多元线性回归课件

1、世界上所有的模型都只是对现实世界的某种近似。没有完美的模型。所有的模型都命中注定要被修正、改进以至于被替代。 吴喜之 第 11 章 多元线性回归作者：中国人民大学统计学院贾俊平PowerPoint统计学统计应用预测大学足球比赛的获胜得分差额 为检验一场大学足球比赛中“争球码数”、“传球码数”、“回传次数”、“控球时间”以及“主场优势”等变量对比赛最后得分的影响，分析人员建立了一个多元回归模型。该模型的因变量是“比赛获胜得分的差值”，它等于胜方的最后得分减去负方的最后得分从高校体育协会前20名球队的比赛中随机抽取了90场，收集到自变量和因变量的数据，并进行多元回归分析，得到的回归结果如表预测变量

2、系数t值截距3.222.06争球码数差0.1112.50传球码数差0.0910.19回传次数差-2.80-5.75控球时间差-0.01-3.94主场优势变量3.041.68因变量：获胜得分差修正的R2=0.72第 11 章 多元线性回归11.1 多元线性回归模型 11.2 回归方程的拟合优度11.3 显著性检验11.4 多重共线性11.5 利用回归方程进行估计和预测11.6 变量选择与逐步回归11.7 虚拟自变量的回归11.8 非线性回归学习目标1.回归模型、回归方程、估计的回归方程2.回归方程的拟合优度回归方程的显著性检验多重共线性问题及其处理利用回归方程进行估计和预测虚拟自变量的回归问题非

3、线性回归用 Excel 进行回归分析11.1 多元线性回归模型11.1.1 多元回归模型与回归方程11.1.2 估计的多元回归方程11.1.3 参数的最小二乘估计多元回归模型与回归方程多元回归模型 (multiple regression model)一个因变量与两个及两个以上自变量的回归描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为 b0 ，b1，b2 ，bk是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xk 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系 所解释的变异性多元

4、回归模型(基本假定) 误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0对于自变量x1，x2，xk的所有值，的方差 2都相同误差项是一个服从正态分布的随机变量，即N(0,2)，且相互独立多元回归方程 (multiple regression equation)描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量 x1， x2 ，xk的方程多元线性回归方程的形式为 E( y ) = 0+ 1 x1 + 2 x2 + k xk b1，b2，bk称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均变动值二元回归方程的直观解释二元线性回归模型(观察到的y)回归面0ix1yx2(x

5、1,x2)估计的多元回归方程估计的多元回的方程(estimated multiple regression equation) 是 估计值 是 y 的估计值用样本统计量 估计回归方程中的 参数 时得到的方程由最小二乘法求得一般形式为参数的最小二乘估计参数的最小二乘法求解各回归参数的标准方程如下使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 。即参数的最小二乘法(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。试建立不良贷款y与贷款余额x1、累计应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资产投资额x4的线性回

6、归方程，并解释各回归系数的含义 用Excel进行回归11.2 回归方程的拟合优度11.2.1 多重判定系数11.2.2 估计标准误差多重判定系数多重判定系数(multiple coefficient of determination) 回归平方和占总平方和的比例计算公式为因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例 修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination) 用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 计算公式为避免增加自变量而高估 R2意义与 R2类似数值小于R2 Excel 输出结果的分析估计标准误差 Sy对误差

7、项的标准差 的一个估计值衡量多元回归方程的拟合优度计算公式为 Excel 输出结果的分析11.3 显著性检验11.3.1 线性关系检验11.3.2 回归系数检验和推断线性关系检验线性关系检验检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著也被称为总体的显著性检验检验方法是将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系线性关系检验提出假设H0：12k=0 线性关系不显著H1：1，2， k至少有一个不等于02. 计算检验统计量F确定显著性水平和分子自由度k、分母自由度n

