现代控制理论：第3章 线性系统的能控性和能观性

1、第 二章 控制系统状态空间表达式的解第2章 控制系统状态空间表达式的解2.1 线性定常齐次状态方程的解2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2.3 线性定常系统非齐次方程的解2.4 线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程的解2.6 连续时间状态空间表达式的离散化第3章 线性控制系统的能控性和能观性现 代 控 制 理 论 本章结构第3章 线性控制系统的能控性和能观性3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.

2、8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系绪论3.1 能控性的定义1 提出 状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖 能控性揭示系统输入对状态的制约能力；能观性反映从外部对系统内部的观测能力；能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系3.1 能控性的定义2 定义 若线性连续定常系统：如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间 内，使系统由某一初始状态x(t0) = x0，转移到指定的

3、任意终端状态x(tf) = xf，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完全能控的，或简称系统是能控的。 有时也称矩阵（A，B）是能控的。3.1 能控性的定义2 定义时间段内存在控制输入u3.1 能控性的定义桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图(b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显然，它是不完全能控的。3.1 能控性的定义2 定义 若系统(A(t)，B(t)对初始时刻t0，存在另一时刻tf（tf t0

4、），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0，可以找到一个允许控制u(t)，能在有限时间t0 tf 内把系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf )，那么就称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。若系统在状态空间中的每一个状态都能控，那么就称系统在（t0，tf）时间间隔内是状态完全能控的，简称状态能控的或能控系统。 若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不能控系统。3.1 能控性的定义3 几点说明 本章结构第3章 线性控制系统的能控性和能观性3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.

5、5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系绪论3.2 线性定常系统的能控性判别能控性判别有两种形式：（1）约旦标准型判定（2）（A，B）判定1 化为约旦标准型3.2 线性定常系统的能控性判别3.2 线性定常系统的能控性判别1 化为约旦标准型（1）系统的能控性取决于系统矩阵A和控制矩阵B。（2）当A为对角阵时，如果B的元素有0，则系统不可控。（3）当A为约旦标准型时，只要相应的约旦块对应的B的最后一个元素不为0，则系统可控。

6、（4）从结构图看，若存在于u无关的孤立方块，则系统不可控。3.2 线性定常系统的能控性判别1 化为约旦标准型例3.2-1 3.2 线性定常系统的能控性判别3.2 线性定常系统的能控性判别例3.2-2 考察下列系统的状态能控性3.2 线性定常系统的能控性判别2 从A与B判定能控性定理3.2-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即3.2 线性定常系统的能控性判别证明 定理3.2-1已知状态方程的解为在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilt

7、on）定理3.2 线性定常系统的能控性判别证明 定理3.2-1利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理进而得到因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令3.2 线性定常系统的能控性判别证明 定理3.2-1若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出 0，1，n 1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即rank B AB A2B An 1B = n3.2 线性定常系统的能控性判别例3.2-3 设系统的状态方程为判断其状态能控性。例题 3.2-3 【解答】所以该系统是状态不能控的。3.2 线性定常系统的能控性判别例3.2-4设系统的状态方程为判断

8、其状态能控性。例题 3.2-4 【解答】系统的能控性矩阵为 2 1 1 11 1 3 2 2 22 2 5 4 4 44 4M = B AB A2B = rankM= 2 n 所以系统状态不完全能控。 3.2 线性定常系统的能控性判别3 线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出是否能控的问题。 对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔t0，tf内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或

9、简称输出是能控的。 线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即 rankQ =rank CB CAB CAn -1B D = m 本章结构第3章 线性控制系统的能控性和能观性3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系绪论3.3 线性连续定常系统的能观性1 定义 对

10、任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf t0，能够根据输出量y(t)在t0，tf内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式3.3 线性连续定常系统的能观性1 定义能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计3.3 线性连续定常系统的能观性2 能观性判别能观性判别有两种形式：（1）约旦

11、标准型判定（2）（A，C）判定（1）约旦标准型判定能观判定1：设线性定常连续系统(A，C)具有互不相同的特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的对角标准形中，不包含全为零的列3.3 线性连续定常系统的能观性2 能观性判别（1）约旦标准型判定3.3 线性连续定常系统的能观性3.3 线性连续定常系统的能观性2 能观性判别（1）约旦标准型判定能观判定2：设线性定常连续系统(A，C)具有重特征值，则其状态完全能观测的充要条件，是系统经线性非奇异变换后的约当标准形中，和每个约当块Ji（i =1，2，k）首列相对应的的所有那些列，其元素不全为零。2 能观性判别（1）约旦标准型判定3

12、.3 线性连续定常系统的能观性例3.3-1考察下列系统的状态能观性3.3 线性连续定常系统的能观性3.3 线性连续定常系统的能观性2 从A与C判定能观性定理3.3-1 线性定常连续系统(A，C)其状态完全能观的充要条件是其能观性矩阵的秩为n，即3.3 线性连续定常系统的能观性证明 定理3.3-1已知系统(A，C)状态方程的解为在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0,不考虑控制问题，只考虑齐次问题。则有利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理3.3 线性连续定常系统的能观性证明 定理3.3-1所以因为一般m n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时

13、刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即3.3 线性连续定常系统的能观性证明 定理3.3-1上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的量测值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。3.3 线性连续定常系统的能观性例3.3-2 设系统的状态方程为判断其状态能观性。rankN = 2 = n 所以系统是能观测的。3.3 线性连续定常系统的能观性例3.3-3 设系统的状态方程为判断其状态能观性。rankN 3 所以系统是不能观测的。 本章结构第3章 线性控制系统的能控性和能观性3.1 能控性的定义3.

