2022年新高考数学二轮提升数列专题第22讲《数列中的插项问题》（原卷版）

1、第22讲 数列中的插项问题 一、单选题1（2021全国高二课时练习）在和3之间插入n个数，使这个数组成和为的等差数列，则（ ）A4B5C6D72（2021全国高二专题练习）已知数列的通项公式为，在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；在和之间插入n个数，使成等差数列这样得到一个新数列：，记数列的前项和为，有下列结论：其中，所有正确结论的个数是（ ）A1B2C3D43（2021全国高二课时练习）已知数列满足，在，之间插入n个1，构成数列：，1，1，1，1，1，1，则数列的前100项的和为（ ）A211B232C247D2564（2021全国高二专题练习）在中插入个数，

2、使它们和组成等差数列，则（）ABCD5（2021全国高二课时练习）等比数列的通项公式为，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列，那么162是新数列的 A第5项B第12项C第13项D第6项二、多选题6（2021吉林松原高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）ABCD7（2021湖南永州市第一中学高三月考）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的

3、方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第次得到数列1，2；记，数列的前项为，则（ ）ABCD8（2021全国高三月考）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，成等差数列；在和之间插入2个数：，使，成等差数列；在和出之间插入个数，使，成等差数列.这样得到新数列：，记数列的前项和为，则（ ）ABCD9（2021全国高二课时练习）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（ ）A1B3C5D7三、填空题10（2021全国高二课时练习）在数列的每相邻两项之间插入

4、此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫作该数列的一次“扩展”将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；第n次“扩展”，得到数列1，4，并记，其中，则数列的通项公式_11（2021云南富宁县第一中学高二月考（理）已知数列的前项和为，且对于任意，总有.若在与之间插入个数，使个数组成等差数列，则当公差满足时的值为_.12（2021江西省南城一中高一月考（文）在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，则插入的这个正数的积为_.13（2021全国模拟预测（理）已知数列，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则_.14（2021江

5、苏高二专题练习）在等差数列，的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新数列的通项公式为_15（2021全国高二课时练习）在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充如数列，扩充一次后得到，扩充两次后得到，以此类推设数列，（为常数），扩充次后所得所有项的和记为，则_16（2021江苏高二专题练习）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，成等差数列；在和之间插入2个数，使，成等差数列；在和之间插个数，使，成等差数列.这样得到新数列；，记数列的前项和为，有下列判断：；，其中正确的判断序号是_.17（2021全国高二

6、单元测试）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；第次得到数列1，4，并记，其中，.则的通项_.18（2021湖南望城高二期末）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年（公元1584年)，他写成律学新说，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为_.1

7、9（2021江西省石城中学高一月考（理）已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，成等差数列；在和之间插入2个数，使，成等差数列；在和之间插入n个数，使，成等差数列.这样得到新数列：，.记数列的前n项和为，有下列判断：；.其中正确的判断序号是_.20（2021福建厦门外国语学校模拟预测）数列其中在第个1与第个1之间插入个，若该数列的前2020项的和为7891，则_.21（2021上海市复兴高级中学高二月考）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；第次“扩展”后得

8、到的数列为.并记，其中，则数列的通项公式_四、解答题22（2021江苏苏州高二期中）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.问题：已知数列的前项和为，且满足_.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项，（其中，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）23（2021全国高三专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且对任意，有.（1）求数列的通项公式；（2）设（），对每个正整数k，在与之间插入个1，得到一个新的数列，记数列的前m项和

9、为.求使得成立的所有正整数m的值.24（2021山东滕州市第一中学新校高三月考）已知等差数列的首项为，公差为，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，令，求数列的前项和.25（2020北京模拟预测）在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“扩展”已知数列：1，2，3，该数列经过次“扩展”后得到数列：1，3，数列的所有项之和为（1）写出数列，；（2）求，的值；（3）求数列的前项和公式26（2020浙江诸暨高一期末）已知公差大于零

10、的等差数列的前项和是，满足，；数列的前项和是，满足.（1）求数列、的通项公式；（2）在之间插入一个项，使得成等差数列，在之间插入两个项，使得成等差数列，在之间插入个项，使得成等差数列.求所有插入的数之和：；求所有使得等式成立的正整数对.27（2022全国高三专题练习）已知等比数列的前项和为，且，其中（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和28（2022全国高三专题练习）已知数列满足，（1）证明：数列是等比数列，并求通项公式；（2）在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和29（2021全国高三专题练习（文）

11、已知等差数列满足:，成等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项和.30（2021江苏常熟中学三模）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知数列的前n项和为，且满足_.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，试比较与的大小关系，并说明理由.31（2021全国高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，.（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，（i）求证；（ii）对任意的正整数，设，求数

12、列的前项和.32（2021山东模拟预测）已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，求满足的的最大值.33（2021江苏苏州三模）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答已知数列an的前n项和为Sn，首项为2，且满足 （1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求证：34（2021湖南师大附中高三月考）设数列是以为首项，为公比的等比数列.在和之间插入个数，使，成等差数列；在和之向插入个数，使，成等差数列；在和之间插入个数，使，成等差数列.（1）试写出，；（2）求.35（2021江苏苏州大学附属中学高二月