15.2光在晶体中的传播14次讲解课件

1、15.2 光在晶体中的传播内 容一、晶体的双折射及相关概念二、晶体的介电张量三、单色平面波在晶体中的传播第1页，共111页。1.双折射现象1669年丹麦科学家巴塞林(Bartholin)发现双折射现象双折 射双 折双 折方解石晶体o光e光一、晶体的双折射及相关概念第2页，共111页。1. 双折射现象光束在某些晶体中传播时，由于晶体对两个相互垂直振动矢量的光的折射率不同而产生两束折射光，这种现象称为双折射 (Double Refraction)。第3页，共111页。 寻常光（Ordinary light, o光）和非寻常光 （ Extraordinary light ,e光）两束折射光中，有一束

2、光遵守折射定律，称为寻常光（o光）；另外一束一般不遵守折射定律，称为非寻常光（e光）。折射定律有两个含义：A. 折射角的关系，B. 入射光线和折射光线与法线同在一个平面。说明：1o光和e光与晶体密不可分 2折射定律的含义第4页，共111页。当方解石晶体旋转时，o光不动，e光围绕o光旋转第5页，共111页。2.晶体特性 方解石晶体结构（Calcite-CaCO3）顿隅第6页，共111页。（1）、光轴(Optical axis)： 在双折射晶体中存在一个特殊的 方向，当光束在这个方向传播时不发生双折射，此方向称为晶体的光轴。在光轴方向上，o 光和 e 光都遵守折射定律。而且： no=ne第7页，共

3、111页。（2）主平面(Principal plane)和主截面(Principal section)：主平面：光线和光轴所组成的平面。 o光主平面：o光和晶体光轴组成的面为o主平面。 e光主平面：e光和晶体光轴组成的面为e主平面。主截面(Principal section)： 光轴和晶体表面法线 (Normal line)组成。光线在一般情况下入射晶体， o光和e光是不同面的。当入射光线在主截面内时，两面重合。第8页，共111页。当入射光在主截面内时，o光e光主平面均为主截面。表面法线nn若方解石晶体各棱等长第9页，共111页。o光和e光均为线偏振光o光的振动方向垂直于它自己的主平面，e光的

4、振动方向平行于它自己的主平面o光e光一般情况下，e光不一定在入射面内，o光和e光的主平面并不重合当入射面是晶体的主截面时，o光和e光的主平面重合，此时o光与e光的振动方向相互垂直第10页，共111页。、o光和e光都是线偏振光；（3）o光与e光的偏振态、o光振动方向与o光主平面垂直，因而总与光轴垂直；、e光振动方向在e光主平面内，因而与光轴的夹角随传播方向而改变；、当光线在主截面入射时，主平面与主截面重合，则o光振动方向垂直于主截面， e光振动方向在主截面内；第11页，共111页。3晶体的分类（Types of crystal）： 各向同性晶体（Isotropic crystal）：不产生双折射

5、现象。如：NaCl 双折射晶体（Anisotropic crystal）： 单轴晶体（Uniaxial）：只有一个光轴方向的晶体。如：方解石(Calcite)、石英(Quartz)。 双轴晶体（Biaxial）：有两个光轴方向的晶体。 如：云母(Mica)等。第12页，共111页。4正负晶体：Vo Ve时为正晶体(Positive crystal)； Vo Ve时为负晶体(Negative crystal)。正晶体：no ne，e光波面（椭球面）在o光波面（球面）之内。负晶体：no ne，o光波面（球面）在e光波面（椭球面）之内。e光光轴Optical axise光o光o光第13页，共111页

6、。13二、晶体的介电张量张量(tensor)的基础知识零阶张量(标量)：如果一个物理量在坐标移动时数值不变，则称为标量(T, m, )一阶张量(矢量)：如果一个物理量由三个数表示，而且在坐标移动时如同坐标一样变换，则此物理量称为矢量二阶张量tensor如果一个物理量由九个数表示，而且变换关系为则称此量为二阶张量。n 阶张量：如果一个物理量由3n个数表示，则称此量为n 阶张量。第14页，共111页。晶体不同方向性质不同，这被称为晶体的各向异性 在晶体这种各向异性介质中，不同方向的介电常数 是不同的，于是： 即 简写成： (i、j=x、y、z) 写成矩阵形式，有： 第15页，共111页。称为介电常