14、2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系绪论3.6 能控性与能观性的对偶关系1 对偶关系 从前面几节的讨论中可以看出控制系统的能控性和能观测性，无论从定义或其判据方面都是很相似的。这种相似关系决非偶然的巧合，而是有着内在的必然联系，这种必然的联系即为对偶性原理设系统1的状态空间表达式为设系统2的状态空间表达式为称系统1和系

15、统2是互为对偶的，即2是1的对偶系统，反之， 1是2的对偶系统。3.6 能控性与能观性的对偶关系1 对偶关系从结构图上看，系统1和其对偶系统2的输入端和输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置3.6 能控性与能观性的对偶关系1 对偶关系两个系统的传递函数矩阵的关系 对偶系统的传递函数矩阵互为转置对偶系统的特征方程式相同3.6 能控性与能观性的对偶关系2 对偶原理系统1状态完全能控的充要条件和系统2状态完全能观的充要条件相同；系统1状态完全能观的充要条件和系统2状态完全能控的充要条件相同；3.6 能控性与能观性的对偶关系系统1系统2证明根据这一原理，一个系统的状态完全能控

16、性（能观测性）就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性（能控性）来研究 本章结构第3章 线性控制系统的能控性和能观性3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系绪论3.7 能控标准型与能观标准型 标准形亦称规范形，它是系统的系数在一组特定的状态空间基底下导出的标准形式。而系统的能控标准形和能观测标准形，指

17、的是系统的状态方程和输出方程若能变换成某一种标准形式，即可说明这一系统必是能控的或能观测的，那么这一标准形式就称为能控标准形或能观测标准形。由于能控标准形常用于极点的最优配置，而能观测标准形常常用于观测器的状态重构，所以这两种标准形对系统的分析和综合有着十分重要的意义。 3.7 能控标准型与能观标准型1 单输入系统的能控标准型传递函数状态空间3.7 能控标准型与能观标准型 （1）能控标准I型3.7 能控标准型与能观标准型 把状态空间表达式变换为：3.7 能控标准型与能观标准型称上式子3.7 能控标准型与能观标准型证明：能控标准型一定能控能控的状态空间表达式可以通过Tc1转换为能控标准型3.7

18、能控标准型与能观标准型证明：能控标准型一定能控3.7 能控标准型与能观标准型证明：2 Tc1转换展开3.7 能控标准型与能观标准型证明：2 Tc1转换展开3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型 Tc1转换可以得到标准型的3.7 能控标准型与能观标准型 Tc1转换可以得到标准型的3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型（1）首先判断系统能控性例3.7-1 （2）求Tc1求特征多项式系数3.7 能控标准型与能观标准型（3）求能控标准型状态

19、矩阵，输入矩阵，输出矩阵（4）求传递函数3.7 能控标准型与能观标准型例3.7-1 （1）（2）3.7 能控标准型与能观标准型（3）求3个矩阵Tc13.7 能控标准型与能观标准型（4）传递函数3.7 能控标准型与能观标准型 （2）能控标准II型1 单输入系统的能控标准型 转换3.7 能控标准型与能观标准型 这种形式称为能控标准II型 其中， 的各项系数3.7 能控标准型与能观标准型证明：对于能控状态方程变换矩阵3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型3.7 能控标准型与能观标准型例3.7-2 （能控标准II型）3.7 能控标准型与能观标准型 （

20、1）能观标准I型 单输出系统的能观标准型 将系统转化为：若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换3.7 能控标准型与能观标准型 这种形式称为能观标准I型 其中， 的各项系数3.7 能控标准型与能观标准型证明：证明：3.7 能控标准型与能观标准型 （1）能观标准II型 将系统转化为：若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换3.7 能控标准型与能观标准型 这种形式称为能观标准II型 其中， 的各项系数3.7 能控标准型与能观标准型 小结对于系统能控标准I能控标准II能观标准I能观标准II 本章结构第3章 线性控制系统的能控性和能观性3.1 能控性的定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线

21、性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系绪论3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解1 按能控性分解可使系统的状态空间表达式变换成3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到下式这部分构成n1维能控子系统。为不能控子系统。而后n-n1维子系统3.8 线性系统的结构分解能控部分不能控部分3.8 线性

