圆中的动点问题(供参考)

1、百度文库让每个人平等地捉升口我 百度文库让每个人平等地捉升口我圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一 (2012江西南昌12分)已知，纸片OO的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.折叠后的AB所在圆的圆心为O时，求OA的长度：如图2,当折叠后的AB经过圆心为0时，求AOB的长度：如图3,当弦AB=2时，求圆心0到弦AB的距离；在图1中，再将纸片00沿弦CD折叠操作.设点M为AB的中点，点N为CD的中点,如图5,当A3与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P

2、时,【答案】解：(1)折叠后的AB所在圆OFG)0是等圆，0S=0/U2。如图4,当AB/CD.折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点0到弦CD的距离之和为，求的值:当AB经过圆O时，折叠后的AB所在圆O在。O上，如图2所示，连接 O71. OA OB OB9 00OO为，Ho(XB为等边三角形， ZA0B= ZAOfO+ ZBoO=60。+60 J120O A 八 C AAl r 120 /r 2 4 AOB的长度=1803如图3所示，连接Q4, OB.OA=OB=AB=I.AOB为等边三角形。过点 O 作 OE丄AB 于点 E, ：. OEOA-SinW 3 O圉斗（2）如图4,当折叠

3、后的AB与CD所在圆外切于点P时，过点O作尸丄AB交AB于点从交AEB于点E,交CD于点G、交CFD 于点F,即点、H、P、O、G、F在直径F上。9：AB/CD. EF 垂直平分 AB 和 Ca根据垂径左理及折叠，可知PH=；PE PG=IPFa2 2又VEF=4, 点O到ABQD的距离之和d为：d=PH+PG=-PE+-PF=- (PEPF) =2.如图5,当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下:设O, 0为APB和CPD所在圆的圆心，点O与点O关于AB对称，点O于点O关于CD对称,点M为的00中点，点N为00的中点。折叠后的APB与CPD所在圆外切，连心线00”必过切点

4、几 折叠后的APB与CPD所在圆与OO是等圆，：.OtP=OfrP=2. ：. PM=OOf =ON, PN=-OOt=OM,2 2四边形OMPN是平行四边形。【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判宦.垂径左理，弧长的计 算，解直角三角形三角形中位线泄理。【分析】（1）折叠后的AB所在圆O与Oo是等圆，可得OA的长度。如图2,过点0作OE丄AB交OO于点& 连接O4OB. AE. BE.可得2OAf ZkOBE为等边三角形,从而得到AoB的圖心角，再根据弧长公式计算即可。如图3,连接0A. OB 过点O作0迟丄AB于点你 可得AAOf为等边三角形，根

5、据三角函数的知识可求折叠后求AOB所在圆的圆心O到弦AB的距离“(2) 如图4, AEB与CFD所在圆外切于点P时，过点O作EF丄AB交AEB于于点& 交CFD于点氏根 据垂径立理及折叠，可求点O到AB. CD的距离之和。由三角形中位线左理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。变式一 如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后.劣弧BC与AB交于点D,得到BDG若亦=3,求证：BDC必经过圆心0；若 AB=8, BD=2CD.求 BC 的长.变式二如图，AABC内接于O, AD丄BG OE丄BC, OE= 2 BC.求ZBAC的度数；将厶ACD沿AC折叠为 AC

6、F,将ZkABD沿AB折叠为AABG,延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形：(3)若 BD=6, CD=A.求 AD 的长.G.H!1XB题型二：圆中的旋转问题例题二(2011湖南常徳,25. 10分)已知AABC分別以AC和BC为直径作半圆Q、O2, P是AB的中点。如图8,若AABC是等腰三角形，且AC=BC,在Aa BC上分别取点E. F,E = ZBO2F .则有结论PO1E SFO2P 四边形POXCOl是菱形。请给出结论的证明：（2）如图9,若（1）中AABC是任意三角形，苴它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明;（3）如图10,若PC是O的

7、切线，求证：AB2=BC2+3AC2（1）VBC是。02直径，则02是BC的中点又P是AB的中点.,AP 02是ZABC的中位线AP 02 = 2 AC又 AC 是C)Ol 直径P 02= OlC= 2 AC丄同理 P OI= 02C = 2 BCRVAC =BC P 02= OlC=P OI= 02C四边形 POlCO2 是菱形结论APOlE仝AP02F成立，结论不成立丄证明：在(1)中已证P02=2aC,又0IE= 2 ACP02=01E同理可得 POI=O2FVP02 是ZkABC 的中位线P02AC ZP02B =ZACBZP 01A+ZAOlE =ZP02B+ZB02F同理ZP OI

8、A=ZACB .ZP02B=ZP OIA V ZAOIE =ZB02F即ZP OIE =ZF 02 PX E01PP02F;(3)延长AC交002于点D,连接BD TBC是Oo2的直径，则ZD90o 又PC是Ool的切线，则ZACP=90 , ZACP=ZD又 ZPAC= ZBADAPCBAD又P是AB的中点AC AP IADB2AAC=CD在 Rt BCD 中，BC2 = CD2 + BD2 = AC2 + BD2在 RtABD 中、初丄=AD2 + BD2.AB2 =4AC2+BD2 =（AC2+BD2）+3AC2 ABI=BC2+3ACI评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也

9、可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的 平行四边形；要证两三角形全等，可通过SSS, SAS, ASA,或AAS来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应 首先考虑勾股定理及等量代换.变式一阅读下列材料，然后解答问题。经过正四边形（即正方形）顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫 作这个圆的内接正四边形。如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆C）O, OO的而积为SV正四边形ABCD的面积为S?,以圆心0为顶点作ZMON,使ZMoN=90。，将ZMON绕点0旋转，OM、ON分别与Oo相交于点、F,分别与正四边形ABCD的边相交于点G、