7、数张量。它是二阶张量，对于非吸收晶体，具有对称性。 晶体的介电常数一般不能用标量表示，而必需用二阶张量表示。由于晶体具有对称性，恰当地选取坐标轴，例如让坐标轴与某一周期方向一致，介电常数二阶张量就可以简化成： x、y、z称为晶体的三个“主轴”。 称为晶体的三个“主介电常数”。对于晶体而言，在其生长过程中，其主轴就已经确定，至于何者为x轴，何者为y轴，何者为z轴，则根据方便确定，一般按照数值大小确定脚标， ；或者， ；前者称为正晶体，后者称为负晶体。 第16页，共111页。DyEyDEyDxExDzEzzxO晶体中，在一般情形下两个矢量D和E的方向不同，如左上图所示。如果 ，则D始终与E同方向，

8、对应着各向同性媒质情形，称为各向同性晶体，如属于立方晶系的各种晶体。如果 互不相等，仅当E的方向恰好沿某一个主轴时，D才与E有相同的方向，如属于正交、单斜、三斜晶系的各种晶体，称为双轴晶体。如果 中有两个相等，例如 ，则当E位在xy平面内(Ez=0)时，D也能与它同方向，如左下图所示。这时在xz、yz平面上具有各向异性，如属于三方、四方、六方晶系的各种晶体，称为单轴晶体。 OxDxExDyEyy晶体中D和E的关系第17页，共111页。根据主介电常数的情况，可将七大晶系简化成下面三种形式： 三斜、单斜、正交双轴晶体有三个独立分量 三角、四角、六角 单轴晶体有两个独立分量 立方 同性晶体有一个独立

9、分量 在目前，应用较多的还是单轴晶体。 第18页，共111页。光性名称化学成分波长(nm)nonene-no负晶体方解石Ca CO3589.31.65841.4864-0.172方解石Ca CO3486.11.66791.4908-0.1771硝酸钠Na2 NO3589.31.5871.336-0.251电气石硼铝硅酸盐589.31.6691.638-0.031绿柱石Be3A12Si6O18589.31.5981.590-0.008正晶体石 英SiO2589.31.54421.55330.0091石 英SiO2486.11.54971.55900.0093石 英SiO22001.6401.65

10、30.013金红石TiO2589.32.61312.90890.2958金红石TiO2486.12.73463.06310.3285冰H2O589.31.3091.3100.001表 一些单轴晶体的折射率和双折率寻常折射率no和主异常折射率ne的差值(ne-no)可用来表征晶体各向异性的大小，称为“双折率”。双折率的正负号决定了晶体光性的正负。第19页，共111页。光 性名 称化学成分nxnynz正 晶黄 玉SiO4(F, OH)21.6151.6181.625石 膏CaSO42H2O1.5211.5231.530负 晶云 母K、Mg、Li、Al等的铝硅酸盐1.5601.5931.597散 石

11、CaSO31.5301.6821.686表 几种双轴晶体的主折射率(=589.3nm)第20页，共111页。 根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。三、单色平面波在晶体中的传播第21页，共111页。 麦克斯韦方程组均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。第22页，共111页。1.单色平面光波在晶体中的传播特性式中，设晶体中传播的单色平面光波为第23页，共111页。第24页，共111页。对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以 -i 代替 ，以 (in/c)k 代换算符 。第25页，共

12、111页。经过运算，(1)式(4)式变为由这些关系式可以看出：第26页，共111页。 D 垂直于 H 和 k，H 垂直于 E 和 k，所以 H垂直于 E、D、k，因此，E、D、k 在垂直于 H 的同一平面内。波阵面波阵面kHDEsvkvs第27页，共111页。由能流密度的定义可见，H 垂直于 E 和 s (能流方向上的单位矢量)，故 E、D、 s、k 同在一个平面上。波阵面波阵面kHDEsvkvs第28页，共111页。可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。波阵面波阵面kHDEsvkvs第29页，共111页。(2)能量密度根据电磁能量密度公式及(7)式、(8)式

13、，有第30页，共111页。(2)能量密度总电磁能量密度为对于各向同性介质，因 s 与 k 同方向，所以有第31页，共111页。(3)相速度和光线速度相速度 vk是光波等相位面的传播速度，其表示式为波阵面波阵面kHDEsvkvs第32页，共111页。(3)相速度和光线速度光线速度 vs是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度(玻印亭矢量)的方向 s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即第33页，共111页。(3)相速度和光线速度由(11)式(14)式可以得到单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。ABABksvsvk第34页，共111页。

