三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

1、 -三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx,xWO,2n的图象中，五个关键点是：（0,0）（,1）（兀，0）（3,-1）（2冗,0）22余弦函数y=cosxxe0,2冗的图像中，五个关键点是：（0,1）（,0）（冗,-1）（3,0）（2冗，1）222、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性质函、数y,sinxy，cosxy，tanx图象y31/!nTV.01/n1X寻7-定义域RR1xxk+,keZ2值域-1,1_1,1R最值“兀当x，2k兀+时，y，1；当x，2k兀_一max2时，y，_1.min当x，2k时，y，1；当x，2k+ma

2、x时，y，_1.min1FT十曰*E山十曰.订、/古丸无最大值也无最小值周期性2兀2奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上:在上:2k-,2k+“22”是增函数；-“3兀2k+,2k+“22是减函数.在bk_,2k上是增函数；在bk,2k+上是减函数.在上(7)k_,k+22丿是增函数.对称性对称中心（k冗,0）,对称轴X，k+2（c）对称中心k+,02丿对称轴x，k（k-对称中心,02丿无对称轴- -例作下列函数的简图- #- #-(l)y=lsinxl,xG0,2n,y=-cosx,xG0,2n- #- -例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合:(l)(2)cosx3、周期函

3、数定义：对于函数y，f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)，f(x)，那么函数y，f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意：周期T往往是多值的(如y=sinx2冗,4冗，-鸟冗,-4冗，都是周期)周期T中最小的正数叫做y，f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y，sinx,y，cosx的最小正周期为2冗(一般称为周期)2正弦函数、余弦函数：T，。正切函数：一例求下列三角函数的周期：1y=sin(x+)2Oy=cos2x3y=3sin(+)4Oy=tan3x325例求下列函数的定义域和值域：(1)y，2-sinx(2)y

4、，-3sinx(3)y，lgcosx例5求函数y=sin（2x-1）的单调区间例不求值，比较大小+(l)sin()、18sin(询);解：丁一一018102317(2)cos5)、cos(4).23233(2)cos5)cos5一cosT1717cos()cos-cos4443VOVVVn45且函数ycosx，xGOn是减函数TOC o 1-5 h z3.COSVcos543即coscosVO54 HYPERLINK l bookmark332317.cos()cos()VO544、函数y=Asin（ex+p（A0,0）的图像:（1）函数y=Asin（x+p（A0,0的有关概念： HYPERL

5、INK l bookmark2921振幅：A；周期：T=；频率：f=；相位：x+P；初相：少. HYPERLINK l bookmark35T2（2）振幅变换y=Asinx,xR（A0且AhI）的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长（Al）或缩短（OA1）到原来的A倍得到的+它的值域-A,A最大值是A,最小值是-A若A0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅，这一变换称为振幅变换I（3）周期变换函数y=sinsx,x0且3工1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（1）或伸长（031）到原来的丄倍（纵坐标不变）若30则可用诱导公式将符号“提出”再作图.3

6、决定了函数的周期，这一变换称为周期变换.（4）相位变换- -一般地，函数y=sin（x+）,XWR（其中工0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当0时）或向右（当0时=平行移动丨丨个单位长度而得到.（用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”）y=sin（x+）与y=sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.5、小结平移法过程（步骤）作y=sinx（长度为2冗的某闭区间）- #- #-沿x轴平移|中I个单位得y=sin（x+横坐标伸f长或缩短得y=sin（3x+纵坐标伸长或缩短横坐标*伸长或缩短得y=sin3x沿x轴平I移I|个单位得y=sin（3x+纵坐标

7、伸长或缩短- #- -得y=Asin（3x+中）的图象,先在一6、函数y=Asin（wx+，+B,当xx时，取得最小值为y1min当x=x时，取得最大值为y2maxyymaxminy+ymaxmin(xx120，ll的一段图象,2贝yf(x)的表达式为例如图b是函数y=Asin（x+）+2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是（34C+A=l,34- -一例求函数y二tan(3x冷3丿例画出函数y=3sin(2x+),xGR的简图,解：(五点法)由T=，得T=n列表:x612I7n562x+30込n322n3sin(2x+)3030-30的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性+TO

8、C o 1-5 h z小,k5解：由3x丰k+得x丰+-， HYPERLINK l bookmark852318 HYPERLINK l bookmark89|,小口k5兀，所求定义域为x1xR,且兀丰+,kz18值域为R，周期T=-，是非奇非偶函数”在区间kk5兀丁18丁+L8“kZ”上是增函数*- #- -例已知函数y=sin2x+1；3cos2x2.用“五点法”作出函数在一个周期内的图象.求这个函数的周期和单调区间.求函数图象的对称轴方程.说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的+解：y二sin2x+J3cos2x-2=2sin(2x+)-2(1)列表x6辽71262x+30I322y=2sin(2x+)-2-20-2-4-2其图象如图示由-+2knW2x+3W+2kn，知函数的单调增区间为5n+kn,+kn,kwZ”1212- -TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark203知函数的单调减区间为ji+由+2kn2x+n+2kn,32+kn,n+kn,kwZ_.1212 HYPERLINK l bookmark95k由2x+=+kn得x=+2122函数图象的对称轴方程为x=12+1n,(kwZ).(4)把函数y=sinx的图象上所有点向左平移可个单位，得到函数y=sin(x+)的图象； HYPERLINK l bookmark103