新教材高一数学必修第二册暑假作业第01练《平面向量及其线性运算》（原卷版）

1、第01练 空间向量及其运算、空间向量基本定理【知识梳理】知识点一 向量的概念与向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量【向量的几何表示】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，字母表示，用小写字母、，表示有向向量的长度为模，表示为|、|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量【向量的模】的大小，也就是的长度（或称模），记作|【零向

2、量】长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定【单位向量】长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）【相等向量】长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性知识点二 平行向量（共线）1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量如果，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行2、共线向量： 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量零向量与任一向量共线说明

3、：（1）向量有两个要素：大小和方向（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量 共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量知识点三 两向量的和或差的模的最值【知识点的知识】 向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量当两个向量相加时，有|+|+|，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有|+|，当且仅当与方向相反时取得到等号另外还有|+|，当且仅当与方向相反时取得到等号；|，当且仅当与方向相同时取得到等号知识点四 向量的加法【知识点的知识】向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法

4、则有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即+特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得+，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质+；+（）；+；（+）+（+）知识点五 向量的减法【知识点的知识】向量的减法及其几何意义：求两个向量差的运算叫向量的减法运算法则：以将向量a与向量b的

5、负向量的和定义为与的差，即+（）设，则即即特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点（减终指向被减终） 知识点六 向量的三角形法则【知识点的知识】三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即+特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点知识点七 向量加减混合运算【知识点的知识】1、向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即

6、+特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得+，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质+；+（）；+；（+）+（+）2、向量的减法运算求两个向量差的运算叫向量的减法运算法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即+（）设，则即即特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点（

7、减终指向被减终）知识点八 向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作，它的大小为|，其方向与的正负有关若|0，当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反当0时，与平行对于非零向量a、b，当0时，有 （2）向量数乘运算的法则1；（1）；（）（）（）；（+）+；（+）+一般地，+叫做，的一个线性组合（其中，、均为系数）如果+，则称可以用，线性表示1（2022镇海区校级模拟）已知向量，则“存在实数，使得”是“共线”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2（2022江西模拟）已知向量，且，则AB1CD23（2022洛阳模拟）已

8、知向量，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（2022辽宁模拟）已知点为的重心，点是线段的中点，则为A2BCD5（2022乌鲁木齐模拟）若平面向量与方向相同，且，则ABCD6（2022榆林二模）已知，则A2B4CD7（2021浙江模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为AB2CD38（2022吕梁一模）在中，为的中点，与交于，则ABCD9（2021新乡二模）在中为边的中点，则ABCD二填空题（共6小题）10（2022呼和浩特一模）已知菱形的边长为3，点，分别在边，上，且满足，则11（2022惠农区校级三模）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则12（2021贵溪市校级模拟）若向量，则向量与向量共线（判断对错）13（2021芜湖模拟）已知，是单位向量，则14（2022重庆模拟）点在内部，满足，则15（2022长安区校级三模）在中，是边上的中点，则的值为16（2020滨州三模）已知是三角形内部一点，满足，则实数A2B3C4D517（2017宝鸡三模）已知点是圆：上的动点，点，是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且，则的最大值为A5B6C7D818（