一轮复习北师大版 36 空间向量及其运算 作业

1、课时质量评价(三十六)A组全考点巩固练1已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 Beq f(14,5)Ceq f(14,3) D2D解析：ab(2,1,3)(，2，)(2,12，3)，a(2,1,3)若a(ab)，则2(2)123(3)0，解得2故选D2(2022江西新余月考)已知a(t,12，3)，b(2，t2,1)，若ab，则实数t的值为()A5 B6 C4 D3B解析：因为a(t,12，3)，b(2，t2,1)，且ab，所以存在实数，使得ab，即(t,12，3)(2，t2,1)，所以eq blcrc (avs4alco1(t2，,12(t2)，,3，)

2、解得eq blcrc (avs4alco1(3，,t6.)故选B3如图，在三棱锥OABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且eq o(PD,sup7()2eq o(DQ,sup7()若记eq o(OA,sup7()a，eq o(OB,sup7()b，eq o(OC,sup7()c，则eq o(OD,sup7()()Aeq f(1,6)aeq f(1,3)beq f(1,3)c Beq f(1,3)aeq f(1,3)beq f(1,3)cCeq f(1,3)aeq f(1,6)beq f(1,3)c Deq f(1,3)aeq f(1,3)beq f(1,6)cA解析：

3、eq o(OD,sup7()eq o(OP,sup7()eq o(PD,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq o(PQ,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)(eq o(OQ,sup7()eq o(OP,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq o(OQ,sup7()eq f(2,3)eq o(OP,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq f(1,2)(eq o(OB,sup7()eq o(OC,sup7()eq f(2,3)eq

4、f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,6)eq o(OA,sup7()eq f(1,3)eq o(OB,sup7()eq f(1,3)eq o(OC,sup7()eq f(1,6)aeq f(1,3)beq f(1,3)c故选A4已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)A解析：对于选项A，eq o(MP,sup7()(1,4,1)，所以eq o(MP,sup7()n61260，所以eq o(MP,sup7()n，所以点P在平面内，同理可验证其他

5、三个点不在平面内故选A5如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()Aeq r(3) Beq r(2) C1 Deq r(3r(2)D解析：因为eq o(BD,sup7()eq o(BF,sup7()eq o(FE,sup7()eq o(ED,sup7()，所以|eq o(BD,sup7()|2|eq o(BF,sup7()|2|eq o(FE,sup7()|2|eq o(ED,sup7()|22eq o(BF,sup7()eq o(FE,sup7()2eq o(FE,sup7()eq o(ED,sup7()2eq o(BF,s

6、up7()eq o(ED,sup7()111eq r(2)3eq r(2)，故|eq o(BD,sup7()|eq r(3r(2)6(多选题)设几何体ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则下列结论正确的是()Aeq o(A1B1,sup7()eq o(AC,sup7()a2 Beq o(AB,sup7()eq o(A1C,sup7()eq r(2)a2Ceq o(CD,sup7()eq o(AB1,sup7()a2 Deq o(AB,sup7()eq o(A1O,sup7()eq f(1,2)a2ACD解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a

7、，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)，B1(a，a，a)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，f(a,2)，所以eq o(A1B,sup7()1(0，a,0)，eq o(AC,sup7()(a，a,0)，eq o(AB,sup7()(0，a,0)，eq o(A1C,sup7()(a，a，a)，eq o(CD,sup7()(0，a,0)，eq o(AB,sup7()1(0，a，a)，eq o(A1O,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，f(a,2)所以eq o(A1B1,sup7()e

8、q o(AC,sup7()a2，故A对；eq o(AB,sup7()eq o(A1C,sup7()a2，故B错；eq o(CD,sup7()eq o(AB,sup7()1a2，故C对；eq o(AB,sup7()eq o(A1O,sup7()eq f(1,2)a2，故D对故选ACD7已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VAVBVCVD，eq o(VP,sup7()eq f(1,3)eq o(VC,sup7()，eq o(VM,sup7()eq f(2,3)eq o(VB,sup7()，eq o(VN,sup7()eq f(2,3)eq o(VD,sup7()则VA与平面PMN的位置关系是_平