14、(3)相速度和光线速度在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离,其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平面光波的相速度也即是光线速度。波阵面波阵面kHDEsvkvs第35页，共111页。2)光波在晶体中传播持性的描述由麦克斯韦方程组出发，将(7)式和(8)式的H 消去,可以得到（1）晶体光学性质的基本方程第36页，共111页。再利用矢量恒等式变换为第37页，共111页。ksDDEE(k0E) k0(s0D) s0方括号Ek0(k0E)实际上表示 E 在垂直于 k (即平行于D)方向上的分量，记为 。第38页，共111页。(32)式可以写成ksDDEE(k0E) k0(s0D) s0

15、第39页，共111页。我们还可以将(16)式、(17)式写成另外一种形式。因为所以第40页，共111页。由此可将(18)式表示为ksDDEE(k0E) k0(s0D) s0第41页，共111页。或ksDDEE(k0E) k0(s0D) s0第42页，共111页。 (16)、(17)和(20 )、(21)式给出了沿某一k(s) 方向传播的光波电场E(D)与晶体特性n(ns) 的关系，因而是描述晶体光学性质的基本方程。ksDDEE(k0E) k0(s0D) s0第43页，共111页。(2)菲涅耳方程为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系，因而物质方程为第44页，共111页。菲涅耳方程波法线菲涅

16、耳方程(波法线方程)光线菲涅耳方程(光线方程)ksDDEE(k0E) k0(s0D) s0第45页，共111页。波法线菲涅耳方程(波法线方程)将基本方程(16)式写成分量形式并代入 Di Ei 关系，经过整理可得第46页，共111页。第47页，共111页。将(23)式代入后，得到波法线菲涅耳方程(波法线方程)由于 Dk00，所以有第48页，共111页。第49页，共111页。描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应的折射率n 和晶体的主介电张量 之间的关系。波法线菲涅耳方程(波法线方程)第50页，共111页。波法线菲涅耳方程(波法线方程)(24)式还可表示为另外一种形式根据 kc / n，可

17、以定义三个描述晶体光学性质的主速度：第51页，共111页。波法线菲涅耳方程(波法线方程)它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向 x、y、z的相速度。由此可将(24)式变换为上式描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应的相速度k 和晶体的主速度x、y、z 之间的关系。第52页，共111页。波法线菲涅耳方程(波法线方程)通常将(24)式和(25)式称为波法线菲涅耳方程。第53页，共111页。由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率(或相速度)随光波方向 k 变化。波法线菲涅耳方程(波法线方程)这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相速度)的特性，即是晶体的光学各向异性。它们是 n

18、2 或 k2 的二次方程，一般有两个独立的实根 n、n 或 k、k，因而，对应每一个波法线方向 k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波。第54页，共111页。在由(24)式、(25)式得到与每一个波法线方向 k 相应的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向 k 相应的光波 D 和 E 的振动方向，可将(22)式展开波法线菲涅耳方程(波法线方程)第55页，共111页。第56页，共111页。将由(24)式解出的两个折射率值 n 和 n 分别代入(26)式，即可求出相应的两组比值 和 ，从而可以定出与 n 和 n 分别对应的 E 和 E 方向。波法线菲涅耳方程(波法线方程)第57页，共111

19、页。由物质方程的分量关系，求出相应的两组比值 和 ，从而可以定出与 n 和 n 分别对应的 D 和 D 的方向。波法线菲涅耳方程(波法线方程)第58页，共111页。由于相应于 E、E 及D、D 比值均为实数，所以 E 和 D 都是线偏振的。波法线菲涅耳方程(波法线方程) 当 Ex 、Ey 二分量的相位差 时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有第59页，共111页。进而可以证明，相应于每一个波法线方向 k 的两个独立折射率 n 和 n 的电位移矢量 D 和 D 相互垂直。证明过程如下：波法线菲涅耳方程(波法线方程)第60页，共111页。第61页，共111页。第62页，共111页。第63页，

20、共111页。上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。波法线菲涅耳方程(波法线方程)第64页，共111页。对应于晶体中每一给定的波法线方向 k，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的D 矢量相互垂直，具有不同的折射率或相速度。kssDEDE因此，波法线菲涅耳方程(波法线方程)第65页，共111页。由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及 Es，所以这两个线偏振光有不同的光线方向( s 和 s )和光线速度( vs 和 vs )。波法线菲涅耳方程(波法线方程)kssDEDE第66页，共111页。 光线菲涅耳方程(光线方程)上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波

