2021-2022学年甘肃省兰州市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

1、2021-2022学年甘肃省兰州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1已知向量，则（）A3BC5DD【分析】利用平面向量的模长公式.【详解】，故A，B，C错误.故选：D.2已知复数（i是虚数单位），则（）ABCDA【分析】由复数的乘法运算和除法运算化简复数，再由共轭复数即可得出答案.【详解】复数，则.故选：A.3若，则直线，的位置关系是（）A平行或异面B平行或相交C相交或异面D平行、相交或异面D【分析】利用条件，联系立方体即可得出结论.【详解】解：如图所示，设平面为平面若，故，相交；若，故，异面；若，故，平行.故选：D4在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正

2、面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A0.48，0.48B0.5，0.5C0.48，0 .5D0.5，0.48C【分析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.故选：C.5已知，则（）ABCDB【分析】根据二倍角公式展开，上下同除，代数计算，即可得答案.【详解】由题意得，故选：B.6在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（）ABCDB【分析】根据向

3、量平行列方程，结合正弦定理求得正确答案.【详解】由于，所以，由正弦定理得，由于，所以，所以，由于，所以.故选：B7如图，已知四棱锥，底而ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成角的余弦值为（）ABCDD【分析】取AB的中点F，连接FC，FM，通过平移的方法，找出异面直线CM与AE所成角或其补角，然后解三角形求得答案.【详解】如图，取AB的中点F，连接FC，FM，因为底面ABCD是边长为2的正方形，E是CD的中点，所以，且， 所以异面直线CM与AE所成的角为FCM或其补角，四棱锥的侧棱相等且为4，在MAB中，由勾股定理得，在MCF中，由余弦定理得，所

4、以异面直线CM与AE所成角的余弦值为，故选：D8如图，在中，点C满足，点P为OC的中点，过点P的直线分别交线段OA，OB于点M，N，若，则的值为（）A3B4C5D6D【分析】先由向量的线性运算得，再由得，由三点共线即可求解.【详解】由题意得，则，又，则，则，又三点共线，则，即.故选：D.二、多选题9下列命题中，正确的是()A若，则或B若，且，则或C若与平行，则D若不平行的两个非零向量、，满足，则BD【分析】A：根据向量垂直，数量积为零即可判断；B：根据向量数乘的性质即可判断；C：根据向量平行概念和数量积概念即可判断；D：根据向量运算律即可判断【详解】对于A，若，则或或，故A错误；对于B，若，且

5、，则或，故B正确；对于C，若与平行，则，故C错误；对于D，若不平行的两个非零向量、，满足，则，故D正确故选：BD10下列化简正确的是（）ABCDACD【分析】根据余弦的二倍角公式，以及特殊角的三角函数值，即可判断A，B是否正确；利用两角和的正切公式以及特殊角的三角函数值，即可判断C，D是否正确.【详解】，故A正确；，故B错误；，故C正确；因为，所以，即，故D正确.故选：ACD.11关于函数，下列结论正确的有（）A函数有最小值B存在有时，成立C函数在区间上单调递增D函数的图象关于点成中心对称ABC【分析】根据题意得，再根据正弦型函数性质判断即可.【详解】，当时，有最小值为，故A正确；设，所以，所

6、以，故B正确；因为，所以，所以函数在区间上单调递增，故C正确；当时，故D错误.故选：ABC.12棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（）A与是异面直线B与所成角为C平面平面D若，则点的运动轨迹长度为BCD【分析】由展开图还原正方体，根据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.【详解】由展开图还原正方体如下图所示，对于A，四边形为平行四边形，与是共面直线，A错误；对于B，与所成角即为，为等边三角形，即与所成角

