五年级数学思维拓展趣味入门二

1、五年级数学思维拓展】趣味入门勇闯智慧岛（二）余数定理了解余数定理，会用余数定理解题掌握余数定理掌握同余定理1014 除以一个两位数，余数是 13。求出符合条件的所有的两位数。甲、乙两数的和是 1086，甲数除以乙数商 11 余 30 ，求甲、乙两数。在 2004，2007， 2009，2010，2012 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个 数归为一组。这样的数组共有 组。（即是该课程的课后测试）用某自然数 a去除1992 ，得到商是 46，余数是 r ，求a和r1013除以一个两位数，余数是 12 求出符合条件的所有的两位数甲、乙两数的和是 1088，甲数除以乙数商 11余 32

2、，求甲、乙两数一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数有两个自然数相除，商是 17，余数是 13 ，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？因为 1992是 a的 46倍还多 r , 得到 1992 46 43 14，得1992 46 43 14，所以 a 43 ， r 141013 12 1001，1001 7 11 13 ，那么符合条件的所有的两位数有 11,13,77,91 ，因为 “余数小于除数” , 所以舍去 11，答案只有 13,77,913. 因为 甲 乙 11 32 ，所以 甲 乙乙 11 32 乙乙 12 32 1088 ；则乙 (1088 32)

3、 12 88 ，甲1088 乙 1000本题为余数问题的基础题型， 需要学生明白一个重要知识点， 就是把余数问题 - 即“不 整除问题” 转化为整除问题。方法为用被除数减去余数， 即得到一个除数的倍数； 或者是用 被除数加上一个“除数与余数的差” ，也可以得到一个除数的倍数。本题中 310-37=273 ，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3713，所求的 两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有 39， 91.被除数 除数 商 余数 被除数 除数 +17+13=2113，所以被除数 除数 =2083，由 于被除数是除数的 17倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数 =（208

4、3-13 ） （17+1） =115，所以被除数 =2083-115=1968五年级数学思维拓展】趣味入门勇闯智慧岛（二）余数定理 （2）了解余数定理，会用余数定理解题掌握余数定理掌握同余定理求 478296351 除以 17 的余数。著名的裴波那契数列是这样的： 1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中， 第 2008 个数除以 3 所得的余数为多少？有一串数： 1，1，2，3，5，8，在这串数的前 2009 个数中， 有几个是 5 的倍数？有一个自然数，除 345和 543所得的余数相同，且商相差 33求这个数是多少？即是该课程的课后测试）（2002 年全国小学数学奥林匹克试题 ）两

5、数相除，商 4余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是 16. 被除数、除数、商、余数的和是 933，求这 2 个自然数各是多少 ?（2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题 ） 三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除 以 19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是 ， ， 。（2004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题）一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是 .一 个两位 数除以 13 的商 是 6，除 以 11 所得 的余 数是

6、 6，求这个 两位数因 为 被 除 数 减 去 8 后 是 除 数 的 4 倍 ， 所 以 根 据 和 倍 问 题 可 知 ， 除 数 为 415 4 8 8）（4 1） 79 ，所以，被除数为 79 4 8 324。本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y ，可以得到x 40y 16x y 40 16933,解方程组得x 856 ，即这两个自然数分别是y 21856，21.3. 设所得的商为 a ，除数为 b (19a b) (23a b) (31a b) 2001， 73a 3b2001，由b 19 ，可求得 a27，b10 所以，这三个数分别是19ab 523

7、，23ab 631 ，31a b 847 。4 设这个自然数除以11余a(0a 11)，除以 9余b (0b 9) ，则有 11aa9 3b b ，即 3a 7b ，只有 a7，b3，所以这个自然数为 12 784。5. 因为一个两位数除以13的商是 6，所以这个两位数一定大于13 678，并且小于13 （6 1） 91 ；又因为这个两位数除以 11余 6，而78除以 11余1，这个两位数为 78 5 83五年级数学思维拓展】趣味入门勇闯智慧岛（二）余数定理 （3）了解余数定理，会用余数定理解题掌握余数定理掌握同余定理若两个数 a， b 除以同一个数 m得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被

