电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案

1、第四章电磁波的传播一、填空题1、色散现象是指介质的（）是频率的函数.答案：&目2、平面电磁波能流密度和能量密度w的关系为（）。答案：S =心3、平面电磁波在导体中传播时，其振幅为（）。答案：Ex TOC o 1-5 h z 4、电磁波只所以能够在空间传播，依靠的是（）。答案：变化的电场和磁场相互激发5、满足条件（）导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于（）答案： 1,0,6、 波导管尺寸为0.7cmX 0.4cm,频率为30X109HZ的微波在该波导中能以（）波模传播。答案：TE 0波7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E表示）为（），它对时间的平均值为（）。答案：2, L

2、E22 0 TOC o 1-5 h z 8、平面电磁波的磁场与电场振幅关系为（）。它们的相位（）。答案：E = vB ,相等9、在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数=（），其中虚部是（）的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为（）。答案： = + i 1，传导电流，E（X,t） = E0 e a-Xei（P-x-it）,10、矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率m,n =（），当电磁波的频率1满足（）时，该波不能在其中传播。若ba，则最低截止频率为（），该波的模式为（）。答案：气皿广圭仲分+旧， 七皿，b，teoi11、全反射现象发生时，折射波沿（）方向传播.答案：平行于界面12、自然光

3、从介质1（牛牛）入射至介质2（七 匕），当入射角等于（）时，反射波是完全偏振波.答案：i0 = arctg i TOC o 1-5 h z 13、迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是（）.d答案：P = P0 e七t二、选择题1、电磁波波动方程V2E = 0,V2B一上兰=0,只有在下列那种情况下成立（）c 2 dt 2c 2 dt 2均匀介质B真空中C.导体内 D.等离子体中答案：A2、电磁波在金属中的穿透深度（）A.电磁波频率越高,穿透深度越深B.导体导电性能越好，穿透深度越深 C.电磁波频率越高，穿透深度越浅D.穿透深度与频率无关答案：C3、能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征

4、（）A.有一个由波导尺寸决定的最低频率，且频率具有不连续性频率是连续的 C.最终会衰减为零D.低于截至频率的波才能通过.答案：A TOC o 1-5 h z 4、绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（）K兀A. - B.兀 C.0 D.-42.答案：C5、下列那种波不能在矩形波导中存在（）A. TE顶B. TM iiC. TEMD. TE答案：C一 一6、平面电磁波E、B、k三个矢量的方向关系是（ ）A. ExB沿矢量k方向B. Bx E沿矢量k方向Ex B的方向垂直于kD. Ex k的方向沿矢量B的方向答案：A7、矩形波导管尺寸为a xb，若a b，则最低截止频率为（）A.八11B.C

5、.+ _b . Mv S a b答案：A一 兀 2洞一8、亥姆霍兹方程V2E + k2E = ，（V-E = 0）对下列那种情况成立（A.真空中的一般电磁波C.自由空间中频率一定的简谐电磁波答案：C）B.自由空间中频率一定的电磁波D.介质中的一般电磁波9、矩形波导管尺寸为a x b，若a b，则最低截止频率为（）A._B. _兀 11C. -= 11答案：A三、问答题1、真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。答：（1）真空中的波动方程：V2E- 亚 =0 , V2B- 竺=0。 c 2 dt 2c 2 dt 2表

6、明：在p = 0, / = 0的自由空间，电场与磁场相互激发形成电磁波电磁波可以脱离场源而存在；真空中一切电磁波都以光速c传播；适用于任何频率的电磁波，无色散。V7 口 1 仞 E_nV2 E 0（2）均匀介质中定态波动方程：dt 2，其中v（3）=V2B 1 箜-0*（妇里.- ,-V 2 dt 2当电磁场在介质内传播时，其E与P 一般随3变化，存在色散,在单色波情况下才有此波动方程。V 2 E + k 2 E = 0,V =3（3）亥姆霍兹方程：V-E = 0一 iB = - Vx E表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。2、什么是定态电磁波

