新高考数学二轮专题《立体几何》第6讲 体积公式与体积变换（解析版）

1、第6讲 体积公式与体积变换一填空题（共2小题） 1在正三棱锥中，、是、的中点，若，则正三棱锥的体积为【解答】解：，（正三棱锥性质）平面所以正三棱锥是正方体的一个角，正三棱锥的体积故答案为：2已知两平行平面、间的距离为，点、，点、，且，若异面直线与所成角为，则四面体的体积为6【解答】解：在内过作，使得，则四边形是平行四边形，两平行平面、间的距离为，到平面的距离故答案为：6二解答题（共15小题）3如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，（1）证明：直线平面；（2）若面积为，求四棱锥的体积【解答】（1）证明：四棱锥中，平面，平面，直线平面；（2）解：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，设，

2、则，是的中点，连接，的中点为：，连接，则，面积为，可得：，即：，解得，则4如图，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）当平面时，求三棱锥的体积【解答】解：（1）证明：由，平面，平面，且，可得平面，由平面，可得；（2）证明：由，为线段的中点，可得，由平面，平面，可得平面平面，又平面平面，平面，且，即有平面，平面，可得平面平面；（3）平面，平面，且平面平面，可得，又为的中点，可得为的中点，且，由平面，可得平面，可得，则三棱锥的体积为5如图四面体中，是正三角形，（1）证明：；（2）已知是直角三角形，若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比【解答】证

3、明：（1）取中点，连结、，是正三角形，平面，平面，解：（2）法一：连结，由（1）知平面，平面，设，则，是线段垂直平分线上的点，由余弦定理得：，即，解得或，四面体与四面体的高都是点到平面的高，四面体与四面体的体积比为1法二：设，则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，设，则，解得，由，解得，四面体与四面体的高都是点到平面的高，四面体与四面体的体积比为16如图，在四棱锥中，且（1）证明：平面平面（2）若，四棱锥一的体积为9，求四棱锥的侧面积【解答】证明：（1），平面，平面，平面平面解：（2）设，过作，为垂足，平面，平面，解得，四棱锥的侧面积：7如图，已知正三棱锥的侧面是

4、直角三角形，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连接并延长交于点（）证明：是的中点；（）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积【解答】解：（）证明：为正三棱锥，且为顶点在平面内的正投影，平面，则，又为在平面内的正投影，面，则，平面，连接并延长交于点，则，又，是的中点；（）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影正三棱锥的侧面是直角三角形，又，所以，因此平面，即点为在平面内的正投影连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心由（）知，是的中点，所以在上，故由题设可得平面，平面，所以，因此，由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得，在等腰直

5、角三角形中，可得所以四面体的体积8如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，交于点，将沿折到的位置（）证明：；（）若，求五棱锥体积【解答】（）证明：菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，且将沿折到的位置，则，；（）若，则，满足，则为直角三角形，且，又，即底面，即是五棱锥的高底面五边形的面积，则五棱锥体积9如图，三棱锥中，平面，（）求证：平面；（）若，为中点，求三棱锥的体积【解答】（）证明：平面，平面，平面；（）解：平面，平面，为中点，平面，10如图，和所在平面互相垂直，且，、分别为、的中点，连接、（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【解答】（1）证明：，则，为的中点，同理，又，平面，平面；

6、（2）解：在平面内，作，交的延长线于，和所在平面互相垂直，平面，为的中点，到平面的距离是长度的一半在中，11如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面为上一点，且（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积【解答】（1）证明：如图所示，为正三角形，在中，由余弦定理可得：，平面，由，平面（2）解：由（1）可得：，在中，由余弦定理可得：，12如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点（1）证明：平面；（2）设，三棱锥的体积，求到平面的距离【解答】（1）证明：设与的交点为，连接因为为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以又因为平面，平面，所以平面（2）解：由，可得作交于由题设知，且，所以平面，又平面，所

7、以，又，做平面平面，在中，由勾股定理可得，所以，所以到平面的距离为13如图，三棱柱中，（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积【解答】（1）证明：取的中点，连接，又，为等边三角形，又平面，平面，平面又平面，因此；（2）解：在等边中，在等边中；在中是直角三角形，且，故又、平面，平面故是三棱锥的高又三棱锥的体积三棱锥的体积为114如图，在三棱柱中，为的中点，（）证明：平面；（）若，求三棱锥的体积【解答】解：（）证明：在三棱柱中，为的中点，平面（）解：，又平面平面，三棱锥的体积：15如图，直四棱柱中，为上一点，（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积【解答】证明：（1）过作的垂线交于，则在在中，平面，平面，（2）点到平面的距离为，三棱锥的体积：16如图，在直四棱柱中，底面为梯形，点在线段上，（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离【解答】（1）证明：在四棱柱中，有，平面，平面，则平面；，由已知可得，四边形为平行四边形，得，平面，平面，则平面又，平面平面而平面，平面；（2）解：在底面梯形中，得到的距离为，又，又，则在中，由，得在中，由，得在底面梯形中，分别过，作的垂线，求得，则，在中，可得在中，由，得，得，设点到平面的距离为则由，得，得即点到平面的距离为17如图所示，在直四棱柱中，底面为直角梯形，连接，已