抛物线及其标准方程

1、关于抛物线及其标准方程第一张，PPT共五十七页，创作于2022年6月问题探究：当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？探究？ 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.MFle=1几何画板观察第二张，PPT共五十七页，创作于2022年6月第三张，PPT共五十七页，创作于2022年6月2.4.1抛物线及其标准方程第四张，PPT共五十七页，创作于2022年6月MFle=1 在平面内,与一个定点F和一条定直线l (不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛

2、物线的焦点,直线l 叫抛物线的准线|MF|=dd 为 M 到 l 的距离准线焦点d一、抛物线的定义:第五张，PPT共五十七页，创作于2022年6月MFle=1二、标准方程的推导 思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?第六张，PPT共五十七页，创作于2022年6月1.建系2.设点3.列式4.化简l解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.两边平方,整理得xKyoM(x,y)F依题意得5.检验这就是所求的轨迹方程.y如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0 由抛物线的定义，可导出抛

3、物线方程为y2 = 2p(x- )(p0）p2第七张，PPT共五十七页，创作于2022年6月三、标准方程 把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.且 p的几何意义是:右焦点是：左准线方程为: 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.lxKyoM(x,y)F焦 点 到 准 线 的 距 离第八张，PPT共五十七页，创作于2022年6月yxoyxoyxoyxo 图 形 焦 点 准 线 标准方程第一:一次项的变量为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上.第二:一次项的系

4、数的正负决定了开口方向. 不容易错的最好方法是看看x(或y)的取值范围即：焦点与一次项变量相同；正负决定开口方向！ 第九张，PPT共五十七页，创作于2022年6月例1 1）抛物线的标准方程是y2 = 6x，求焦点和准线方程；2）抛物线的方程是y = 6x2,求焦点坐标和准线方程；3）抛物线的焦点坐标是F（0，-2）,求它的标准方程。解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准方程为:x = - 8y232解：因为，故焦点坐标为（,）32准线方程为x=- .解:方程可化为: 故焦点坐标为 ,准线方程为 第十张，PPT共五十七页，创作于2022年6月焦点坐标准线方程（1）（2）（3）（4）（5，

5、0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2练习1求下列抛物线的焦点和准线方程（1）y2 = 20 x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式第十一张，PPT共五十七页，创作于2022年6月练习2抛物线的顶点是坐标原点，根据下列条件，分别写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x = ；（3）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y反思：已知抛物线的标准方程 求其焦点和准线方程先定

6、位，后定量第十二张，PPT共五十七页，创作于2022年6月AOyx解:(1)当焦点在 y 轴正半轴上时，把A(-3,2)代入x2 =2py，得p= (2)当焦点在 x 轴负半轴上时,把A(-3,2)代入y2 = -2px，得p= 抛物线标准方程为x2 = y 或 y2 = x 。练习3抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。 提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py例2.求顶点是坐标原点,且过A(-3,2)的抛物线的标准方程.第十三张，PPT共五十七页，创作于2022年6月4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1例3已知抛物线方程

7、为x=ay2（a0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？解：抛物线的方程化为：y2= x1a即2p=1 a当a0时, ,抛物线的开口向右p2=14a第十四张，PPT共五十七页，创作于2022年6月 思考:M是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若点M 的横 坐标为x0，则x0 + 2pOyxFM这就是抛物线的焦半径公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0 ( )2p第十五张，PPT共五十七页，创作于2022年6月例4抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的横坐标为3的点M到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.y2=2px(p0)由抛物线的定义知3-(- )=6,即p=6.数形结合,用定

8、义转化条件,解:因为是焦点在 x 轴上且过M点的抛物线,所以设标准方程为所求抛物线标准方程为y2 =12x变式：抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于6，求抛物线的标准方程.OyxFMx0 ( )2p第十六张，PPT共五十七页，创作于2022年6月过抛物线的焦点F作x轴的垂线交抛物线与、两点，且。34页作业9第十七张，PPT共五十七页，创作于2022年6月变式2平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为( )(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆变式3点M与点F(2，0)的距离比它到直线l:x+4=0的距离小2, 求点M的轨迹方程?例5平面上到定点和到定

