新高考数学二轮专题《平面向量》第3讲 平面向量中的范围、最值问题（解析版）

1、第3讲 平面向量中的范围、 最值问题一选择题（共17小题）1如图，四边形是边长为1的正方形，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于ABCD1【解析】解：以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，设点，则，所以，由于点在内（包含边界），目标函数为，如图所示，当点为点时，取得最大值，其最大值为，故选：2已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于A13B15C19D21【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号，的最大值为13，故选：3已知，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，当且仅当，即

2、，时，取等号，由可得，由可得，的最大值为13，最小值为则的范围是，故选：4已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是A，B，C，D，【解析】解：如图所示，设，则由于，与的夹角为，可得中，由正弦定理可得：的外接圆的半径则点为圆上的动点由图可令，则故选：5设向量，的夹角定义： 若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为A2BCD【解析】解：设，则，与的夹角为，中，由正弦定理可得：的半径为1，则点为圆上与不重合的动点，设，由正弦定理可得，则，当时，取得最大值，且为故选：6已知平面内互不相等的非零向量，满足，与的夹角为，则的最大值为A2BCD【解析】解：如

3、图所示，设，则，与的夹角为，中，由正弦定理可得：的外接圆的半径则点为圆上与点重合的动点由图可令：，当时取等号的最大值为故选：7已知向量与的夹角为，在时取最小值，当时，的取值范围为A，B，C，D，【解析】解：由题意得：，由二次函数知，当上式取最小值时，解得的取值范围为故选：8已知向量与的夹角为，在时取得最小值当时，夹角的取值范围为AB，C，D【解析】解：由题意可得，由二次函数知，当上式取最小值时，由题意可得，求得，故选：9设向量、满足：，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是ABCD【解析】解：向量、满足：，的夹角是，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，即，且，即，且求得，即，故选：10在空间

4、直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为ABCD【解析】解：点在直线上运动，存在实数使得，当且仅当时，上式取得最小值，故选：11已知的面积为1，为直角顶点，设向量，则的最大值为A1B2C3D4【解析】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则，的面积为1，即有，则当且仅当时，取得最大值1故选：12已知向量，均为单位问量，且向量与向量的夹角为，则的最大值为AB1CD2【解析】解：由，向量，为单位向量，可得，的夹角为设，由向量，向量，均为单位问量，设，向量满足与的夹角为，由等边三角形，点在外且为定值，可得的轨迹是两段圆弧，是所对的圆周角可知：当时是弧所在圆（上述圆弧

5、）的直径时，取得最大值，在中，由正弦定理可得：，取得最大值取得最大值是2故选：13已知平面向量，满足，若，则A有最大值B有最小值C有最大值D有最小值【解析】解：的最大值为故选：14已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是A1B2CD【解析】解：由题意可得，可得，即为，当，即，同向时，的最大值是故选：15已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是A，0B4，C16，0D4，0【解析】解：，最大值为4，最小值为0故选：16已知是单位向量，若向量满足，则的取值范围是ABC，D【解析】解：由是单位向量，且，则可设，；向量满足，即，它表示圆心为，半径为的圆；又，它表示圆上的点到点的距

6、离，如图所示：且，；即的取值范围是，故选：17设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最小值为ABC1D4【解析】解：，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则，则，当且仅当时，取等号，故选：二填空题（共7小题）18在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为，【解析】解：由题意可得和的夹角为，设，故当时，取得最小值为，当时，取得最大值为3，故的取值范围为，19已知向量满足，与的夹角为，则的最小值为【解析】解：由向量，与的夹角为，可设，由，得；化为，所以点在以为圆心，以1为半径的圆的上；且表示圆上的点到点的距离，如图所示：由图形知，的最小值为故答案为：20已知平面向量，

7、满足与的夹角为锐角，且的最小值为，则实数的值是，向量的取值范围是【解析】解：（1）设与的夹角为，则，当，上式有最小值为，的最小值为，的最小值为3，解得又，此时（2）由（1）可知，与的夹角为，且，不妨设，向量的取值范围是故答案为：；21已知，且与的夹角为锐角，则的取值范围是且【解析】解：，且与的夹角为锐角，解得，但当，即时，两向量同向，应舍去，的取值范围为：且，故答案为：且22在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是【解析】解：以和做平行四边形则因为为的中点所以且反向，设，其对称轴所以当时有最小值故答案为23设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于【解析】解：，只考虑，则，当且仅当时取等号则的最大值等于故答案为：24已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量，若，则的最小值为1【解析】解：，当时，取得最