7、为，B正确；对于C，平面，平面，；又，平面，平面，又平面，平面平面，C正确；对于D，由正方体性质可知平面，取中点，连接，则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，点的轨迹长度为，D正确.故选：BCD.三、填空题13已知平面向量，的夹角为120，且.若，则_.11【分析】根据数量积公式，可得的值，由题意得，展开计算，即可得答案.【详解】因为平面向量，的夹角为，且，所以，因为，所以，所以，解得，故11.14在复平面内，复数对应的点位于直线上，则_.-0.5【分析】化简复数，并将其对应的点代入，解方程可得【详解】，又复数对应的点位于直线上，解得.故答案为.15已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公

8、司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为_.0.15【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，甲和丙被录取的概率为，乙和丙被录取的概率为则他们三人中恰有两人被录取的概率为，故答案为.16在三棱锥中，则该三棱锥外接球的表面积为_.【分析】作且交于E，根据已知条件可得的外接球即为的外接球，连接，应用勾股定理、线面垂直的判定可得面、面，再由线面

9、垂直的性质有、，则两两垂直，进一步得到的外接球即长宽高分别为的长方体的外接球，即可求外接球的面积.【详解】由题设，为等腰直角三角形，作且交于E，所以为边长为4的正方形，则的外接球即为的外接球，连接，又即，而，故面，又面，所以，即，在中，又故，所以，而且，故面，又面，所以，即，综上，两两垂直，则的外接球即长宽高分别为的长方体的外接球，所以的外接球半径，则外接球的表面积为.故答案为.关键点点睛：作且交于E，连接，应用勾股定理、正方形性质及线面垂直的判定和性质证明两两垂直，转化为求长方体的外接球面积.四、解答题17设向量满足，且与的夹角为.（1）求及的值；（2）求的值.（1）；（2）.【分析】（1）

10、根据向量数量积的定义和向量运算规则求解即可；（2）根据（1）所求的向量数量积计算向量的模即可得出答案.【详解】（1）依题意，；（2）根据（1）中可得，.18已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求a的值(1)(2)【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，求出即可；（2）由三角形面积公式得，再由余弦定理即可得结果.【详解】(1)由正弦定理得，即，由于，所以，由于，所以.(2)由 可得： ，由余弦定理得：，19如图，在四棱锥中，面平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，满足，点G在线段PC上，且.(1)求证：；(2)求证：PA平面BDG.(1)证明

11、见解析(2)证明见解析【分析】（1）由结合面面垂直的性质证得面PCD，即可证得；（2）连接交于点，先由相似得，再结合得，即可证得PA平面BDG.【详解】(1)由，可得，又面平面ABCD，面平面ABCD，平面，则面，又面，则；(2)连接交于点，连接，由梯形中，得，又，面，面，PA平面BDG.20甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（1）（2）首先用列举法，求得甲、乙两人各抽一题的所有可能情况.（1）根据上述分析，分别求得“甲抽到判断题

12、，乙抽到选择题”和“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率，然后根据互斥事件概率加法公式，求得“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率.（2）根据上述分析，求得“甲、乙两人都抽到判断题”的概率，根据对立事件概率计算公司求得“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题” 的概率.【详解】把3个选择题记为，2个判断题记为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有，共2种.因此基本事件的总数为.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则.记“甲抽到

13、判断题，乙抽到选择题”为事件B，则，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为.（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为.本小题主要考查互斥事件概率计算，考查对立事件，属于基础题.21如图，在三棱柱中，为的中点，点在平面内的射影在线段上. (1)求证：；(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.（1）见证明；(2) 【分析】（1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可（2）法一：计算，结合和，即可法二 :计算，结合，计算体积，即可法三：结合，计算结果，即可【详解】(1)证明：设点在平面

14、内的射影为，则，且，因，所以.在中，则，在中，则，故，故.因，故.(2)法一、，由(1)得，故是三棱锥的高，是正三角形，故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为. 法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，故，故，由(1)得，故是四棱柱的高，故， 故，故三棱柱的体积为.法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分记到平面的距离为，由得，即，为的中点，故到平面的距离为， .故三棱柱的体积为.本道题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大22请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.；的面积为；.在中，内角，的对边分别是，若_.（1）求角；（2）若，求的取值范围.条件选择见解析