8、-k-1找出临界值F 4. 作出决策：若FF ，拒绝H0 Excel 输出结果的分析回归系数检验和推断回归系数的检验线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第类错误(弃真错误) 对每一个自变量都要单独进行检验应用 t 检验统计量回归系数的检验(步骤)提出假设H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1： bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系) 计算检验的统计量 t 确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt(25-2)

9、=2.069，所以均拒绝原假设，说明这4个自变量两两之间都有显著的相关关系由表Excel输出的结果可知，回归模型的线性关系显著(Significance-F1.03539E-06=0.05) 。这也暗示了模型中存在多重共线性固定资产投资额的回归系数为负号(-0.029193) ，与预期的不一致多重共线性问题的处理多重共线性(问题的处理)将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使保留的自变量尽可能不相关如果要在模型中保留所有的自变量，则应避免根据 t 统计量对单个参数进行检验对因变量值的推断(估计或预测)限定在自变量样本值的范围内 Excel 输出结果的分析提示在建立多元线性回归模型时，不要试图引

10、入更多的自变量，除非确实有必要在社会科学的研究中，由于所使用的大多数数据都是非试验性质的，因此，在某些情况下，得到的结果往往并不令人满意，但这不一定是选择的模型不合适，而是数据的质量不好，或者是由于引入的自变量不合适 11.5 利用回归方程进行估计和预测软件应用置信区间估计(例题分析)STATISTICA输出的不良贷款的置信区间预测区间估计(例题分析)STATISTICA输出的不良贷款的预测区间11.6 变量选择与逐步回归11.6.1 变量选择过程11.6.2 向前选择11.6.3 向后剔除11.6.4 逐步回归变量选择过程在建立回归模型时，对自变量进行筛选选择自变量的原则是对统计量进行显著性

11、检验将一个或一个以上的自变量引入到回归模型中时，是否使得残差平方和(SSE)有显著减少。如果增加一个自变量使SSE的减少是显著的，则说明有必要将这个自变量引入回归模型，否则，就没有必要将这个自变量引入回归模型确定引入自变量是否使SSE有显著减少的方法，就是使用F统计量的值作为一个标准，以此来确定是在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量变量选择的方法主要有：向前选择、向后剔除、逐步回归、最优子集等 向前选择 (forward selection)从模型中没有自变量开始对k个自变量分别拟合对因变量的一元线性回归模型，共有k个，然后找出F统计量的值最高的模型及其自变量，并将其首先引入模型

12、 分别拟合引入模型外的k-1个自变量的线性回归模型 如此反复进行，直至模型外的自变量均无统计显著性为止向后剔除 (backward elimination)先对因变量拟合包括所有k个自变量的回归模型。然后考察p(pk)个去掉一个自变量的模型(这些模型中每一个都有k-1个自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除考察个再去掉一个自变量的模型(这些模型中每一个都有k-2个的自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除如此反复进行，一直将自变量从模型中剔除，直至剔除一个自变量不会使SSE显著减小为止逐步回归 (stepwise regression)将向

13、前选择和向后剔除两种方法结合起来筛选自变量在增加了一个自变量后，它会对模型中所有的变量进行考察，看看有没有可能剔除某个自变量。如果在增加了一个自变量后，前面增加的某个自变量对模型的贡献变得不显著，这个变量就会被剔除按照以上方法不停地增加变量并考虑剔除以前增加的变量的可能性，直至增加变量已经不能导致SSE显著减少在前面步骤中增加的自变量在后面的步骤中有可能被剔除，而在前面步骤中剔除的自变量在后面的步骤中也可能重新进入到模型中逐步回归 (例题分析SPSS输出结果)Variable Entered/Removed a model Variable EnteredVariable Removedmet

14、hod1各项贷款余额x1 Stepwise(Criteria:Probability-of-F-to-enter=.050,Probability-of-F-to-remove=.100. 2固定资产投资额x4 Stepwise(Criteria:Probability-of-F-to-enter=.050,Probability-of-F-to-remove=.100. a Dependent variable:不良贷款y逐步回归 (例题分析SPSS输出结果)Model summary model RR-SquareAdjusted R-Square Std.Error of the Est