8、 m整除。有一个大于 1的整数，除 45，59，101 所得的余数相同，求这个数。有一个整数，除 39， 51，147 所得的余数都是 3，求这个数。有一个自然数，除 345 和 543 所得的余数相同，且商相差 33。求这个数是多少？即是该课程的课后测试）有一个大于 1 的整数，除 45,59,101 所得的余数相同，求这个数有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？在小于 1000 的自然数中，分别除以 18 及 33 所得余数相同的数有多少个 ?（ 余数可以为 0）一个三位数除以 17

9、 和 19 都有余数，并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？相同，而 999 198=5 9，所以共有 518+9=99 个这样的数设这个三位数为 s ，它除以 17 和 19 的商分别为 a 和 b ，余数分别为 m 和 n ，则 s 17a m 19b n 根据题意可知 a m b n ，所以 s a m s b n ，即 16a 18b ，得8a 9b 所 以a是9 的倍数， b是81nmabaaa998 的倍数此时，由 a m b n 知由于 s为三位数， 最小为 100，最大为 999，所以 100

10、17a m 999 ，而1 m 16，所以 17a 1 17a m 999 ，100 17a m 17a 16，得到 5 a 58，而a是 9 的倍数，所以 a 最小为 9，最大为 541当 a 54 时 ， n m a 6 ， 而 n 18 ， 所 以 m 12 ， 故 此 时 s 最 大 为 917 54 12 930 ；1当 a 9时， n m a 1 ，由于 m 1，所以此时 s最小为 17 9 1 154 9所以这样的三位数中最大的是930，最小的是 154五年级数学思维拓展】趣味入门勇闯智慧岛(二)余数定理 (4)了解余数定理，会用余数定理解题掌握余数定理掌握同余定理若 2836，

11、4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除， 所得余数相同且为 两位数，除数和余数的和为 。有一个整数，用它去除 70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数用自然数 n去除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，那么 n即是该课程的课后测试）两位自然数 ab与ba除以 7都余 1，并且 a b，求 ab ba学校新买来 118 个乒乓球， 67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平 分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？在除 13511， 13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是

12、2003 222003与20032的和除以 7的余数是 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛 , 规定每两人比赛的盘数 是他们号码的和被 3 除所得的余数 . 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘 ?ab ba 能被 7 整除，即 （10a b） （10b a） 9 （a b）能被 7 整除所以只能有 a b 7 ， 那 么 ab 可能 为 92 和 81， 验算 可得 当 ab 92 时 ， ba 29 满足 题目 要求 ， ab ba 92 29 2668所求班级数是除以 118,67,33 余数相同的数那么可知该数应该为 118 67 51 和 67

13、33 34 的公约数，所求答案为 17因为 13903 13511 392, 14589 13903 686 ，由于 13511，13903，14589 要被同一个 数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除 （392,686） 98 ，所以所求 的最大整数是 98.即是该课程的课后测试）即是该课程的课后测试）五年级数学思维拓展】趣味入门勇闯智慧岛（二）完全平方数认识完全平方数认识完全平方数完全平方数的性质完全平方数的解题技巧简答题：什么是完全平方数？写出从 360到 630 的自然数中有奇数个约数的数一个数的完全平方有 39 个约数，求该数的约数个数是多少？从 1 到 2008

14、的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a的最小值是 1. 答案：把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。2. 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后 ,将每个质因数的指数 （次数 ）加 1 后所得的乘积 .如:1400 严格分解质因数后为23527, 所以它的约数有 （3+1） （2+1） （1+1）=4 32=24个.（ 包括 1 和它自身 ）如果某个自然数有奇数个约数 , 那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个 . 这样 它们加 1 后均是奇数 ,所得的乘积才能是奇数 . 而所有质因数的个数均是偶数个

15、的 数为完全平方数 .即完全平方数 （除 0外）有奇数个约数 ,反过来,有奇数个约数的数 一定是完全平方数由以上分析知 ,我们所求的为 360630 之间有多少个完全平方数 ?1818=324,19 19=361,25 25=625,26 26=676,所以在 360 630 之间的完全平 方数为 192,202,212,222,232,242,252 即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,6253. 设该数为 p1a1 p2a2 Lpnan ，那么它的平方就是 p12a12a2p22a2L2anpn2an因此 2a1 1 2a2