22、系统的结构分解1 按能控性分解最关键的是求非奇异变换阵Rc。（1）在能控性矩阵 中选择n1个线性无关的列向量；（2）将所得列向量作为矩阵Rc的前n1个列，其余列可以在保证Rc为非奇异矩阵的条件下任意选择3.8 线性系统的结构分解例3.8-1 （1）求n13.8 线性系统的结构分解（2）求Rc3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即因为3.8 线性系统的结构分解2 按能观性分解可使系统的状态空间表达式变换成3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到下式

23、这部分构成n1维能观子系统。为不能观子系统。而后n-n1维子系统3.8 线性系统的结构分解能观部分不能观部分3.8 线性系统的结构分解1 按能观性分解最关键的是求非奇异变换阵R0。对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊性。应由构造其逆做起，即先求（1）在能控性矩阵 中选择n1个线性无关的行向量；（2）将所得行向量作为矩阵R0的前n1个行，其余行可以在保证R0为非奇异矩阵的条件下任意选择3.8 线性系统的结构分解例3.8-2 （1）求n13.8 线性系统的结构分解（2）求R0逆3.8 线性系统的结构分解3 按能控能观性分解可使系统的状态空间表达式变换成3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的

24、结构分解3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解按能控能观分解的求解步骤：按能控分解构造3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解3.8 线性系统的结构分解例3.8-3 线性定常系统状态空间表达式为试求系统的能控子系统。（1）按能控分解为系统（2） 按能观分解为系统（3） 按能观分解为系统3.8 线性系统的结构分解（1）按能控分解为系统3.8 线性系统的结构分解（2） 按能观分解为系统3.8 线性系统的结构分解（3） 按能观分解为系统 本章结构第3章 线性控制系统的能控性和能观性3.1 能控性的

25、定义3.2 线性定常系统的能控性判别3.3 线性连续定常系统的能观性3.4 离散时间系统的能控性与能观性3.5 时变系统的能控性与能观性3.6 能控性与能观性的对偶关系3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8 线性系统的结构分解3.9 传递函数阵的实现问题3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系绪论3.9 传递函数的实现问题反映系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反映系统中能控且能观子系统的动力学行为。对于某一给定的传递函数阵将有无穷多的状态空间表达式与之对应，即一个传递函数阵描述无穷多个内部不同结构的系统。从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构的系统中，其中维

26、数最小的一类系统就是所谓最小实现问题。确定最小实现是一个复杂的问题，本节只是在前一节关于系统结构分析的基础上对实现问题的基本概念作一个介绍，并通过几个具体例子介绍寻求最小实现的一般步骤3.9 传递函数的实现问题1 实现问题的基本概念 状态空间分析法是现代控制理论的基础。因此，如何建立状态方程和输出方程是分析和综合系统地首先要解决的问题。对于结构和参数已知的系统，可以通过对系统物理过程的深入研究后，直接建立系统的状态空间表达式。但是，有很多实际系统，其物理过程比较复杂，相互之间的数量关系又不太清楚。此时，要直接导出其状态空间表达式显得十分困难，甚至是不可能。3.9 传递函数的实现问题1 实现问题

27、的基本概念 为了解决这类问题，一个可能的办法是，先用实验的方法确定系统的传递函数（或传递函数阵），然后根据传递函数推导出相应的状态方程和输出方程。由传递函数阵或相应的脉冲响应阵来建立系统的状态方程和输出方程的问题，即称为实现问题。而系统的状态方程和输出方程则称为系统传递函数阵的一个实现。3.9 传递函数的实现问题2 定义及基本特性定义 如果对给定的一个传递函数阵G(s)，能找到相应的线性定常系统状态空间表达式使得 G(s)=C(sI A) 1B成立，则称系统(A，B，C)是G(s)的一个实现。相应地，如果其 H(t)= L1 G(s)= CeAt B则称该系统是脉冲响应阵H(t)的一个实现。3

28、.9 传递函数的实现问题基本特征（1）对任意给定的传递函数阵G(s)，只要满足物理上可实现的条件，那么一定可以到其实现，这是实现的存在性问题。（2）实现的实质是用状态空间分析法，寻找一个与真实系统具有相同传递函数阵的假想系统。但从传递函数阵出发，一般可以构造无数个与真实系统输入输出特性相同的假想系统。因此，实现具有非唯一性。（3）当传递函数阵G(s)所有元的传递函数Gij (s)均为s的真有理分式函数（即分子多项式的阶次低于分母多项式的阶次）时，其实现为(A，B，C)形式。当Gij (s)的分子多项式的阶次等于分母多项式的阶次时，其实现为(A，B，C，D)形式。且有3.9 传递函数的实现问题3 标准型实现能控标准形（能观测标准形）实现就是由传递函数阵或相应的脉冲响应阵所建立的状态表达式，不但完全能控（能观测），而且为标准形式，则称为能控标准形（能观测标