若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的此多边形的边数为 . 解析：可以设这个多边形有 n个顶点，则就 有n条边，过一个顶点可以引出（n3）条对角线.故n = 2（n3）,即n = 6.故 答案为6.方法总结：n边形中，过一个顶点可引（n3）条对角线；一个n边形总 共有n（n2 3）条对角线.探究点二：多边形的内角和【类型一已知边数或对角线条数求内角和013一个多边形共有的对

54、角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度?解析：先求出多边形的边数，再根据边数来求内角和.解：设这个多边形的边数为n,由题意得n（n2-3）=3n,所以n 3 = 2X3, 所以n=9,所以（n 2） 180 =（92）X180 = 1260 ,所以这个多边形的 内角和为1260 .方法总结：n边形的对角线条数为n（n23）,利用对角线条数的计算方法, 知道多边形的边数或对角线条数其中一个，即可求出另一个数.类型二已知内角和求边数已知两个多边形的内角和为1080 ,且这两个多边形的边数之比为2 ： 3,求这两个多边形的边数.解析：利用内角和公式，根据已知条件建立等量关系即可求解.解

55、：设这两个多边形的边数分别为 2x和3x.由题意，得（2x 2） 1800 +(3x 2) 1800 = 1080 .解得x = 2.故这两个多边形的边数分别是 4和6.方法总结：运用多边形的内角和公式，建立方程模型来求多边形的边数是 比较常用的方法.【类型三】少加的内角如图所示，回答下列问题:这个多边形的内 葩和晶吗不对呀！仔物检青一下 忏！点少加广个内地J(1)小华是在求几边形的内角和？(2)少加的那个内角为多少度？解析：由多边形内角和公式(n 2) 180知，多边形白内角和是180的整数倍，而1125180的余数为45,这说明小华少加了一个135的角.11解：(1)因为 1125+ 18

56、0= 60.n_26& n 为整数，. n 2=7, n=9,故小华求的是九边形的内角和；(2)因为1125180的余数为45,故小华少加的那个内角度数为 1800 450 = 135 .类型四 求不规则多边形的内角和I.SJI 6解析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接 BF,则可得到一个五边形，借助五边形的内角 和可解决问题.解：如图所示，连接 BF,则/A+ /G+ /1 = /2+/3+/4. .-/1 = /2,. / A+ ZG= Z3+Z 4,. / A+ / B+ / C+ / D+ / E+ / F+ / G= / D+ /

57、 C /CB斗 /BF9 /E= (52)X180 = 540 .方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加辅助线将其转化为规则图形，是解答此类题目最常用的方法.三、板书设计.多边形的定义及相关概念.多边形的对角线总条数的计算公式n（n23）（n为边数）.多边形的内角和公式：（n2） 180教学过程中，要让学生学会由特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我 们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生 这方面的能力.第2课时多边形的外角.理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；（重点）, 了解四边形的不稳定性及在生活和生产中的利与弊；.多边形内角和、外角和定理的综合运

58、用.（难点）、情境导入清晨，小明沿一个五边形广场的周围小跑，按逆时针方向跑步.（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中 标出它们.（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少?二、合作探究探究点一：多边形的外角和定理【类型一】 利用多边形的外角和定理求不规则图形的角度如图,/ A+ / B+ / C+ / D+ / E+ / F+ Z G+ / H 的度数为(A. 90 B . 180 C . 270 D . 360解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及多边形的外角和即可求解.1 = /A+ /B, /2=/C+ /D, /3=/E+ /F,

59、/ 4=/ G+ / H,/./ A+ / B+/C+ / D+ / E+ / F+/ G+ / H= / 1 + /2+/3 + /4,又=/ 1 + /2+/ 3+/4= 3600 ,，/A+ / B+ / C+ / D+ / E+ /F+ / G+ / H= 3600 .故选 D.方法总结：本题考查了三角形的外角以及多边形的外角和定理，正确地将 所求结论转化为多边形的外角和是解题的关键.类型二 利用四边形的外角和定理解决实际问题制12如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20。，再前进5m后又向右转20。，这样一直走下去，他第一次回到出发点 O时，一共走了（）A. 60m B. 100m

60、 C. 90m D. 120m解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m,每个外角都是20。，所以围成的正多边形的边数是3600 +20。=18,故小陈行走的总路程为5X18=90（m）.故选C.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用正多边形的外角和定理解 题.【类型三多边形内角和与外角和定理的综合运用3.卜列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A.四边形B .五边形C.六边形D .八边形解析：根据多边形的内角和为（n 2） 180 ,多边形外角和为 360 , （n 2） 180 = 360 , n=4.故选 A.方法总结：内角和为（n 2）X180 ,而外角和为