16、 1 L2an 1 39 由于 39 1 39 3 13，所以， 2a1 1 3， 2a21 13 ，可得 a1 1 ， a2 6 ；故该数的约数个数为 1 16 1 14 个；或者， 2a1 1 39 ，可得 a1 19 ，那么该数的约数个数为19 120个所以这个数的约数个数为14 个或者 20 个4 完全平方数，其所有质因数必定成对出现而 72 2判断下面哪个是完全平方数？ 108 224 625 1033 32 2 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍，由于 2 31 31 19222008 2 32 32 2048 ，所以2 12 、2 22 、22 312都满足题意

17、，即所求的满足条件的数共有31 个先将 1016 分解质因数： 1016 23 127，由于 1016 a 是一个完全平方数， 所以至少 为 24 1272 ，故 a 最小为 2 127 254五年级数学思维拓展】趣味入门勇闯智慧岛（二）完全平方数（ 2）认识完全平方数1. 认识完全平方数2. 完全平方数的性质3.完全平方数的解题技巧1. 观察这组数 1，11，111，1111 其中 1是完全平方数，除 1 以外，你还能找到其它 完全平方数吗？如果能，请给出一个。如果不能，请说明理由。2. 判断下面各数是完全平方数吗？ 1366 3486000 625 78633两个自然数的和是 75，它们的

18、最大公约数是 25， 试求这两个数。1 100以内的 100 个自然数中，质因数为奇数个的数有多少个？即是该课程的课后测试）1. 已知 恰是自然数 b的平方数， a 的最小值是。2. 已知自然数 n 满足： 12!除以 n 得到一个完全平方数，则 n的最小值是考虑下列 32个数： 1!， 2! ， 3!， 32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各 数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是A是一个两位数，它的 6倍是一个三位数 B，如果把 B放在 A的左边或者右边得到两个不 同的五位数， 并且这两个五位数的差是一个完全平方数（整数的平方 ） ，那么 A 的所有可能取值之和为。已知 ABCA是一个

19、四位数，若两位数 AB是一个质数， BC 是一个完全平方数， CA是一 个质数与一个不为 1 的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是 1. 3528 23 32 72 ，要使3528a是某个自然数的平方， 必须使 3528a各个不同质因数的个 数为偶数，由于其中质因子 3和7各有 2个，质因子 2有3个，所以 a为 2可以使 3528a是 完全平方数，故 a 至少为 22. 先将 12!分解质因数： 12! 210 35 52 7 11，由于 12!除以 n得到一个完全平方数， 那 么这个完全平方数是 12!的约数，那么最大可以为 210 34 52 ，所以 n 最小为 12! 210 3

20、4 52 3 7 11 231 本题也可以这样想， 既然 12!除以 n得到一个完全平方数， 12! 的质因数分解式 中 3，7，11 的幂次是奇数，所以 n的最小值是 3 7 11 231设这 32 个数的乘积为 A2 2 2A 1! 2! 3! L 32! (1!)2 2 (3!)2 4 L (31!) 2 322 2 16(1! 3! L 31!)2 (2 4 L 32) (1! 3! L 31!)2 216 16! ， 所以，只要划去 16! 这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数 另外，由于 16! 16 15!，而 16 也是完全平方数，所以划去 15!也满足题意如果把 B

21、放在 A的左边，得到的五位数为 100B A 601A ；如果把 B 放在 A的右边，得到的五位数为 1000A B 1006A ；这两个数的差为 1006A 601A 405A ，是 2一个完全平方数，而 405 92 5，所以 A是 5 与一个完全平方数的乘积 A又是一个两位 数 ， 所 以 可 以 为 5 22 、 5 32 、 5 42 ， A 的 所 有 可 能 取 值 之 和 为 2225 22 5 32 5 42 145本题综合利用数论知识， 因为 AB 是一个质数， 所以 B不能为偶数， 且同时 BC 是一 个完全平方数，则符合条件的数仅有16 和 36，所以可以确定 B为 1

