电动力学第8讲22静电势的多极展开

1、第8讲静电势的多极展开第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射2.2静电势的多极展开1.电势的多极展开 在2.1中我们导出了真空中给定电荷密度p （X）激发的电势平（x ）=- j （dV （2.2-1）4双 V r0式中体积分遍及电荷分布区域，r为场点x和源点x的距离。在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x又距离电 荷分布区域比较远，即在（2.2-1）式中，r远大于区域V的线度/。在这种情况下，可以把（2.2-1）式表为1/r的展开式，由此得出电势9的各级近似值。例如原子核的电荷分布于 10 -15 m线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离10 -10 m，因此原

2、子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有R =勺翌 + y + zr = |x -x 1 弋（x -x2） + （y 俱）+ Z -z ）.X点在区域V内变动。由于区域线度远 小于R，可以把x各分量看作小参量，函数，在x点附近f（x -x）的x的函数对x展开。设f（x -x）为x -x的任展开式为f (x - x) = f (x) - x：i=1史 f (x) +1 Ex x dx2! .,， j dxdxf (x) +.=f (x )-xVf M +) xV 2f x +()取 f(x -x)= 1 / I x -x

3、 I = 1 / r ,有(2.2-2)11以，所r R fW x切气七云方，ji j把展开式（2.2-2）代入（2.2-1）式中得,、1 f 平(x )= 一 j P4双 y0(2.2-3)(2.2-4)(2.2-5)(2.2-6)+1 xfxL +.2! . .，j 2x.2x. RQ = j p (x dVVp = j p (x X dVVD. = j 3x xp (x )dV(2.2-3 )式可写为X）= Rp，vR+气Mr* （22-7）0i, ji j上式是电荷体系激发的势在远处的多级展开式。r称为体系的电偶极矩，张量D .称为体系的电四极矩。电四极矩也可以用并矢形式（附录1.6）

4、写为D = j 3x. X. P X dV（2.2-6a）而展开式（2.2-7）的第三项用并矢形式写为平(2=-D : VV14双6 R02.电多极矩现在我们讨论展开式（2.2-7）各项的物理意义。展开式的第一项甲（0 = Qr（2.2-8）0是在原点的点电荷Q激发的电势。因此作为第一级近似，可以把电荷体系看作集中于原点上， 它激发的电势就是（2.2-8）式。展开式的第二项平（1 = - p上= P R（2.2-9）4双R 4双R 300是电偶极矩p产生的电势。电荷分布的电偶极矩p由（2.2-5）式定义。如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。因为由（2.2-5）式，若点X，和X，

5、点有相同的电荷密度，则积分值为零。因此，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电荷体系是一对正负点电荷。设r点上有一点电荷+Q， X点上有一点电荷-Q，由（2.2-5）式，这体系的电偶极矩为 p = 2Qx = Ql（2.2-10）l为由负电荷到正电荷的距离。图211示具有偶极矩p广Q l的电偶极子，它产生的电势为平=9（上一-）4兀 r r由图，若l R，有，,r w R 一2c o S ，, r R + 2cos0 ,（2.2-11）-w l cos 0 = M = -l （-） r r R 2R 3dz R因此这电偶极子产生的电势是_ Ql d 1

6、_ _ 14双 dz R4双 Pz00a 1dz R（2.2-12）展开式（2.2-7）的第三项11821平(2 =X D4双 6 ij dx8x. R是电四极矩D .产生的电势。电荷体系的四极矩D .由 极矩张量D .是对称张量，它由6个分量D 11，D 22 , =D 13 （下面将看出实际上只有5个独立分量）。（2.2-6）式定义。根据此式，电四D 33D 12= D 21 , D 23= D 32 , D 31现在我们来谈论这些分量的物理意义。这体系可以看作由一对电偶极图212示z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。子+p和-p组成。设正电荷位于z = b ,负电荷位于z = 土a。

7、这体系的总电荷为零，总电 偶极矩为零。它的电四极矩由（2.2-6）式算出，D = 6Q（b2 -a2） = 6Q （b 一 a） （b+ a=）6pl 33其中p = Q（b a）是其中一对电荷的电偶极矩，l = b + a是两个电偶极子中心的距离。这电荷体系产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势。由图212和（2.2-12）式得畛p巳1+工p 1 4K8 dz r4K8dz r1 a ,11、13 2 ip() P pl4ksdz r r4ksdz2 R1 1a 2 1 D4双 6 33 dz 2 R与(2.2-13 )式相符。同理，具有D11分量的最简单的电荷体系由x轴上两对正负电荷组成

8、，具有D 23分量 的体系由y轴上两对正负电荷组成。具有D 12分量的电荷体系由xy平面上两对正负电荷组成，余类推。这些电荷体系如图213所示。图 213下面我们证明电四极矩只有5个独立分量。当R #0时有V 2上0（2.2-14）R引入符号居，定义为8 . = Jr ,2 p (x !)dV因而出现电四极矩D 33 0 ,D1 1 = D 2：= 1 D 3 0电四极矩的出现标志着对球对称的偏离，因此我们测量远场的四极势项，就可以对电荷分布 形状做出一定的推论。在原子核物理中，电四极矩是重要的物理量，它反映这原子核形变的 大小。八极矩和更高的多极矩实际上较少用到，这里不详细讨论。例 均匀带电

