误差与数据处理教学讲解

1、 10 误差与数据处理测量就是将待测量与选做标准单位的物理量进行比较，得到此物理量的测量值。测量值必须包括:数值和单位，如测量课桌的长度为1.2534m。 测量的分类： 按测量方式通常可分为：直接测量由仪器直接读出测量结果的叫做直接测量 如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等间接测量由直接测量结果经过公式计算才能得出结果的叫做间接测量。 如：测量单摆的振动周期T，用公式求得g一、测量和测量误差真值是指在测量一个量时，该量本身所具有的真实大小。客观存在的、一般情况下不可测得的（测量的不完善造成）。可知的真值：理论真值-理论设计值、理论公式表达值等 如三角形内角和180；一个整圆周角为360。

2、约定(实用)真值-指定值，最佳值等， 如阿伏加德罗常数, 算术平均值当真值等。一、测量和测量误差一、测量和测量误差实际测量中，常用被测的量的实际值来代替真值，而实际值 定义是满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。如在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为实际值。例：用二等标准压力计测量某压力，测得值为9000.2N/cm2，若一等标准压力计测量值为9000.5N/cm2，二等标准压力计的测量误差为？ 9000.2N/cm2-9000. 5N/cm2=-0.3N/cm2二、绝对误差和相对误差误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点绝对误差（absolute er

3、ror） 定义 测得值 被测量的真值，常用约定真值代替 绝对误差 特点 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。 绝对误差不能完全说明测量的准确度。 二、绝对误差和相对误差修正值(correction) 与误差绝对值相等、符号相反的值，一般用c表示。 在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。 修正结果是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。 在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的形式给出。 二、绝对误差和相对误差【例1-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书

4、，得知该电压表在220V附近的误差为5V ，被测电压的修正值为5V ，则修正后的测量结果为226+(5V )=221V。 测得值真值绝对误差二、绝对误差和相对误差定义 被测量的真值相对误差 特点相对误差只有大小和符号，而无量纲，一般用百分数来表示。 相对误差常用来衡量测量的相对准确程度。 绝对误差相对误差（relative error） 二、绝对误差和相对误差引用误差（fiducial error of a measuring instrument） 定义 该标称范围（或量程）上限 引用误差 仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差 引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称

5、范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。 二、绝对误差和相对误差我国电工仪表、压力表的准确度等级（accuracy class）就是按照引用误差进行分级的。 当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为 最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确 （公式2）（公式1）电工仪表、压力表的准确度等级仪表准确度等级选择原则 不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根据被测量的大小，兼顾仪表的级别和标称范围（或量程）上限合理进行选择。 选

6、择被测量的值应大于均匀刻度测量仪表量程上限的三分之二，即 测量的最大相对误差不超过 即测量误差不会超过测量仪表等级的1.5倍。【例1-2 】某被测电压为100伏左右，现有0.5级、量程为300伏和1.0级、量程为150伏两块电压表，问选用哪一块合适？ 【解】 由公式2，当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有 当用1.0级、量程为100伏的电表测量时，有 可见，如果量程选择适当，用1.0级电压表进行测量与用0.5级一样准确。考虑到仪表等级越高，成本越高，故应选择1.0级电压表进行测量。 【例1-3 】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度

7、处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？ 由公式2，该电压表的引用误差为 由于所以该电压表合格。【解】【例1-4 】某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。根据题意得 由公式1可知，最大绝对误差为 他们的相对误差分别为 可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。 【解】三、系统误差和偶然误差误差分类按其性质和原因可分为三类: 系统误差 偶然误差(随机误差) 粗大误差1系统误差：在重复测量条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减去真值 来源：仪器、装置误差；测量环境误差；测量理论或方法误差；人员误差-生理或心理

8、特点所造成的误差。标准器误差；仪器安装调整不妥,不水平、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂,分光计读数装置的偏心；附件如导线 理论公式为近似或实验条件达不到理论公式所规定的要求 温度、湿度、光照，电磁场等 特点：同一被测量多次测量中，保持恒定或以可预知的方式变化（一经查明就应设法消除其影响）三、系统误差和偶然误差系统误差分类:定值系统误差-其大小和符号恒定不变。 例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。 变值系统误差-呈现规律性变化。可能随时间,随位置变化。例如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心不重合，存在偏心差 发现的方法 (2)理论分析法- 理论公式和仪器要求的使用条件 规律

9、性变化(一致变大变小)一定存在着系统误差 (1)数据分析法- 观察 随测量次序变化三、系统误差和偶然误差(3)对比法 实验方法 仪器 改变测量条件 处理: 任何实验仪器、理论模型、实验条件，都不可能理想 a. 消除产生系统误差的根源(原因) b. 选择适当的测量方法 单摆g=(9.8000.002)m/s2；自由落体g=(9.770.02)m/s2，其一存在系统误差 如两个电表接入同一电路，对比两个表的读数，如其一是标准表，可得另一表的修正值。 某些物理量的方向、参数的数值、甚至换人等 三、系统误差和偶然误差交换法-如为了消除天平不等臂而产生的系统误差 替代法-如用自组电桥测量电阻时 抵消法-