10、H。设0E、OF、EF及正四边形ABCD的边用成的图形（图中阴影部分）的而积为S（1）当OM经过点A时（如图），则S、SP S?之间的关系为：S= （用含S：、S?的代数式表示）；（2）当0MJ.AB时（如图），点G为垂足,则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。（3）当NMON旋转到任意位置时（如图，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由.【答案】解：（1）上匸电4（2）成立。理由：连OB,可证图中的两个阴影部分的而积之和等于图的阴影部分的而积 AEo OBC,又Z A=30% Z COB=Z A=30o;(2) AE=33, Z A=30o,在 Rt AEC 中，tanA=tan30o=

11、,AE即 EC=AEtan30o=3, OB丄MN,B 为 MN 的中点，又 MN=222, /. MB=1mn=222连接 OM,在 MOB 中，OM=R, MB=22tOB=Vom2 - mb2=k2 -22在ACOB 中，ZBOC=30。， COSZ BOC=COS. BO=Zioc,OC 22.0C0B 寻勾 r2_22，又 OC+EC=OM=R, .2 _ 22+3,整理得：R2+18R- 115=0,即(R+23) (R 5) =O,解得：R=-23 (舍去)或R=5,则 R=5；在EF同一侧，ACOB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个, 如图，每小图2个，顶点在圆上的

12、三角形，如图所示：延长Eo交圆O于点D,连接DF,如图所示,百度文库让每个人平等地捉升自我 EF=5,直径ED=IO,可得出ZFDE=30。，.,.FD=53则 C EFD=5+10+515+53,由（2）可得 C cob=3+VC EFD： C COB= （ 15+5V3（3+3）=5: 1点评：此题考查了切线的性质，垂径圧理，勾股立理，相似三角形的判圧与性质，含30。宜角三角形的性质，平移及 旋转的性质，以及锐角三角函数泄义，熟练掌握左理及性质是解本题的关键.题型三：圆中的动点例题三（2012江苏南京10分）如图，A、B为Oo上的两个泄点，P是OO上的动点（P不与A、B重合），我们称ZAP

13、B为00上关于A、B的滑动角。（1）已知ZAPB是G）O上关于点A、B的滑动角。若AB为00的直径，则ZAPB=若0半径为1, AB=近,求ZAPB的度数EfJA重合，F是AC的中点(2)在ZXOEB和 ZXFOC中，ZEO3 + ZFOC = 135, ZEOB + ZOEB = 35,RF RC ：.ZFOC = ZOEB 又 VZB = ZC, .ZOEBFOC：=CO CFVBE = x, CF = y, OB = OC =-y22 +22 =2, y = -(lx2).2X.BE OE .1 BE BO BO OF OE OFRP OPO) EF与。相切如Sc,昂=乔又 YZB =

14、ZEOF = 45, . ABEO sqeF =ZBEO = ZOEF 点 O 到 A3 和 EF 的距离相等. VAB与C)O相切，点O到EF的距离等于OO的半径：.EF与G)O相切.变式二 如图，在00上位于直径AB的异侧有左点C和动点P, AC= 2 AB,点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重 合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.（1）如图 1,求证：PCDABC:（2）当点P运动到什么位置时，APCD9ZABC?请在图2中画出APCD并说明理由：（3）如图3,当点P运动到CP丄AB时，求ZBCD的度数【课后练习】1、（2012-湘潭如图，在C）O上位于直径AB的异侧有左点

15、C和动点P, Ae=AB,点P在半圆弧AB上运动（不与A、 B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.图1图2图3（1）如图 1,求证： PCD- ABC:（2）当点P运动到什么位置时， PCD旻 ABC?请在图2中画岀 PCD并说明理由;百度文库让每个人平等地捉升自我如图3,当点P运动到CP丄AB时，求Z BCD的度数考点：圆周角左理：全等三角形的性质：垂径沱理；相似三角形的判左。专题：几何综合题。分析：(1)由AB是Oo的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得ZACB=90。，又由PD丄CD,可得ZD=ZACB, 又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得ZA=ZP

16、,根据有两角对应相等的三角形相似， 即可判定： PCD ABC：由厶PCDj ABC,可知当PC=AB时， PCg ABC,利用相似比等于1的相似三角形全等即可求 得：由ZACB=90。，AC=AB.可求得ZABC的度数，然后利用相似，即可得ZPCD的度数，又由垂径左理, 求得菖亦.然后利用圆周角立理求得ZACP的度数，继而求得答案解答：(1)证明:VAB是OO的直径,J. zACB=90o,/ PD丄CD, Z D=90, Z D=Z ACB, Z A与ZP是BC对的圆周角，Z A=Z P, PCD- ABC:解：当PC是OO的直径时，APCD更厶ABG理由：. AB, PC是OO的半径，

17、AB=PC,CS(D) PCD- ABC,. PCD旻 ABC；解:ZACB=90% AC=AB Z ABC=30o, PCD- ABC, Z PCD=Z ABC=30。，TCP丄AB, AB是OO的直径，. AC=AP. Z ACP=Z ABC=30。， Z BCD=Z AC - Z ACP - Z PCD=90o - 30o- 3O=3O.点评：此题考查了圆周角龙理、垂径泄理、相似三角形的判左与性质、全等三角形的判加与性质以及直角三角形的性 质等知识此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用.2、如图，已知射线DE与X轴和y轴分别交于点D (3, 0)和点E (0, 4),动点C从点M (5, 0)出发，以1个单位 长度/秒的速度沿X轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D岀发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向 作匀速运动.设运动时间为/秒.(I)请用含/的代数式分别表示出点C与点P的坐标；(2)以点幼圆心、P个单位长度为半径的XF轴交于儿B两点(点A在点B的左侧)，连接PA