工程力学弯曲变形教学课件

1、第十二章 弯曲变形12-1 引言 研究弯曲变形的目的：1.建立梁的刚度条件；2.求解静不定梁；3.利用弯曲变形挠曲轴（线）：梁弯曲变形后的轴线。度量弯曲变形有两个量：挠度和转角第1页，共34页。一、挠度（w）：横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的线位移（mm) 。挠曲轴方程：向上的挠度向下的挠度二、转角（ ）：横截面的角位移，也等于挠曲轴在该截面处的切线与x 轴的夹角（rad)。转角方程：逆转顺转挠曲轴是挠度方程的函数曲线 第2页，共34页。三、挠度与转角的关系在小变形下第3页，共34页。12-2 挠曲轴近似微分方程 纯弯曲：非纯弯曲：（略去剪力对梁变形的影响）由高数知识可知，平面曲线 上

2、任一点的曲率为 挠曲轴微分方程第4页，共34页。在小变形下 远小于1，挠曲轴方程简化为挠曲轴近似微分方程 近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。 第5页，共34页。12-3 积分法求弯曲变形C、D 为积分常数，由以下两类条件确定：1.边界条件：梁截面的已知位移条件或位移约束条件。如： 固定端截面铰支座截面弯曲变形对称截面2.光滑连续条件：挠曲轴是一条光滑连续的曲线，任一截面的挠度和转角只有一个确定的值。转角方程挠曲轴方程第6页，共34页。 例：图示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力F 的作用，试求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。 解：(1)选取坐标系如图

3、所示，梁的弯矩方程为 挠曲轴近似微分方程 转角方程 挠曲轴方程 第7页，共34页。在固定端A，转角和挠度均应等于零，即 确定积分常数 第8页，共34页。（4)梁的挠曲轴方程和转角方程分别为梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B 处 确定最大挠度和最大转角 第9页，共34页。 例：简支梁AB如图所示（图中a b），承受集中载荷F作用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定挠度的最大值。 解： 列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（0 xa）CB段（a xl） 第10页，共34页。积分转角方程 挠曲轴方程 AC段（0 xa）CB段（a xl） 挠曲轴近似微分方程 弯矩方程 第1

4、1页，共34页。 确定积分常数 解得： 第12页，共34页。挠曲轴方程 AC段（0 xa）CB段（a xl） 转角方程 挠曲轴方程 转角方程 第13页，共34页。 确定最大挠度所以转角为零的点在AC 段 第14页，共34页。12-4 叠加法求弯曲变形积分法：优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定 某些特定截面的转角和挠度，而并不需求出转角和挠度 的普遍方程时，积分法就显得过于累赘；另外，当梁上 同时作用多个荷载时，采用积分法需确定多个积分常数。 叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。 应用前提：（1）线弹性范围内的小变形； （2）内力、应力和变形

5、与载荷成线性关系。 工 具：附录D 注 意： （1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号； （2）转角函数可由挠度函数微分一次得到。第15页，共34页。例：图示简支梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F作用，试用叠加法计算截面C的挠度。设梁的弯曲刚度EI为常值。解：查附录D，均布载荷q单独作用时集中载荷F单独作用时截面C的挠度：第16页，共34页。逐段刚化叠加例：外伸梁所受载荷及尺寸如图示，弯曲刚度EI已知。试求截面C的挠度。解：将该梁看作是由简支梁AB和固定在截面B的悬臂梁BC组成。1. 将BC刚化，分析简支梁AB的变形，将分布载荷q平移到B截面，B截面的转角为C截面相应的挠度为第17页

6、，共34页。2.将AB刚化，分析悬臂梁BC的变形。C截面相应的挠度为C截面的总挠度为第18页，共34页。 例：悬臂梁在BC段作用集度为q 的均布载荷，设弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。 第19页，共34页。解：第20页，共34页。12-5 简单静不定梁静不定梁（超静定梁） 梁的约束力的个数超过了静力平衡方程数目，即成为静不定梁。 多余约束和多余约束力 在静不定梁中，凡是多于维持平衡所必须的约束称为多余约束，与其相应的约束力称为多余约束力。多余约束力的数目就是静不定的度数。 第21页，共34页。相当系统 将多余约束用相应的多余约束力代替，得到的受力与原静不定梁相同的梁，称

7、为原静不定梁的相当系统。 求解静不定梁的步骤：画出原静不定梁的相当系统列出相当系统的变形协调条件求出多余约束力计算梁的内力、应力和变形等相当系统第22页，共34页。图示一度静不定梁，去掉B处可动铰链约束，得其相当系统相当系统的变形协调条件为由叠加法求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形，并可校核其强度和刚度。第23页，共34页。建立静力平衡方程 解得： 求出多余约束力后，就可像静定梁一样进行内力、应力和变形等计算。第24页，共34页。注意：多余约束的选择并不是唯一的，上面讨论的静不定梁，也可用解除固定端对截面转动约束的方法求解，则其变形协调条件为 解得： 第25页，共34页。建立静力

8、平衡方程 解得： 求解静不定梁的关键是正确列出其相当系统的变形协调条件第26页，共34页。 例：悬臂梁承受集中载荷F 作用，因其刚度不够，用杆CB 加固。试计算梁AB 的最大挠度的减少量。设梁与杆的长度均为l ，梁的弯曲刚度与杆的拉压刚度分别为EI与EA，且A = 3I/l2。 解：将加固梁B 处的约束解除，用相应的约束力FR 代替变形协调条件 第27页，共34页。解得： 加固梁的最大挠度 未加固梁的最大挠度 第28页，共34页。一、梁的刚度条件 式中 和为规定的许用挠度和转角。 12-6 梁的刚度条件及合理刚度设计第29页，共34页。例：如图，若F1=20kN，F2=10kN，a=1m，l=

9、2m，E=200GPa，梁B处的许用转角= ，试根据刚度条件确定该外伸梁的直径d。 解：1. 根据叠加法求得梁B处的转角 第30页，共34页。2. 根据刚度条件 得 所以 第31页，共34页。 例：简支梁跨中承受集中载荷F = 35kN。已知跨度l = 4m，许用应力=160MPa，许用挠度=l /500，弹性模量E = 200GPa，试选择工字钢型号。解： 按强度条件选择工字钢型号 按刚度条件选择工字钢型号 查表，应选择No.22a工字钢。 第32页，共34页。二、梁的合理刚度设计 1.选择合理的截面形状( I )2.合理选择材料( E ) 影响梁刚度的截面几何性质是惯性矩，所以合理截面形状是截面面积较小而惯性矩大的截面。 影响梁刚度的材料性能是弹性模量，所以选择弹性模量大的材料。第33页，共34页。3.梁的合理加强4.梁跨度的选取(