组合数学往年试题及答案

1、电子科技大学试题时间：2005对象：科目：组合数学班级：错误！未找到源。填空题（每空 3 分，共 30 分）1 在 100 到 999 之间的整数中，有个整数恰含数字 2 两次；有 个整数恰含数字 2 一次。2有 3 个和 3 个男生共 6 人，则(1) 若 6 个人围圆桌就坐，且全坐在一起，其入座方式有种；(2) 若 6 个人坐成一排，满足条件“男生A 和男生 B 之间恰有两个座位，且这两个座位全坐”，则其入座方式有种。3把n 个不同的球放入m 个有区别的盒子中，没有一个盒子为空的方式数为。4将正整数 n 拆分为不超过 k 个数之和的拆分数的母函数为。 5335方程的整数解的个数为。 06.

2、 将单词needless中的所有字母作排列，其排列方式数有种；其中所有e均不相邻的排列方式数有种。（两问均只要求给出解的表达式，不必算出最终结果）。7. 已知序列 an 的指数母函数为 e3x ，则 an 的普通母函数（求和后的形式）f(x) = 。源。、（共 12 分）解下列递推（归）关系。错误！未找到 aa 6a3n(n2)n 1n 2n a 29 ,3a015组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页三、（共 12 分）试用母函数法解下列递推（归）关系。 an 2an1 n 1( n 1) a 2 0四、（共 10 分） 在一个边长为 r 的正六边形内或边上任取 8 个点，证明：在这 8 个

3、点中，必有两个点的距离小于 r。五、(共 12 分)求重集 B a,4 b,5 c,7 d 的 12-组合数。错误！未找到源。、(共 12 分)在一周之内（一至五）安排 5 位教师 A, B, C, D, E答疑，每位教师安排一天，每天安排一位教师。但要求 A 不安排在五，B 不安排在星期四和五，C 不安排在三，D 不安排在二，E 不安排在一和二。问有多少种不同的安排方案？七、(共 12 分) 若在三天之内（一至三）安排 n（n3）位教师答疑，每位教师安排一天，每天至少安排一位教师。设不同的安排方案数为 an，试用母函数法求 an。组合数学试题 共 5 页 ，第 2 页电子科技大学试题时间：2

4、005对象：科目：组合数学源。填空题（每空 3 分，共 30 分）班级：错误！未找到18 + 29 =26，92 + 829 =2252（1）3！3！=36；（2）72i mm3 m!S2 (n, m) 或者(1)i0i(m i)n 61!8!5; 45.F(3,4)=156.1( k )3!2!2 37. 1/(1-3x)对应的齐关系的特征方程 x2-x-6=0有根 x1 = 3，共 12 分） 解错误！未找到源。（*nnx2 = -2。 故齐关系的通解为a =c 3 +c (-2)n12设特解 an = An3n，代入原关系：An3n -A(n-1) 3n-1-6A(n-2) 3n-2 =

5、 3nn3n1n3n135*anan +an = c13n+c2(-2)n +A =an =55c1 c2 3 2 1cn3n11an = 23n +(-2)n +由初值得92953c1 2c2 5 c25f(x) = a。由原关系：xn三、（共 12 分） 解令nn0(a)xn (n 1)xnn 12an n1n 1an12xan1xn1 (n 1)x nn1xnnn 1组合数学试题 共 5 页 ，第 3 页1 1f(x)-2 - 2xf(x) =(1 x) 2 111f(x) =(1 (1 (n 1)n0)n=n0n0(n 3 5 2n )xn=n0an =52n n - 3四（共 10

6、分） 证明 将正六边形分为 6 个全等的AB边长为 r 的正三角形,。显然所取的 8 个点中至少有 7 个点不和中心 O重合。去掉中心后, 正六边形内被划分为 6 个区域:OAB-OB, OBC-OC, OFA-OA。由鸽笼原理，不和中心重合的 7 点中必有两点位于同一个区域。而位于同一个区域中的两点的距离显然小于 r。FCOED五 (共 12 分) 解 设重集 B 的 n-组合数为an ，则序列 an 的普通母函数为2 xf (13 6 x7 )11 x51 x61 x81 x1 x1 x1 x11(8 x11 (1 x)4 1( 8 143 123 7 3 6 x 的系数为12220。33故所求的 12-组合数为 220。组合数学试题 共 5 页 ，第 4 页此题也可以用容斥原理解。错误！未找到源。(共 12 分)解 原问题可模型化为一个 5 元有禁位的排列.其禁区棋盘 C 如下图的阴影部分。由图,C 的棋盘多项式为12345A B C DE)2) (R(R(C)= R(= (1+x)(1+3x+x2)2= 1+7x+17x2+17x3+7x4+x5所以安排方案数为5! - 74! + 173! - 172! + 7-1 = 26即共有 26 种。七、(共 12 分)