9、的长形旋转椭球体半长轴为s半场轴为。，带总电荷0求它的电四极 矩和远处的电势。解取z轴为旋转轴，椭球方程为X 2 + V 2 z 2 + = 1 b 2 s 2椭球所带电荷密度为p。= 3Q / 4 ab 由（2.2-18）式，电四极矩为D =pj (3rx -浴)d Vi j 0i ji j由对称性j xy dV= y z d=V z x=d V因此D1 2 = D 2= D 3 =0令x2 +v2 =s2，由对称性jx2dV = j y dV =上 js dV =上 ja dzfb(-二 2)ds - 2冗 s 322 - a a4兀 ab 4154兀 a 3b 2J z 2 dV =15

10、因此D 3 = p j(3z2 - r2 )d V= p j0 (2- 2x )= V-(a2 -b2)QD 11= D 22 = -2D % =-5(a2 -b2)Q电四极矩产生的势为124双02 8y 2+D8 2) 18x3 2) R124双0331( 828 2) 8 2 12 8x 2 8y 28z 2 R1 3 D8 2 124双 233 8z2 R0Q3z 2 R 2(a2 -b2) 40ksR 50在上面的计算中，我们用了关系式2（1 /R）= 0。椭球的电偶极矩为零，总电荷为Q。在远处的是准确至四极项为r 1 a - b2 3 c o Q -+4双 0 R1 0R3)3.电荷

11、体系在外场中的能量设外电场电势为%，具有电荷分布P（x）的体系在外电场中的能量为(2.2-21)设电荷分布于小区域内，取区域内适当点为坐标原点，把%e （X）对原点展开甲 (X )=也(SE X 气(0)i=1i,1 X38 2+2X XX和气(0)+.1 j=1L j代入(2.2-21)式中得(2.2-22)W = j p (x)甲(0) + 2 x 甲(0)ii,1 X8 2)xx 中(0) +.l ji jdV=Qe (0)-2 p i 妾平i iD J Ixtb-p-E (0)(2.2-25)是体系的电偶极矩在外场中的能量。由此式可求出电偶极子在外电场中所受的力F和力矩L, F = -

12、V W(iuV(p - E ) = p-V E(2.2-26)(见附录I -23式)。设p与E的夹角为。，则力矩为_ dW(1)_。小n-L- =雨 3气 co& =)-pEg in计及力矩的方向，得L = p x E(2.2-27)e展开式(2.2-23)的第三项是四极子在外电场中的能量W(2 = -1 D :VE(2.2-28)6 D g由此式可见，只有在非均匀场中四极子的能量才不为零。例如在分子或晶格中的原子核，它 处于轴微电子所产生的非均匀电场中，因而又不为零的四极矩能量。在不同旋转状态下原子 核的四极矩不同，能量亦不同。用微波技术可以测量础这种能量差别，由此定出原子核的电 四极矩。课

13、下作业：教材第73页，17。17、证明下述结果并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。在面电荷、电势法向微商有跃变，而电势是连续的。在面偶极层两侧，电势有跃变，P2-P1 =1 n- p，而电势法向微商是连续的。0(各带等量正负面电荷密度。，而靠得很近的两个面形成偶极层，面偶极距密度p = lim b l。)bT8l T0上一讲习题解答：教材第72页，14、15。14、画出函数穿的图：说明PT-V )8是一个位于原点的偶极子的电荷密度。解 1：一 一P =-(p-V )8 (X)=-(Px i + P j + P) k IX 音 -k| 3) k ( ) X=-Px% 弋言 +8 (X)(

14、询 Z )= -V- p8 ( x)8 (y 8 整)-V- p # )-8( X+h)-8 (X - h) TOC o 1-5 h z /. x = 0 p = 0 p = p V8 (x) = ph考虑：JXpdV = J xVp8(x)J dV = J p8 (x)-V x - V- Xp8 (x) dvVVV-=J p8(xyiV-J xp8 亍-dS -Vx =顼，而p-工=pV 普.=J p8 ()dV = p F P是偶极子的电荷密度分布，得证。V解2：.p=(pv)5 3)=“xi + P j + P)哙 乌 8)k( )x=弋奈 +5* +？( X) ()5)(:)5 (x

15、+ -)-5 (x - h)=p -V5 (x) = p22h- 5 (x + *)5 (x-空)=QhJhc 一hc 一 h=Q5 (x + 2Q5 x - )证毕解3：电偶极子的p = ql,且l - 0位于坐标原点的偶极子的两个电荷Q和-Q分别位于x = -, x = 1 TOC o 1-5 h z +22p=-Q5(x-x )+Q5(x-x )=-Q5(x +1)-5(x一|).df = V-则，.e (x + - )-5 (x - - )=V5 (x)】22一 ,l 一、, l、5(x + - )-5(x -)P = -Ql口一土一=-p5 (x) = -(p/)5 (x)证毕。-解4：电偶极子的电势中=上竺4说 r 30 TOC o 1-5 h z V2曜-/ V2(p 1)=-二(p)V 2 - 4ksr4ksrV2 - = -4k