勾股定理知识讲解

1、勾股定理知识点学习要求：学习重点是利用计算面积和拼图的方法探究并验证勾股定理借助三角形三边关系来推断一个三角 形是否是直角三角形。难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。中考执占.I 口 J、八、主要考察勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常及三角形其他知识结合考察。一，探究勾股定理：1.勾股定理（重点）内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为,1 ,斜边为c ,那么书W即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾股定理提示的是直角三角形三边关系的定理，只运用及直角三角形。运用勾股定理时首先确定最长 边即斜边。（难点）勾质

2、定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一:6Z)2 =（）和钝角三角形+C的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必需明白所考察的对象是直角三角形 （重点）直角三角形的随意两边长，求第三边在 zMfiC中，那么c=433知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。可运用勾股定理解决一些实际问题不能直接用勾股定理解决问题可通过添加协助线转化为直角三角形在用勾股定理，勾股定理的应用题型：折叠问题中的应用；测量问题中的应用；实

3、际生活中的应用；方案问题中的 应用。注：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题.在运用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么， 以便运用勾股定理进展计算，应设法添加协助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确运用勾股定 理进展求解.5,例1,如图1是边长分别为a , b的两个正方形，经如图2所示的割补可以 得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和.利用这个方法可以推得 或验证勾股定理.现请你通过对图2的视察指出下面对割补过程的理解不正确的选项是解答：BD.割补2,（2021资阳）如图

4、1,点后在正方形业以内，满意，必6,法8,那么阴影局部的面积是60c. 16D. 80颗树，米，两吟7卜树的树 lu4小鸟至扁M工”A. 8 米 B. 10 米 C. 12 米 D. 14 米（2021安顺）如图，有两 一颗高10米，另一颗高4 树相距8米.一只鸟从一颗 梢飞到另一颗树的树梢，问 少飞行（）4,如图，在直角坐标系中，点A, B的坐标分别为（1, 4）和（3, 0）,点C是y轴上的一个动点，且A, B, C三点不在同一条直线上，当aABC的周长最小时，点C的坐标是A. （0, 0） B. （0, 1）C. (0, 2) D. (0, 3)5,如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC

5、是5米，假设在楼梯上铺地毯，那么至少须要地毯的长是（ ）A, 5m B, 6m C , 7m D, 8m6,（2021宜宾）如图，矩形纸片48中，AD =8,折叠纸片使力8边及对角线4。重合，点夕落在点尸处，折痕为力反且小3,那么力夕的长为（）A. 3 B. 4 C. 5（2021宿迁）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后绽开，折痕为MN,再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.假设AB的长为2,那么FM的长为A. 2B. gC. &D. 18,图甲是我国古代闻名的“赵爽弦图 aABC中，假设直角边AC=6, BC=5,将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向

6、外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车，那么这个风车的外围周长（图乙中的实 线）是（ ）A. 52 B. 48 C. 72 D. 769,.如图反乂吐，WMO EMBED Equation.DSMT4分别以各边为直径作半圆，求阴影局部面积10,如图中，求AC的长分析：此题将勾股定理及全等三角形的知识结合起来11,（2021临沂）如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A, C重合，折痕为FG,假设AB=4,BO8,那么AABF的面积为.二，肯定是直角三角形吗？1,直角三角形的判定条件（重点）假如三角形三边长”,卜，。满意那么这个三角形是直角三角形，其中,为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形

7、是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形来确 定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和片+及较长边的平方作比较，假设它们相等时，以口， , c为三边的三角形是直角三角形；假设时，以“，：，,为三边 的三角形是钝角三角形；假设时，以a , I , c为三边的三角形是锐角三角形；定理中0 , , 及Ln?只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长口 ， , c满意,那么以“，, C为三边的三角形是直角三角形，但是卜为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角 形是直角三角形C为正整数C为正整数2,勾股数（难点）

8、能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中,时，称。, c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10. 5J2J3； 7,*25等用含字母的代数式表示组勾股数：EMBED Equation.DSMT411为正整数）;为正整数）修2号（NE EMBED Equation.DSMT4 m , n 为正整数）注：推断勾股数的方法：必需满意占-N?,必需是正整数，两者缺一不可。，勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系推断一个三角形是否是直角三角形， 在详细推算过程中，应用两短边的平方和及最长边的平方进展比较，切不可不加思索的用两边的平方和及

9、第三边的平方比较而得到错误的结论.3,例 1,：如图，ZB=ZD=90 , ZA=60 , AB=4, CI）=2。求：四边形 ABCD 的面积。2,如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了 一下，觉察 力庐麻8加，/次除6勿，心9勿，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格考点：矩形的判定分析：此题是数学问题在生活中的实际应用，所以要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直 角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形.4,方案设计方面的应用如图，铁路A, B两站相距25km, C, D是两个工厂位于铁路的同侧，其中CA_LAB, DB1AB,且AC=15km,BD