9、行解析：如图，设eq o(VA,sup7()a，eq o(VB,sup7()b，eq o(VC,sup7()c，则eq o(VD,sup7()acb，由题意知eq o(PM,sup7()eq f(2,3)beq f(1,3)c，eq o(PN,sup7()eq f(2,3)eq o(VD,sup7()eq f(1,3)eq o(VC,sup7()eq f(2,3)aeq f(2,3)beq f(1,3)c因此eq o(VA,sup7()eq f(3,2)eq o(PM,sup7()eq f(3,2)eq o(PN,sup7()，所以eq o(VA,sup7()，eq o(PM,sup7()，e

10、q o(PN,sup7()共面又VA平面PMN，所以VA平面PMN8已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1，4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得eq o(OE,sup7()b？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由(O为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|eq r(02(5)252)5eq r(2)(2)令eq o(AE,sup7()teq o(AB,sup7() (tR)，所以eq o(OE,sup7()eq o(OA,sup7()eq o(AE,sup7()eq o(OA,sup7()

11、teq o(AB,sup7()(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)若eq o(OE,sup7()b，则eq o(OE,sup7()b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得teq f(9,5)因此存在点E，使得eq o(OE,sup7()b，此时点E的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)，f(14,5)，f(2,5)9如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为棱AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解：(方法一)因为CC平面ABC且CACB，所以以点C为原点，分别以CA，CB，CC所

12、在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系令ACBCAA2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A(2,0,2)，B(0,2,2)，E(0,2,1)，D(1，1,0)(1)证明：eq o(CE,sup7()(0,2,1)，eq o(AD,sup7()(1,1，2)因为eq o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()0220，所以eq o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()，所以CEAD(2)解：因为eq o(AC,sup7()(2,0,2)，所以coseq o(CE,sup7()，eq o(AC,sup7()eq f(o(CE,sup7()o(

13、AC,sup7(),|o(CE,sup7()|o(AC,sup7()|)eq f(2,r(5)r(8)eq f(r(10),10)，即异面直线CE与AC所成角的余弦值为eq f(r(10),10)(方法二)设eq o(CA,sup7()a，eq o(CB,sup7()b，eq o(CC,sup7()c，根据题意得|a|b|c|，且abbcca0(1)证明：eq o(CE,sup7()beq f(1,2)c，eq o(AD,sup7()eq o(CD,sup7()eq o(CA,sup7()eq f(1,2)(eq o(CA,sup7()eq o(CB,sup7()(eq o(CA,sup7()

14、eq o(AA,sup7()eq f(1,2)eq o(CA,sup7()eq f(1,2)eq o(CB,sup7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)aeq f(1,2)bc，所以eq o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()eq f(1,2)abeq f(1,2)b2bceq f(1,4)aceq f(1,4)bceq f(1,2)c20，所以eq o(CE,sup7()eq o(AD,sup7()，即CEAD(2)解：因为eq o(AC,sup7()ac，|eq o(AC,sup7()|eq r(2)|a|，|eq o(CE,sup7()|eq f(r(5),2)

15、|a|，eq o(AC,sup7()eq o(CE,sup7()(ac)eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)c)eq f(1,2)c2eq f(1,2)|a|2，所以coseq o(AC,sup7()，eq o(CE,sup7()eq f(o(AC,sup7()o(CE,sup7(),|o(AC,sup7()|o(CE,sup7()|)eq f(f(1,2)|a|2,r(2)f(r(5),2)|a|2)eq f(r(10),10)，即异面直线CE与AC所成角的余弦值为eq f(r(10),10)B组新高考培优练10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段

16、BD1上运动，则eq o(DC,sup7()eq o(AP,sup7()的取值范围是()A(0,1) B0,1)C0,1 D1,1C解析：如图所示，由题意，设eq o(BP,sup7()eq o(BD1,sup7()，其中0,1，eq o(DC,sup7()eq o(AP,sup7()eq o(AB,sup7()(eq o(AB,sup7()eq o(BP,sup7()eq o(AB,sup7()(eq o(AB,sup7()eq o(BD1,sup7()eq o(AB,sup7()2eq o(AB,sup7()eq o(BD1,sup7()1eq r(3)eq blc(rc)(avs4alc

17、o1(f(r(3),3)10,1因此eq o(DC,sup7()eq o(AP,sup7()的取值范围是0,111如图，斜线段AB与平面所成的角为eq f(,4)，B为斜足平面上的动点P满足PABeq f(,6)，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线的一部分 D抛物线的一部分B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y,0)eq o(AB,sup7()(0,1，1)，eq o(AP,sup7()(x，y，1)coseq o(AB,sup7()，eq o(AP,sup7()eq f(y1,r(2)r(x2y21)eq f(r(3),2)3x2(y2)2