21、法线方向 k 上，特许的两个线偏振光的折射率和偏振态。第67页，共111页。 光线菲涅耳方程(光线方程)类似地，也可以得到确定相应于光线方向为 s 的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程光线菲涅耳方程。第68页，共111页。 光线菲涅耳方程(光线方程)或 (27)式和(28)式描述了在晶体中传播的光线方向 s 与相应的光线折射 ns、光线速度 s 和晶体的光学参量 、主速度 x、 y、 z 之间的关系。第69页，共111页。 光线菲涅耳方程(光线方程)类似得出如下结论：在给定的晶体中，相应于每一个光线方向 s，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，这两个光的 E 矢量相互垂直。 skkD

22、EDE第70页，共111页。单轴晶体的双折射用主折射率代替主介电常数： 对于单轴晶体： 第71页，共111页。上式通分后得： 解此方程得： 表明，单轴晶体中，对于给定的波矢量k，存在着两种不同折射特性的光波。n与k的方向无关，恒等于no，相当于各向同性介质的折射率，故按n折射的光波称为单轴晶体的寻常光，简称o光，相应的折射率no称为寻常光(或o光)折射率。n与k的方向有关，即其大小随着波矢量k的方向不同而变化。可见n与通常所讲的折射率不同(各向同性介质中，n与k的方向无关)，与方向有关，按此折射率折射的光波称为单轴晶体中的非常光，简称e光。 第72页，共111页。(1)、当光沿着z轴方向传播时

23、， 这表明当光波波法线沿着z轴方向时，晶体内只有一种光波，即寻常光，且不发生双折射现象，故z方向为单轴晶体的光轴方向。 (2)、当光波垂直于z轴传播时， 这表明当光波波矢量垂直于晶体光轴时，晶体内将存在两种光波o光和e光，且此时e光折射与波矢量在垂直于光轴的平面上的方向无关，等于一个常数ne。 (3)、一般情况下，e光的折射率不是常数，而随着波矢量的方向不同在no和ne之间变化。 第73页，共111页。单轴晶体中寻常光和非常光的振动方向假设坐标轴x，y，z分别代表3个介电主轴，现有一单色平面光波，其波面法线矢 平行于yz平面，且与z轴的夹角为 ，则有：xyzo描述晶体光学性质的基本方程讨论得到

24、，1)、单轴晶体中o光的D矢量与E矢量方向一致，它们垂直于晶体光轴与波矢量k所构成的平面yz平面，因而o光的波面法线与光线方向重合。 2)在单轴晶体中，e光的D矢量和E矢量均位于波矢与晶体光轴构成的平面内；分别与o光的D矢量和E矢量垂直；但是D矢量和E矢量并不一定重合。 第74页，共111页。下面确定两种光波的偏振态：寻常光波。将 nnno 及 k0 x0，k0ysin，k0zcos 代入(26)式，得到第75页，共111页。寻常光波第一式因系数为零，所以 Ex 有非零解。第二、三式因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次方程，此时，只可能是 EyEz0。因此，EExi。第76页，共111

25、页。寻常光波可见，o 光的 E 平行于 x1 轴，从一般意义上讲，即垂直于 k 与 z 轴决定的平面。又由于 D0no2E，所以 o 光的 D 矢量与 E 矢量平行。yxzEoDokso第77页，共111页。将 nn 及 k0 x0，k0ysin，k0z cos 代入(26)式，得到异常光波第78页，共111页。在第一式中，因系数不为零，只可能是 Ex0.而第二、三式中,因系数行列式为零,Ey 和 Ez有非零解。异常光波第79页，共111页。可见，e 光的 E 矢量位于 yOz平面内，从一般意义上讲，即位于 k 矢量与光轴 z 所确定的平面内。异常光波yxzDeEeEoDoksose同时，由于

26、 Dx0rxEx0，所以 D 矢量也在 yOz 平面内，但不与 E 矢量平行。另外，e 光的 s 矢量、k 矢量和光轴共面，但 s 与 k 不平行。第80页，共111页。异常光波仅当 /2 时，Ey0，E 矢量与光轴平行,此时, DE，k s， 相应的折射率为 ne。x2x1x3DeEeEoDokse第81页，共111页。异常光波综上所述，在单轴晶体中，存在着两种特许偏振方向的光波：o 光和 e 光。对应于某一波法线方向 k 有两条光线：o 光的光线 s0 和 e 光的光线 se。yxzDeEeEoDoksose第82页，共111页。单轴晶体中寻常光和非常光的振动方向讨论得到，1)、单轴晶体中