15、imate 1.844a.712.6991.97992.872b.761.7391.8428a Predictors:(Constant),各项贷款余额x1b Predictors:(Constant),各项贷款余额x1,固定资产投资额x4逐步回归 (例题分析SPSS输出结果) ANOVA c modelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1 Regress ResidualTotal222.48690.164312.65012324222.4863.92056.754.000a2 Regress Residual Total237.94174.709312.650

16、22224118.9713.39635.034.000ba Predictors:(Constant),各项贷款余额x1b Predictors:(Constant),各项贷款余额x1,固定资产投资额x4c Dependent variable:不良贷款y逐步回归 (例题分析SPSS输出结果)ModelUnstandardizedCoefficientsUnstandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1 (Constant) 贷款余额x1 -.830.038.723.0050844-1.1477.534.263.0002 (Constant) 贷款余额

17、x1 固定资产投资x4-.443.050-.032.697.007.0151.120-.355-.6366.732-2.133.531.000.044a Dependent variable:不良贷款yCoefficients a11.7 虚拟自变量的回归11.7.1 含有一个虚拟自变量的回归11.7.2 用虚拟自变量回归解决方差分析问题含有一个虚拟自变量的回归虚拟自变量(dummy variable)用数字代码表示的定性自变量虚拟自变量可有不同的水平只有两个水平的虚拟自变量比如，性别(男，女) 有两个以上水平的虚拟自变量贷款企业的类型(家电，医药，其他) 虚拟变量的取值为0，1虚拟自变量的回

18、归回归模型中使用虚拟自变量时，称为虚拟自变量的回归当虚拟自变量只有两个水平时，可在回归中引入一个虚拟变量比如，性别(男，女) 一般而言，如果定性自变量有k个水平，需要在回归模型中引进k-1个虚拟变量虚拟自变量的回归(例题分析)【例】为了研究考试成绩与性别之间的关系，从某大学商学院随机抽取男女学生各8名，得到他们的市场营销学课程的考试成绩如右表 虚拟自变量的回归(考试成绩与性别的散点图)男 女虚拟自变量的回归(成绩与性别的Mean/SD/1.96*SD箱线图) y与x的回归虚拟自变量的回归 (例题分析)引进虚拟变量时，回归方程表示为E(y) =0+ 1x男( x=0)：E(y) =0男学生考试成

19、绩的期望值女(x=1)：E(y) =0+ 11女学生考试成绩的期望值注意：当指定虚拟变量0，1时0总是代表与虚拟变量值0所对应的那个分类变量水平的平均值1总是代表与虚拟变量值1所对应的那个分类变量水平的平均响应与虚拟变量值0所对应的那个分类变量水平的平均值的差值，即 平均值的差值 =(0+ 1) - 0= 1虚拟自变量的回归(例题分析)【例】为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如右表 y与x1的回归及分析 y与x1， x2的回归及分析虚拟自变量的回归 (例题分析)引进虚拟变量时，回归方程写为 E(y) =0+ 1x1+ 2x2女( x2=0)：E(y

20、|女性) =0 +1x1男(x2=1)：E(y|男性) =(0 + 2 ) +1x10表示：女性职工的期望月工资收入 (0+ 2)表示：男性职工的期望月工资收入 1表示：工作年限每增加1年，男性或女性工资的平均增加值 2表示：男性职工的期望月工资收入与女性职工的期望月工资收入之间的差值 (0+ 2) - 0= 2用虚拟自变量回归解决方差分析问题方差分析的回归方法 (例题分析)引进虚拟变量建立回归方程：E(Y)=0+ 1x1+ 2x2+3x3用Excel进行回归0家电制造业投诉次数的平均值 (0+ 1)零售业投诉次数的平均值 (0+ 2)旅游业投诉次数的平均值 (0+ 3)航空公司投诉次数的平均值 11.8 非线性回归11.8.1 双曲线11.8.2 幂函数曲线11.8.3 对