22、或 3， C 6由于 CA是一个质数与一个不为 1 的完全平方数之积，在 6169 中只有 63 和 68 符合条件，那么 A 为 3 或 8那么 AB 可能为 31，33， 81，83，其中是质数的有 31 和 83，所以满足条件的四 位数有 3163 和 8368五年级数学思维拓展】趣味入门勇闯智慧岛(二)完全平方数( 3)1. 认识完全平方数2. 完全平方数的性质完全平方数的解题技巧1. 123456787654321(1 2345 6787654321)是 的平方。2. 1 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美 妙数”问：所有小于 2008 的美妙数

23、的最大公约数是多少？ 记S (1 2 3 L n) (4k 3)，这里 n 3当 k在 1至 100之间取正整数值时， 有 个不同的 k，使得 S 是一个正整数的平方 称能表示成 1 2 3 L k的形式的自然数为三角数有一个四位数 N ，它既是三 角数，又是完全平方数则 N 自然数的平方按大小排成 1， 4，9，16，25，36，49，问：第 612 个位置的数字是 几？2232 20092 20102除以 4 的余数是多少？3.120 与一个自然数的乘积是一个完全平方数，则这个自然数最小值是多少？即是该课程的课后测试)A 是由 2002 个“ 4”组成的多位数，即 414442L434，A

24、是不是某个自然数 B的平方？如果 2002个4是，写出 B；如果不是，请说明理由1. 60 3 4 5 是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60任何三个连续正整数，必有一个能为 3 整除，所以，任何美妙数必有因子 3若中间的数是 偶数，它又是完全平方数，必定能为 4 整除；若中间的数是奇数， 则第一和第三个 数是偶数，所以任何美妙数必有因子4另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是 0和 5，则中间的数能被 5整除；若其个位是 1和 6，则第一个数能被 5 整除；若其个位是 4 和 9，则第三个数能被 5 整除所以， 任何美妙数必有因子 5由于 3，4，5

25、 的最小公倍数是 60，所以任何美妙数必有因 子 60 ，故所有美妙数的最大公约数至少是60综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于 60，又至少是 60，所以，只 能是 602. 一个平方数除以 4的余数是 0或1当n 4时，S除以 4余 3，所以 S不是平方数；当n 3 时，S 4k 9，当 k在 1至100之间时， S在 13至 409之间，其中只有 8个平方 数是奇数： 52，72，92，112，132，152，172，192，其中每 1 个平方数对应 1 个 k ，所以答案为 8依题有 1 2 3 L k a2，即 k(k 1) 2 a2因为 k 与 k 1是两个连续自然数，其

26、中 必有一个奇数，有奇数 相邻偶数 a2 又由相邻自然数互质知， “奇数”与“ 相邻偶数 ” 22 也互质，于是奇数m2， 相邻偶数 n2 ( a m n) ，而 a2 为四位数，有 32 a 99，即232 m n 99，又 m2与 2n2相邻，有 7 m 12当m 7时，m2 49 ，相邻偶数为 50时，n 5满足条件，这时 a2 (7 5)2 1225， 即 N 1225 ；当 m 9 时， m2 81 ，相邻偶数为 80 和 82 都不满足条件；当m 11时， m2 121，相邻偶数为 120和 122 都不满足条件所以， N 1225 1 到 3的平方是一位数，占去 3 个位置；4到

27、 9的平方是二位数，占去 12个位置；10到 31 的平方是三位数，占去 66 个位置；32到 99的平方是四位数，占去 272 个位置；将1到 99的平方排成一行，就占去 353个位置，从 612减去 353，还有 259个位 置从 100 到 300 的平方都是五位数， 因此，第 612 个位置一定是其中某个数的平方中 的一个数字因为 259 51 5 4，即从 100 起到 150，共 51 个数，它们的平方都是五位数， 要占去 255个位置， 而151 151 22701，它的第 4个数字是 0，所以第 612个位置 的数字是 0A 414442L434 22 1121L31 如果 A 是某个自然数的平方，则 1121L3 1也应是某个自然数的 2002个42002个12002 个1平方， 并且是某个奇数的平方 由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是4 的倍数，而1121L3 1 1 1121L310不是 4的倍数，矛盾，所以 A不是某个自然数的平方2002个 12001 个11.这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相 同，根据同余定理， 我们可以得到： 这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是 说它是任意两数差的公约数 101 45 56 ，59 45 14 ，（56,14）