7、、平面电磁波、平面单色波？分别写出它们的电场表示式。从形式到内容上 试述它们之间的区别和联系。答：(1)定态电磁波：以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波，即单色简谐波。E(x,t) = E(x)e-(2)平面电磁波：等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量二传播的电磁波。E(x) =Ee r(3)平面单色波：以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波。E(x,t) = E e，(k.50 一3、在莉的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何？为什么说它不是独立的，怎样证明？不是 独立的，是否等于说有的方程是多余的呢？试解释之。答：定态电磁波情形麦氏方程组的形式为:Vx E = iB(1)对(1)和(2)

8、取散度可得(3)(4)两式，所以它不独立。不独立Vx B = -itosE(2)V-E =0(3)VB = 0(4)不表示方程多余，定态电磁波只是一种特殊情形，在更普遍的情况下，麦氏方程组四个方程分别描述了场的不同方面。4、设有一电磁波其电场强度可以表示为E = E0(x,t)exp(- ito 01)。试问它是否是平面时谐波(平面 单色波)？为什么？答：不是。因为E做傅立叶展开后，可以看成是无数个平面单色波的叠加。如令一、K、 E1 EEE (x, t) = E eik0 x cos(2to t) = 0-ei(k0 x+2to0t) h ei(k0 x-2to0t)贝Q E = ei(k0

9、 x+3to0t) ho ei(k0 x-to0t)是两个单色波0、0 u 、 02 u u 222.的叠加。5、试述平面单色波在均匀介质中具有哪些传播特性？并且一一加以证明。答：特性：是横波，且E, B, k有右手螺旋关系证： E(x, t) = E ei(k-r-tot)1 01V-E = ik - E = 0即k 1 E即电波为横波一ii Vn B 1 k ,B 1 E ,E 1 k，得证。一 to 一 -to - tok.-丘与日同相位广振幅比为v (真空中为。)p6、在自由空间中，E(z,t) = e 103sin(9K x1081-kz)V/m y - i说明：(1)波数以及波的传

10、播方向,(2)H(z,t)的表现形式答：已知电场 E(z, t) = e 103 sin(9K x1081 - kz)V / my由电场表示式知:k = = 9 X108 =3兀(rad/m).电磁波沿z方向传播c3 x 108(2)自由空间中,p = 0, J = 0H = e x e 103sin(9 兀 x1081 - kz) = -2.65sin(9 兀 x 1081 - 3 兀 z)e 中07、研究反射、折射问题的基石出是电磁场在两个不同介质分界面上的边值关系，但为什么只需用两式，可否用另两式呢？n x (E 2 - E1)= 0答：边值关系：x(H2 -H1)=*在绝缘介质界面上a

11、 = 0, b=0再-(D2 D1) *、n - (B2 - B) = 0对时谐电磁波，麦氏方程组不独立，由前两式可得后两式，相应的边值关系也不独立，当n x (E 2 - E1 = 0成立时，法向分量的边界条件自然满足。n (H 2 - H1) = 08、试述入射波、反射波、折射波的频率、相位、传播方向和振幅各有些什么关系?振幅与相位关系：e 1入射面:旦=-sin(0-0? =、Wcos0-os0”E sin(0+0)答：频率关系：w=w = 3,cos 0 + 气： cos 0传播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，9、全反射时有什么特点？若要使线偏振的入射波通过全反射波反射

12、成为圆偏振波，则对介质有什么要求?答：特点：a.发生全反射时，sin A气折射波的波矢量垂直于界面的分量k； =Of2变为复数，折射波随进入深度所得增加而迅速衰减.b.折射波的平均能流只有平行于界面的分量，能量主要集中在交界面附近厚度为k -1的薄层内，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即对平均时间来说，入射波的能量全部被反射。要使线偏振的入射波通过全反射波反射成为圆偏振波，则全反射波的两个分量E、,E振幅必须相等，相差等于(2 m + 1) , m = 0,1 , 2, 3一 一2Esin(。一。)sin 0 cos 0 - cos 0 sin 0”(1)反射波的菲涅尔公式：一=