9、直线距离相等的点的轨迹为( )(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆变式1平面上到定点和到定直线距离相等的点的轨迹为( )(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆OyxFM35页作业11第十八张，PPT共五十七页，创作于2022年6月第 2 课 时第十九张，PPT共五十七页，创作于2022年6月准线方程焦点坐标标准方程焦点位置 图 形不同位置的抛物线 x轴的正方向 x轴的负方向 y轴的正方向 y轴的负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-yxoyxoyxoyxo第二十张，PPT共五十七页，创作于2022年6月OyxFMyxoFMyxoFMyxoFM

10、x0 ( )2p抛物线的焦半径公式第二十一张，PPT共五十七页，创作于2022年6月例1抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的横坐标为-3的点M到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.y2=-8x变式：抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程，并求m的值.OyxFM x0 2p变式：在抛物线y2=-8x上，到焦点的距离等于5的点的坐标.35页作业10第二十二张，PPT共五十七页，创作于2022年6月第二十三张，PPT共五十七页，创作于2022年6月36页作业8(改)35页作业5（改）第二十四张，PPT共五十七页，创作于2022年6月37页作业7（改）

11、练习第二十五张，PPT共五十七页，创作于2022年6月后备练习.已知抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1，8)，P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值是( )(A)16 (B)6 (C)12 (D)9D第二十六张，PPT共五十七页，创作于2022年6月第 3课时第二十七张，PPT共五十七页，创作于2022年6月直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离:2、相切:3、相交:（一个交点，两个交点）（一个交点）（没有交点）第二十八张，PPT共五十七页，创作于2022年6月(0,1)第二十九张，PPT共五十七页，创作于2022年6月判断直线是否与抛物线的对称轴平行不平行直线与抛物线相交(一个交点

12、)平行 计 算 判 别 式0=00)的焦点的直线交抛物线于A,B两点则|AB|=问题（3）能否把例（2）推广到一般性的命题呢？ 斜率为k的直线经过抛物线 (p0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解：设直线AB的方程为 x1+x2+p|AB|= 即:( )y=2px 消 y 得: 由第四十张，PPT共五十七页，创作于2022年6月斜率为k的直线经过抛物线 (p0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解： 设直线AB的方程 为 ( ) y=2px 消 y 得: 即: |AB|= 由此可得, 即通径. 问题(4):把上题中的斜率k换成直线的倾斜

13、角 呢?(0 0)的焦点，与抛物线相交于A，B，求线段AB的长。（用k,p表示）解： 设直线AB的方程 为 ( ) y=2px 消 y 得: 即: 命题:如果过抛物线 (p0)的焦点的一条直线和 此抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=p2/4, y1y2= -p2第四十四张，PPT共五十七页，创作于2022年6月第5课时第四十五张，PPT共五十七页，创作于2022年6月xy问题(6):过抛物线 (p0) 焦点的一条直线与它相交于A,B两点,经过A和抛物线顶点的直线交准线于点C (2001高考题作业本页第题)设抛物线 (p0)的焦点F, 经过F 的直线交抛物线A,B两点,

14、点C在抛物线的准线上,且BCx轴,证明:AC经过原点O. 那么BC与抛物线的对称轴有什么关系呢?(证KOC=KOA)BC平行于对称轴.( 的结论略证) 当 时 (x2,y2)(x1,y1)则直线OA的方程证明:设A ( ),B( ),C ( )第四十六张，PPT共五十七页，创作于2022年6月问题(6): 有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论:Q(2)以Q为圆心,以AB为 直径的圆切AB 于F点. AQA与AQF全等第四十七张，PPT共五十七页，创作于2022年6月问题(6): 有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论:Q(2)以Q为圆心,以为直

15、 径的圆切AB 于F点. P(3)以P为圆心以AB为直径的圆切AB于Q点 QP=1/2(AA+BB)AA+BB=AF+BF=ABQP=1/2ABMN第四十八张，PPT共五十七页，创作于2022年6月问题(6): 有什么几何意义呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA结论:Q(2)以Q为圆心,以为直 径的圆切AB 于F点. (3) AQBQ P(4)以P为圆心以AB为 直径的圆切于Q点 第四十九张，PPT共五十七页，创作于2022年6月问题(7):Cyxo第五十张，PPT共五十七页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共五十七页，创作于2022年6月 y2 = 8x练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_.2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.X=3第五十二张，PPT共五十七页，创作于2