4(1)定积分的概念与性质课件

1、第四章 一元函数积分 定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分.思想方法.1第1页，共41页。第五章 定积分基本要求 理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法.2第2页，共41页。第一节 定积分的概念与性质定积分的定义可积函数类小结 思考题 作业 定 积 分定积分的性质*definite integral3第3页，共41页。(1).曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题求由连续曲线一、定积分的定

2、义抽象出来的, 现举两例.定积分的概念与性质1. 实例4第4页，共41页。用矩形面积梯形面积（五个小矩形）（十个小矩形）思想以直代曲显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积5第5页，共41页。 采取下列四个步骤来求面积A.(1) 分割(2) 取近似定积分的概念与性质长度为为高的小矩形,面积近似代替6第6页，共41页。(3) 求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4) 求极限为了得到A的精确值,取极限,形的面积:分割无限加细,定积分的概念与性质极限值就是曲边梯7第7页，共41页。(2).求变速直线运动的路程思想以不变代变设某物体作直线运动,已知

3、速度是时间间隔的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.思路把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值定积分的概念与性质8第8页，共41页。(1) 分割(3) 求和(4) 取极限路程的精确值(2) 取近似定积分的概念与性质表示在时间区间内走过的路程.某时刻的速度9第9页，共41页。2、定积分的定义设函数f (x)在a,b上有界,在a,b中任意插入定义若干个分点把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为在各小区间上任取一点作乘积并作和记如果不论对(1)(2)(3)(4)上两例共同点:2) 方法

4、一样;1) 量具有可加性,3) 结果形式一样.定积分的概念与性质10第10页，共41页。被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分.定积分的概念与性质积分下限积分上限积分变量a,b积分区间也称函数 f(x)在区间a,b上黎曼可积.11第11页，共41页。(2) 的结构和上、下限, 今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质有关;注无关.而与积分变量的记号无关.12第12页，共41页。曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值(1).

5、几何意义定积分的概念与性质3、定积分的几何意义和物理意义13第13页，共41页。几何意义定积分的概念与性质各部分面积的代数和.取负号.它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条直线 x =a, x = b之间的在 x 轴上方的面积取正号;在 x 轴下方的面积14第14页，共41页。例解(2). 物理意义t = b所经过的路程 s.oxy作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻定积分的概念与性质定积分表示以变速15第15页，共41页。定理1定理2或记为 黎曼 德国数学家(18261866)二、可积函数类可积.且只有有限个可积.当函数的定积分存在时,可积.黎曼可积,第一类间断点,充分条件定积分

6、的概念与性质16第16页，共41页。勒贝格(Lebesgue)定理定理3定积分为a,b上的积分上限函数.设f (x)在a,b中可积,则对任一点以后再研究其性质.17第17页，共41页。对定积分的补充规定说明定积分的概念与性质三、定积分的基本性质在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小18第18页，共41页。证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质1定积分的概念与性质且19第19页，共41页。证性质2性质1和性质2称为定积分的概念与性质线性性质.且20第20页，共41页。 补充例 (定积分对于积分区间具有可加性)则性质3定积分的概念与性质假设的相对位置如何,上式总成

7、立.不论且21第21页，共41页。证性质4性质5定积分的概念与性质则(保序性)22第22页，共41页。性质5的推论1证定积分的概念与性质则于是性质5如果在区间则23第23页，共41页。思考比较下列积分的大小.(1)(2)(3)(4)(5)定积分的概念与性质24第24页，共41页。证说明性质5的推论2定积分的概念与性质性质5如果在区间则可积性是显然的.由推论125第25页，共41页。证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质6分别是函数最大值及最小值.则定积分的概念与性质(估值定理)26第26页，共41页。例3估计定积分的值.定积分的概念与性质27第27页，共41页。性质7 (积分第一中值定理)

8、设函数则至少存在一点提示:即得积分中值定理.定积分的概念与性质28第28页，共41页。证由闭区间上连续函数的介值定理:性质8(定积分中值定理）定积分的概念与性质如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点 使下式成立:积分中值公式至少存在一点 使即29第29页，共41页。定理用途 注定积分的概念与性质性质8(定积分中值定理）如果函数在闭区间连续,则在积分区间至少存在一点 使下式成立:1.无论从几何上, 还是从物理上, 都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如何去掉积分号来表示积分值.2. 事实上30第30页，共41页。积分中值公式的几何解释至少存在一点 在区间使得以区间为底边,以曲线

9、为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积.定积分的概念与性质31第31页，共41页。解例4定积分几何意义求电动势在一个周期上的平均值定积分的概念与性质32第32页，共41页。例5若函数上连续,且且定积分的概念与性质证明:上命题等价于:则33第33页，共41页。推论1若则推论2若则定积分的概念与性质34第34页，共41页。例6证由积分中值定理有(a为常数)定积分的概念与性质35第35页，共41页。Cauchy-Schwarz不等式考虑:第五章 定积分 习题课例736第36页，共41页。3. 定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用)4. 典型问题(1) 估计积分值;(2) 不计算定积分比较积分大小.六、小结1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.2. 定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变.四步曲:分割、取近似、求和、取极限.思想方法定积分的概念与性质37第37页，共41页。思考题1证 夹逼定理即得定积分的概念与性质38第38页，共41页。思考题2解由定积分几何意义可知定积分的概念与性质用定积分的几何意义计算并求所围成图形的面积(如图).图形,39第39页，共41页。定积分的概念与