13、-=-Esin(0+0 )sin 0 cos 0 + cos 0 sin 0iE : = tg( 0 一 0 ) _ sin 0 cos 0 - sin 0 co s 0 ”E tg( 0 + 0 ) sin 0 cos 0 + sin 0 ” co s 0 ”由折射定律 而? =、*22 = n，全反射发生时，sin0 n sin 0曲 2121i isin0 = sin0 ,n21cos0= 1 sin20= ：1 - ! sin20 =，：sin20 -1“21 “21将三式代入(1),(2 )式，得:cos 0 - /Jsin2 0 - n 2气 cos0 + /sin20 -n 2n

14、 2 cos 0 - / Jsin 2 0 -n 2 cos 0 + / Jsin 2 0 -2 1七E，E0n . 2n 221可以看出,E口E-D设E = E e/%E = Eg，由(4),(5)式得:11口口g2 cos 0 Jsin 2 0 - n 21sin 2 0 - n . 2 - cos 2 0m2 n 2 cos 0 sin 2 0 - n 2g = arctg 22 nsin 2 0 - n 2 - n 4 cos 2 0(2)(3)(4)(5)(6)当入射波的线偏振时，E E相位相同.经反射后E E：相位不相同，当 =1时,且 0E与E.相差 TOC o 1-5 h z

15、g - g = (2 m + 1) , m = 0,1 , 2, 3时，(7)12反射成为圆偏振波.于是由(6),(7)得:-sin 0 = 2 Jn .2 + 1 、;n .4 - 6 n . 2 + 1(8)结论：当线偏振的入射波电矢量的两个分量Ei,E的振幅相等，并且入射角。和相对折射率n 21满足(8 )式时，反射波便成为圆偏振波.10、当光以布儒斯特角入射时，反射光变为垂直于入射面的完全偏振光。但人们要想得到完全偏振光，不直接采用反射的完全偏振光，往往通过一组平行玻璃板把垂直于入射面的偏振光滤掉，得到平行于入射面的完全偏振光，为什么？已知玻璃的布儒斯特角为56。答:反射光虽然是完全偏

16、振光，但它的强度太小而按题中的做法，可得折射光(平行于入射面的完全偏振光)11、有哪些理由足以说明光波是频率在一定范围内的电磁波?答：真空中电磁波的传播速度和光波在真空中的传播速度都是c,且不需要任何介质。光波的反射、折射、干涉、衍射规律与电磁波遵循相同的规律。12、试推出导体中定态电磁波波动方程的两种不同形式以及亥姆霍兹方程，并与介质中的相应方程进行比较，阐明它们之间有何异同之处？答：良导体中：p= 0, J =bE，代入麦氏方程组得： TOC o 1-5 h z 0日_ 6B一Vx E -dtBE对前两式取旋度得波动方程:Vx B 3甘 + 呻E，V E 0-B 2 E2 E *Bt 2B

17、 2 B2 B usBt 2呻竺-0Bt呻竺-0Bt与介质中的方程相比多了与时间的一次导数项，表明传导电流使电V B 0磁波传播不断损耗为一个不可逆过程。定态电磁波：E E(x)em,B B(x)e&t，代入麦氏方程组得: TOC o 1-5 h z Vx E 如B-Vx B igE + 呻E igE由第一式解出B代入第二式可得:其中：s = s+ i VE = 0V2E + k2 E = 0(T =瑚可)，即亥姆霍兹方程。与介质中的最大区别在于k，-顼汗复数,如果是绝缘介质 = 0, s = s , k，-,：函都是实数，上述亥姆霍兹方程便过渡为绝缘介质中定态电磁波的方程.13、波矢量k的物