18、3，所以点P的轨迹是椭圆故选B12(多选题)已知空间向量a(2，1,1)，b(3,4,5)，则下列结论正确的是()A(2ab)aB5|a|eq r(3)|b|Ca(5a6b)Da与b夹角的余弦值为eq f(r(3),6)BCD解析：对于A，因为2ab(1,2,7)，所以eq f(1,2)eq f(2,1)eq f(7,1)，A错误；对于B，因为|a|eq r(411)eq r(6)，|b|eq r(91625)5eq r(2)，所以5|a|eq r(3)|b|5eq r(6)，B正确；对于C，因为a(5a6b)5a26ab306(645)0，所以a(5a6b)，C正确；对于D，因为ab6455

19、，所以cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(5,r(6)5r(2)eq f(r(3),6)，D正确故选BCD13(多选题)(2021广东梅州二模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA13，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)若D1MMN，则下列命题正确的是()AMNA1MBMN平面D1MCC线段BN长度的最大值为eq f(3,4)D三棱锥C1A1D1M体积不变ACD解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3

20、,0)设M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z(0,3)，eq o(D1M,sup7()(3，y，3)，eq o(MN,sup7()(0,3y，z)，而D1MMN，则eq o(D1M,sup7()eq o(MN,sup7()y(3y)3z0zeq f(1,3)y(3y)对于A选项，eq o(A1M,sup7()(0，y，3)，则eq o(A1M,sup7()eq o(MN,sup7()y(3y)3z0eq o(A1M,sup7()eq o(MN,sup7()，MNA1M，A正确；对于B选项，eq o(CM,sup7()(3，y3,0)，eq o(CM,sup7()eq o(MN,sup7(

21、)(y3)(3y)(3y)20，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项：eq o(BN,sup7()(0,0，z)，则线段BN长度|eq o(BN,sup7()|zeq f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(yf(3,2)eq sUP12(2)f(9,4)eq f(3,4)，当且仅当yeq f(3,2)时等号成立，C正确；对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而VC1A1D1MVMA1D1C1eq f(1,3)3SA1D1C1eq f(9,2)，三棱锥C1A1D1M体积为定值，即D正确故

22、选ACD14(2022河南濮阳一模)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，MN是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，eq o(PM,sup7()eq o(PN,sup7()取值范围是_0, 8解析：当弦MN的长度最大时，弦过球心O，如图，建立空间直角坐标系，不妨设M，N是上下底面的中心，则M(2,2,4)，N(2,2,0)，P(x，y，z)，eq o(PM,sup7()(2x,2y,4z)，eq o(PN,sup7()(2x,2y，z)，则eq o(PM,sup7()eq o(PN,sup7()(2x)2(2

23、y)2z(4z)(x2)2(y2)2(z2)24，而(x2)2(y2)2(z2)2表示点P(x，y，z)和定点(2,2,2)距离的平方，很显然正方体的顶点到定点(2,2,2)距离的平方最大，最大值是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)r(424242)eq sUP12(2)12正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是4所以eq o(PM,sup7()eq o(PN,sup7()的最小值是440，最大值是124815如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_eq f(r(

24、7),2)解析：以点O为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则A(0，1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，eq r(3)，Meq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(r(3),2)设P(x，y,0)，所以eq o(AM,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(r(3),2)，eq o(MP,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(x，y，f(r(3),2)由eq o(AM,sup7()eq o(MP,sup7()yeq f(3,4)0，得yeq f(3,4)，所以点P的轨迹方程为yeq f(

25、3,4)根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)eq sUP12(2)eq f(r(7),2)16在(eq o(DE,sup7()eq o(CF,sup7()(eq o(DE,sup7()eq o(CF,sup7()，|eq o(DE,sup7()|eq f(r(17),2)，0coseq o(EF,sup7()，eq o(DB,sup7()1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题问题：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz已知点D1的坐标为(0,0,2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，_，试问是否存在点E，F满足EFA1C？若存在，求eq o(AE,sup7()eq o(BF,sup7()的值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：由题意，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，C(0,2,0)，设E(0，a,2)(0a2)，F(b,2,2)(0b2)，则eq o(EF,sup7()(b,2a,0)，eq o(A1C,sup7()(2,2，2)，