27、o光的D矢量与E矢量方向一致，它们垂直于晶体光轴与波矢量k所构成的平面yz平面，因而o光的波面法线与光线方向重合。 2)在单轴晶体中，e光的D矢量和E矢量均位于波矢与晶体光轴构成的平面内；分别与o光的D矢量和E矢量垂直；但是D矢量和E矢量并不一定重合。 第83页，共111页。单轴晶体中传播光波的振动方向yxz显然第84页，共111页。一、折射率椭球(光率体)用场能密度公式可推出折射率与电位移 的关系式，因为： 此方程称为折射率椭球方程15.3 晶体光学性质的几何表示第85页，共111页。nxnynzyxzDyDxDzr=nd此方程意义是：、方程表示一个椭球面，描述晶体中折射率的空间分布；、方程

28、是在主轴坐标系中表示的，x、y、z表示电位移Dx、Dy、Dz；、nx、ny、nz是主轴x，y，z方向对应的折射率；、椭球体内任一矢径的方向表示D矢量的方向，大小表示沿该方向振动的光波对应的折射率：r=ndd表示D方向的单位矢量。(这可利用菲涅耳方程来理解)第86页，共111页。、对于确定的光波波矢 ，折射率不能从椭球直接求出，必须从椭球中心划出矢量 ，然后过椭球中心做 的垂面，它与椭球交线为椭圆。zyx因为 ，所以与 对应的光波感应的 只能在交线上，但是在交线上有无数个 ，可以证明，为了满足光波在晶体中传播的一般规律只有椭圆的长、短轴方向才是允许的电位移 ，所以有两个 方向，即 和 ，对应长轴

29、和短轴方向，而长轴和短轴的长度对应 和 的折射率n1和n2。第87页，共111页。单轴晶体 在单轴晶体中，z 轴为光轴，若 沿着z 轴，则过椭球中心做截面，其截面在xoy平面上，可见x，y方向的光学特性是相同的，即x，y方向折射率相同，设nx=ny=no，nz=ne，则折射率椭球方程变为： xyznonenoxyznonone这是一个以z轴为对称轴的旋转椭球。none，对应着负单轴晶体，旋转椭球呈陀螺(扁)形；none，对应着正单轴晶体，旋转椭球呈橄榄(长)形。 第88页，共111页。在xy平面内，即z=0，椭球的投影为一个圆，即： 此圆的半径为 no ，这说明，当光波波法线 方向沿 z 方向

30、时，晶体中只有一种可能的传播状态，此时， 矢量可以垂直于任意方向， 和 重合，即不发生双折射，z 轴为单轴晶体的光轴。 xyznononexyznoneno第89页，共111页。y在yz平面(xz平面)内，即x=0(y=0)，椭球的投影为一椭圆，即： 此时椭圆沿y轴(x轴)方向的半长轴均为no，而沿z轴的半长轴的长度为ne。这说明，当光波波法线方向垂直于光轴(z轴)时，晶体内允许两个线偏振光传播存在两种传播状态：一、 平行于光轴方向，折射率为ne；二、 垂直于光轴与波法线方向，折射率为no。 xynononezxznonone第90页，共111页。当光波法线与光轴呈 角时，晶体内允许存在的两个

31、光波的 之一与光轴正交，即平行于xy平面，相应的折射率为n1=no，另外一个与光轴夹角为90 ，相应的折射率为： xznononexynononez第91页，共111页。二、波矢面由折射率椭球确定光波 对应的折射率并不直观，因此又提出折射率曲面的概念。因为对任意 有两个允许的 方向，对应两个折射率n1和n2，以O为波矢的原点，在 方向画出长度等于n1和n2的矢径，即 ，此处的n表示n1和n2。当 取空间所有方向， 和 的末端便在空间画出两个曲面双壳层曲面。此双壳层曲面称为折射率曲面。 O第92页，共111页。由定义 得：x=nkx、y=nky、z=nkz此式为折射率曲面方程，它是一个双壳层曲面

32、。 对单轴晶体来说，此双壳层曲面一个是球面，另一个是椭球面。 第93页，共111页。三、光线面(一)、光线方程是晶体光学性质的基本方程光线折射率nr也是晶体光学性质的基本方程光线方程是主光线速度第94页，共111页。(二)、光线面方程 定义矢径：光线方程光线面方程 该方程表示一个双层曲面，比较复杂。 第95页，共111页。(三)、光线面与法线面的几何关系O该点的轨迹画出光线面该点的轨迹画出法线面PzOxP法线面光线面 通过光线面上任一点P作光线面的切线，在由原点O向该切线引垂线OP，则OP为相应光线OP的波法线方向，P的轨迹即法线面。 反之，通过法线面上任一点P作其波法线的垂足平面，则所有垂足平面之包络面即为光线面。 第96页，共111页。15.4 平面光波在晶体界面上的反射和折射 (Reflection and refraction