18、理意义是什么？如何理解导体中的波矢量？衰减常量a的方向如何确定，相位常量P的方向又如何？答：波矢量k是描述电磁波传播方向的一个矢量，其量值| = F =当称为波数，导体中波矢 人量为一复矢量。k =0+ ia波矢量k的实部0描述波的传播的相位关系，虚部a描述波幅的衰减。，一k 1 =0 + ia代入k，=叭：0比较实部和虚部得:由边界条件可确定a，0的方向。再代入上式确定a，0的大小.在良导体内，a垂直于表面，0一也很接近法线方向。一14、电磁波在导体中和在介质中传播时存在哪些差别？答：导体与绝缘介质本质差异在于导体有自由电子，电磁波进入导体后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波能量

19、转化为焦耳热，故在导体中传播电磁波是一个衰减波。绝缘介质中传播电磁波振幅不衰减绝缘介质平面电磁波电场与磁场相位相同，导体平面电磁波电场与磁场相位不相同绝缘介质平面电磁波电场与磁场能量相等，导体中磁场能量远大于电场能量.15、设电子浓度为，电量为e，质量为m，在空气中电子在电磁波的作用下以速度v运动，设电磁波的角频率为，电子的运动方程近似地为：式中Y为电子与气体分子碰撞频率，且设V为常数。已知：E = E e - m， v = v e -陌00试讨论电子对空气的p0和80的影响如何。答：将E = E e-m , v = v e-陌代入电子的运动方程:eE =+ m v，得：00dteE = (m

20、 - i)v，空气中的电流密度J = -n ev =-一七况，于j =。(o)E()比较，空气电导率 e(明一 io)一 一其中实部8=80+而&可见，空气中电子的存在使得空气变成导体，电导率出现虚部,说明有欧姆能量损耗，另外空气的电容率由8变为8=8 +，当电子浓度为n = 0,8=8 q(o) = 0,当对空气的磁导率没有影响.00 m引 2 +O2e016、将一般的边值关系用到波导内表面处，因设波导为理想导体，n为由理想导体指向管内的法向单位矢量，故除nxE = 0外，还有哪几个关系式，它们的作用如何？对于亥姆霍兹方程的解必加的条件V、E = 0可如何应用？厂 n x E = 0答：在导

21、体表面有边界条件：XH =以 当前面两式满足时，后面两式自然满足。nxH =a，说 n D = bn B = 0i一明H方向平行于表面n x E = 0，说明E只有n方向分量，考虑V、E = 0，即得：竺n = 0一dn17、何谓TM波、TE波和TEM波？比较一下TEM波与平面单色波之间的关系如何?答：在波导内传播的波，电场E和电磁场H不能同时为横波，设波沿Z方向传播，波模E = 0的波称为横电（TE）波，波模Hz=0的波称为横磁（TM）波；TEM波则为生=0, E=0的横波， 平面单色波需满足H尸E=0，E, B同相且相互垂直，E x B沿波矢方向，故平面单色波是TEM波，而TEM波未必是平

22、面单色波。18、19、我们要用波导内的电场，沿z方向加速一个带电粒子，应在波导中建立什么波型电磁场?答：应建立TM波，从而在z方向上有电场可以加速电子。有相距为L的两无穷大理想导体板，设，轴垂直板面，在导体板间传播的波场与y无关。问在何种条件下，能得到TE型、TM型、TEM型波？写出其表示式。答：导体板间的电磁波满足亥姆霍兹方程，设电场的通解为:E（x, z） =（C sin kx + D cos kx）大，由边界条件 n xE = 0 和字=0 得：/冗E = A cosLx）1（kzz-t）竺_（竺）2，又由：V、E = 0C2LE = A sin（ x）ei（U-t）， 其中七=Jk2

23、- k；E = A3 sin（ x）eiq-刨）巴A = ik A , A独立。再由H = -L Vx E，可得H ,H ,H，分析知当A=0时得到TEM波:L 1 z 32Sn兀A sinGx）ei（kz-st）=-E =七气 sin（ x）ei（k z-t）X则由答:sp y 叩 L 知谐振腔内场强E = 0.B = 0。21、矩形波导中的电场强度E和磁感应强度B沿传播方向的分量不同时为零，这一结论似乎违背了电磁波是横波的论断，请解释这一现象。答：实际上波导管的轴线方向并不是波的真正传播方向。在波导管中的电磁波是在被管壁多次反 射曲折前进的。由于多次反射波叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波