10、如测量杨氏模量实验中，取增重和减重时读数的平均值；各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性， 都是些经验型、具体的处理方法! 半周期法-如分光计的读数盘相对180设置两个游标，任一位置用两个游标读数的平均值三、系统误差和偶然误差2偶然误差（随机误差）：测量结果减去同一条件下对被测量进行无限多次测量结果的平均值 来源：仪器性能和测量者感官分辨力的统计涨落，环境条件的微小波动，测量对象本身的不确定性(如气压小球直径或金属丝直径)等。 特点：个体而言是不确定的; 但其总体服从一定的统计规律。处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准差），不可修正，但可减小之。定义: 在相同的条件下，由于偶然的

11、不确定的因素造成每一次测量值的无规则的涨落，测量值对真值的偏离时大时小、时正时负，这类误差称为偶然误差。三、系统误差和偶然误差测量结果分布规律的估计经验分布曲线 f(vi)-vi 测量列 xi ， n容量对大量数据处理时，往往对 i取一个单位 (尽量小)，考虑 i落在第一个 ，第二个 ，第三个 -的f( i)，-经验分布曲线f(i)- i出现的概率正态分布均匀分布三角分布i (单位)-0.2-0.10.00.10.2出现次数1020402010f (i)0.10.20.40.20.1三、系统误差和偶然误差3粗大误差 ：明显超出规定条件下预期的误差来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、

12、算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。处理：实验测量中要尽力避免过失错误； 在数据处理中要尽量剔除坏值。实验中的异常值决不能不加分析地统统扔掉 -很多惊世发现都是来自于超出预期的结果！三、系统误差和偶然误差精度：反映测量结果与真值接近程度的量1精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。 2. 准确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。 3.精确度： 它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合的影响程度。四、精度具体测量中，精密度高而准确度不一定高，准确度高而精密度不一定高，但精确度高泽精密度和准确度都高。（a）精密度低,正确度高（b）精密度高， 正确度低（c）精密度、 正确度和准确度皆高

13、四、精度五、测量结果的不确定度 1什么是不确定度测量结果写成如下形式：yNN (1.1)其中y 代表待测物理量，N 为该物理量的测量值， N 是一个恒正的量，称为不确定度，代表测量值 N 不确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，是对待测真值可能存在的范围的估计。不确定度和误差是两个不同的概念:误差是指测量值与真值之差，一般情况下，由于真值未知，所以它是未知的不确定度的大小可以按一定的方法计算(或估计)出来。2测量结果的含义式 yNN 的含义是: 待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内，或者说，上述范围以一定的概率包含真值。这里所说的“一定的概率”称为置信概率，而区间N -N，N +

14、N 则称为置信区间在一定的测量条件下，置信概率与置信区间之间存在单一的对应关系：置信区间越大，置信概率越高，置信区间越小，置信概率越低如果置信概率为100，其对应的N 就称为极限不确定度，用e 表示，这时式(1.1)写做YNe 表示真值一定在N -e，N +e中五、测量结果的不确定度 用标准差来表示N，这时式(11)写做YN 的大小标志着测量列的离散程度，置信概率为68.3。其意义可表示为: 待测量落在N-, N+范围内的可能性为68.3。要完整地表达一个物理量，应该有数值、单位和不确定度N三个要素。五、测量结果的不确定度 相对不确定度为了比较两个以上测量结果精确度的高低，常常使用相对不确定度

15、这一概念，其定义为相对不确定度=不确定度/测量值 即NN五、测量结果的不确定度 （1）直接测量中不确定度的估算 （a)多次测量：在相同条件下对一物理量X进行了n次独立的直接测量，所得n个测量值为x1，x2，xn，称其为测量列，标准不确定度参数：数学期望（算术平均值）和标准差3不确定度的估计方法 四、测量结果的不确定度 在真实世界中，除非在某些特殊情况下，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。从一大组数值X1, , XN中取出一样本数值组合x1, , xn （n2.717294.510503.215506.37850l7.