10、=10km1）尺规作图，在铁路AB上找一个点E建中转站，使得CE二DE,请作这个点。（作CD的中垂线及AB的交点即为E点）2）此时中转站E距A站多远，恳求出来。三，勾股定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆 定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.1,确定几何体上的最短路线1重点）在平面上解决最短路线的依据是线段的性质：在平面上，两点之间，线段最短，在立体图形中， 由于有一些面是曲面，两点间的最短路线就不肯定是两点间的线段长，故应将其绽开成平面图 形，利用平面图形中线段的性质确定

11、最短路线.例，（2021山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm及蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm.【考点】圆柱的绽开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形 三边关系，勾股定理。【分析】如图，圆柱形玻璃杯绽开（沿点A竖直剖开）后侧 面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点 B,连接BC交MN于点P,连接BM,过点C作AB的垂线交剖 开线MA于点Do由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁 到达蜂蜜的最短距离，且AP二BP。在 RtZkBCD 中,由勾

12、股定理得由和矩形的性质，得DC=9, BD=12o.AP+POBP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15ciiio2,（2009恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一 /： 九57只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点需要爬行的最短距离是（）： |C!一/ 15%2510p+5D. 352,直角三角形的判别法的应用直角三角形的判别法常用于推断一个角是否是直角或推断三边关系，解题时一般需构造三角形，再依据三边关系判别该三角形是否为为一边的平方是否等于其它两边的平方和即可.解答：直角三角形的判别法常用于推断一个角是否是直角或推断三边关系，解题时

13、一般需构 造三角形，再依据三边关系判别该三角形 是否为一边的平方是否等于其它两边的平方和即可-A B例，如图正方形ABCD, E为BC中点，F为AB上一点，且BF=4BBECA,请问FE及DE是否垂直请说明。常见图形：专题训练：选择题1,以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是） 8, 15, 17 B, 4, 5, 6 C, 5, 8, 10 D, 8, 39, 402,如图，每个小正方形的边长为1, A, B, C是小正方形的顶点，那么NABC A的度数是 （）一夕方A, 90 B, 60C, 45D, 30 TOC o 1-5 h z 3,2021泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2,

14、 BO4,对角线AC的垂直平分线分C8别交AD, AC于点E, 0,连接CE,那么CE的长为（）考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理二矩形的性质。4,假设AABC的三边长a, b, c满意那么AABC是1）A,锐角三角形，B,直角三角形，C,钝角三角形，D,无法确定/及7中，/庐15, J13,高4M2,那么4%的周长为（）A. 42 B. 32 C. 42 或 32 D. 37 或 33考点：勾股定理分析：此题应分两种状况进展探讨:（1）当AABC为锐角三角形时，在RtAABD和RtAACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将AABC的周长求出；（2）当4A

15、BC为钝角三角形时，在RtAABD和RtAACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为B二，填空题1,直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,那么直角三角形的面积为2,矩形纸片ABCD中，AB = 3cm, BC=4cm,现将纸片折叠压平，使A及C重合， 设折痕为EF,那么重叠局部4AEF的面积等于.12021青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.假设AB=3cm, BC=5cm,那么重叠局部ADEF的面积是 cm2.（2021宜宾）如图，在RtABC中，ZB=90b , AB=3, BC=4,将AABC折叠，使点B恰好落在边AC上

16、，及点B重合，AE为折痕，那么EB二.6,如图，AABC中，有一点P在AC上移动.假设AB=AC=5, BO6,那么AP+BP+CP的最小值为1）A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10【答案】C.三,1,解答题四边形 ABCD 中,ZB=90 , AB=3, BC=4,CD=12, AD=13,求四边形ABCD的面积。2,如下列图，折叠矩形的一边AD,使点【）落在BC边的点F处， AB=8cm, BC=10cm,求 EF 的长。3,如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（及墙面和地面均没有 缝隙），有一只蚂蚁从柜角力处沿着木柜外表爬到柜角a处。（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路

17、径；当力庐4,小4, ca=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长;（3）求点以到最短路径的距离。4,（2021湘西州）如图,RtZABC 中,ZC=90 , AD 平分NCAB, DE_LAB 于 E,假设 AC=6, BC=8,CD=3.11）求DE的长;（2）求AADB的面积.5,如下列图，AABC是等腰直角三角形，AB-AC, D是斜边BC的中点，E, F分别是AB, AC边上的点, 且DELDF,假设BE=12, CF=5.求线段EF的长。6,如图，马路MN和马路PQ在点P处交汇，且NQPN=30。，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉 机行驶时，四周100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在马路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由，假如受影响，拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？7,（2021 威海）（1）如图 1,ZACB=ZDCE=90 , AC=BC=6, CD=CE, AE=3, ZC