24、，而使合成波沿轴线方向前 进。22、低频电磁波用双线传输，较高频用同轴线，更高频时用波导传输。试问高频电磁波用双线传输或低频电磁波用波导传输，可以吗？为什么？答：都不可以。高频电磁波用双线传输有向外辐射损耗和热损耗。而低频电磁波在波导中则不再沿波导传播，而是沿z轴方向振幅不断衰减的电磁振荡。23、 大气中的电离层能够反射广播频段的电磁波，不能反射电视频段的电磁波，这是为什么？ 答：因为大气中的电离层是等离子体，广播频段ss ,可以在电离层中传播。四、计算与证明1、考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为S + dS和s-ds的线偏振平面波，它们都沿Z 轴方向传播。(1)求合成波，证明波的振幅

25、不是常数，而是一个波。(2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：E (x,t) = E (x)cos(k z -s t) ； E (x,t) = E (x)cos(k z -s t)10112022则合成波为E = E (x,t) + E (x,t) = E (x)cos(k z -s t) + cos(k z -s t) 1201122其中 k = k + dk , k = k dk ； =+ d， =一d所以 E = 2E (x)cos(kz 一t)cos(dk , z ds t)用复数表示 E = 2E (x)cos(dk , z 一 ds -

26、1)exp i(kz st)相速由 = kz st 确定，v = dz / dt =s / k群速由 = dk - z ds -1 确定，v = dz / dt = ds / dkg2、一平面电磁波以0 = 45从真空入射到g = 2的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。解：设n为界面法向单位矢量，:Si、S；、S.分别为入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量 的周期平均值，则反射系数夫和折射系数T定义为：E 2F， T =E 20n cos0 E2n cos 0E2S n又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得 寻cos0-顼七*0 t J8 cos0 + Jg cos0 I、

27、 1 V 2）。，R =， T = W2 + r、：32 + 23、有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿 表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为人0 = 6.28 x 10 -5 cm，水的折射率为 n=1.33。解：由折射定律得，临界角0 = arcsin（1/1.33） = 48.75。，所以当平面光波以60角入射时，将会发生 全反射。C由于 所以折射波相速度 透入空气的深度为k-1 =X /2sin20 一n2 = 6.28x 10-5 /2兀气.sin2 60 （3/4）2 牝 1.7x 10-5cm4、频率为s的电磁波在

28、各向异性介质中传播时，若E,D,B,H仍按e（k.变化，但D不再与E平行（即D = 8E不成立）。（1）证明 k B = k D = B D = B E = 0，但一般k E。0。（2）证明D = k2E （k E）k/s2四。（3）证明能流S与波矢k 一般不在同一方向上。证明：1）麦氏方程组为：VxE = dB/dt（1）Vx H = dD / dtV D = 0V B = 0T40的空间中是金属导体，电磁波由z）0而 k = p + ia 上式中a, p满足:P 2 -a2 =2 Ma - p = ws / 2根据边界条件得：kx=P x + ia 广 k1x11k = P + ia =

29、k = 0.a = 0 , p = (w sin 9 )/c ,将结果代入(X1)(2)得： a p = wps / 2构车得：P2 = (w2 jussin2 9 ) + (sin2 9 w2 jlxs)2 + w2 jlx2Q2 2其相速度为：V = w/P = w/、P2 + P2。衰减深度为：1/a = 1/a。如果是良导体，k2的实部与其虚部相比忽略，则：9、无限长的矩形波导管，在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭，求在z = -8到z=0这段管内可能存在的波模。解：在此结构的波导管中，电磁波的传播满足亥姆霍兹方程：=k sin9 =(sin9 )/c(1)(2)(3)(4