16、6914997.691测量误差的有效位数：修约原则-只入不舍相对不确定度-两位，如E=0.0010023修约为0.11%绝对不确定度-一位，当为1或9时，可以保留两位。如：0.00123写为0.0013，0.0962写为0.10。拟舍的第一位数字为5，其后无数字或皆为0 保留末位为奇数, 加1，保留末位为偶数, 不变 2 有效数字的修约六、有效数字3. 有效数字运算:规则: 准确数字与准确数字的运算结果仍为准确数字，准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运算结果为非准确数字。运算结果只保留一位非准确数字。(1)加减法 结果的非准确位与参与运算的所有数字中非准确位数值最大者相同29.2+

17、36.582-3.0281=？六、有效数字实际运算过程中，各数值保留的位数比各数值中小数点后位数最少者多保留一位小数，而计算结果有效数字的位数应与有效数最少的一数相同。29.2+36.582-3.0281 29.2+36.58-3.03=62.7562.83. 有效数字运算:(2)乘除法 结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最少的相同。如23.4*26的结果取为6.1*102 六、有效数字例如，0.23543828.661.8911 0.235428.661.89 = 414.6707116三个参与运算的数值的有效数字位数分别为六位、三位、六位，所以最终的计算结果用三位有效数字表示，为

18、415或4.15102。3. 有效数字运算:(3)乘方开方 结果的位数与相应的底数的位数相同如23.42的结果取为548 六、有效数字(4)对数 结果的位数(不包括首数)与真数的位数相同六、有效数字最后结果应为2.00191，结果的有效数字位数是五位（小数后位数），因整数部分只说明该数的10的方次。例如：log（100.44） = log（1.0044102） = 2.0019067六、有效数字(5)负数 先将它的绝对值进行修约，然后在修约值前面加上负号。如将下列数修约为两位有效数字 -365 -3610 -0.0365 -0.036 4. 测量最终结果的有效数字：结果的标准不确定度求出并修约

19、后，测量量结果的最后位与标准不确定度对齐，测量量结果按四舍五入的原则修约。如由公式求得的杨氏模量 Y=2.182641011(kg/m2)， 求得标准不确定度为 Y=0.02318641011(kg/m2)。则根据上述规则，最终结果为Y=(2.180.03)1011(kg/m2) E=1.4% 六、有效数字(1)加减法求N=X+Y+Z，其中X=(98.70.3)cm，Y=(6.2380.006)cm， Z=(14.360.08)cm (2)乘除法 求立方体体积V，其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm， B=(279.680.05)mm 六、有效数字解: N=X

20、+Y+Z=98.7+6.238+14.36= 119.298 (cm) 所以 N=(119.3 0.4) (cm)所以 V=(56743)*102 mm3 =219.866 mm3(3)指数 求ex，已知 x=7.850.05故 ex =（2.570.13）103 (4)三角函数- 已知x = 38241，求sinx sin3824= 0.62114778 所以 sin3824= 0.6211 0.0003 六、有效数字(5)对数- 已知x = 65.48，求lnx lnx = ln65.48= 4.18174475d(lnx)/dx=1/x - (1nx) =x/x= 0.1/65.48=0

21、.002 所以 lnx = 4.182 0.002必须指出，测量结果的有效数字位数取决于测量，而不取决于运算过程。因此在运算时，尤其是使用计算器时，不要随意扩大或减少有效数字位数，更不要认为算出结果的位数越多越好。 六、有效数字实验的数据处理不单纯是数学运算，而是要以一定的物理模型为基础，以一定的物理条件为依据，通过对数据的整理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论。1 列表法- 记录数据时，把数据列成表格要求(1)表格设计合理; (2)标题栏中写明各物理量的符号和单位; (3)表中所列数据要正确反映测量结果的有效数字； (4)实验室给出的数据或查得的单项数据应列在表格的上部 m (g)t1 (

22、s)t2 (s)t3 (s)5.0010.0015.00 如： r =2.50cm , h = cm七、数据处理2 图示法-将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来优点：物理量之间的变化规律； 内插法求值； 外推法求值。缺点：三个及其以上的变量不适用； 绘图时易引入人为误差。作图步骤 ： 选用合适的坐标纸 坐标轴的比例与标度用粗实线描出坐标轴(箭头)，横轴代表自变量,纵轴代表因变量，标明物理量名称(或符号)及单位。七、数据处理原则上，坐标中的最小格对应测量值可靠数字的最后一位，可根据情况选择这一位的“1”、“2”或“5”倍坐标轴的起点不一定从零开始，标度用整数，不用测量值。 标实验点以“+”、“”、 “”、 “”等符号标出实验点，测量数据落在所标符号的中心，大小适中。禁止用“ ” 一条实验曲线用同一种符号。 连图线（拟合线）把点连成直线或光滑曲线；不要无限延长要求数据点均匀地分布在图线两旁，连线要细而清晰七、数据处理3 线性回归（方程法） 根据实验数据用函数解析形式求出经验公式，既无人为因素影响，也更为明确和快捷,这个过程称为回归分析。函数关系已经确定，但式中的系数是未知的，利用测量的n对(xi，yi)值，确定系数的最佳估