30、)=0 。91k1k2a = 0, |3(sin9 )2 /c2 + P2 -a2(6)(5)V2E + k2E = 0，k = w s，V-E = 0 电场的三个分量通解形式相同:均为：边界条件为：在x = 0及x = a两平面：E = E = 0，8E /办=0在 y = 0 及 y = b 两平面：E = E = 0，6E / dy = 0在 z = 0 平面：E = E = 0，8E / dz = 0由此可得：E = A cos k x sin k y sin k zx 1xyz波数满足：k = m 兀 / a，k = n 兀 / b，( m, n = 0,1,2)振幅满足：Am兀/a

31、 + A n兀/b + A k = 0综合上述各或即得此种波导管中所有可能电磁波的解。10、电磁波E(x, y, z,t) = E(x, y)ei(奴在波导管中沿z方向传播，试使用Vx E = iwp 0H及Vx H = iwE证明电磁场所有分量都可用E (x, y)及H (x, y)这两个分量表示。 TOC o 1-5 h z 证明：沿z轴传播的电磁波其电场和磁场可写作：xzE(x, y, z, t) = E (x, y)ei(q.-at)，H (x, y, z, t) = H (x, y)ei(kzz-at)由麦氏方程组得：V x E = dB / dt = iwu H， V x H =

32、s dE / dt = iws E写成分量式：8E/dy - dE/dz = 8E /dy - ik E = iwuH( 1)dE/dz - dE/dx = ik E - dE /dx = iwuH(2)dH /dy-dH /dz = dH /dy-ik H =-iws E(3)zyzz y0 xdH /dz-dH /dx = ik H -dH /dx = -iws E(4)dH /dx-dH /dy = -iws E(5)由(2)(3)消去Hy 得：E = (-wu dH /dy - k dE /dx)/i(w2 /c2 - k2) x0 zz zz由(1)(4)消去Hx 得：E = (wu

33、 dH /dx-k dE /dy)/i(w2 /c2 -k2) y0 zz zz由(1)(4)消去Ey 得：H = (-k dH /dx + ws dE /dy)/i(w2 /c2 -k2)xz z0 zz由（2）（3）消去Ex 得：H = （-k dH /dy -we dE /dx）/z（w2 /c2 一 k2） yz z0 zz11、写出矩形波导管内磁场H满足的方程及边界条件。解：对于定态波，磁场为：H （x, t） = H （x ）e -s由麦氏方程组VxH = dD/dt = -i咬E，V-H = 0得：Vx (Vx H) = V (V- H)-V 2 H =-V 2 H =-ig V

34、 x E 又 V x E = -dB / dt = ig H所以V2H + k2H = 0，k2 =w2m，V-H = 0即为矩形波导管内磁场H满足的方程由 n - B = 0 得：n - H = 0，H = 0n利用VxE = iwpH和电场的边界条件可得：dH /dn = 0t边界条件为：H = 0，dH / dn = 0n 12、论证矩形波导管内不存在TM 0或TM0波。 TOC o 1-5 h z 证明：已求得波导管中的电场E满足：”由VxE = iwpH可求得波导管中的磁场为：H =-（i /wr ）（A k - iA k ）sin k xcosk yeikzz（1）x3y2zxyH

35、 = -（i /wr ）（iA k - A k ）cos k x sin k yeikzz（2）y1z3xxyH = -（i/wr ）（A k - A k ）cosk xcosk yeikzz（3）z2x1yxy本题讨论TM波，故位=0 ,由（3）式得：（Ak -Ak ） = 0（4）2 x 1 y1） 若n = 0， m。0贝。k = n兀 /b = 0 ， k = m兀 /a。0（5）代入（4）得：A = 0（6）将（5）（6）代入（1）（2）得：H = H = 02） 若m = 0， n。0 贝。k = 0 ， k = n兀 /b。0（7）代入（4）得：A = 0（8）将（7）（8）代入（1）（2）得：H = H = 0因此，波导中不可能存在TMm0和TM0n两种模式的波。13、频率为30 x 109Hz的微波，在0.7cmx0.4cm的矩形波导管中能以什么波模传播？在0.7cm x