高中数学选修第一册：空间向量与空间距离

1、PAGE 空间向量与空间距离（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知ABC的三个顶点的坐标为A(-1,0,1),B(1,3,5),C(-1,-1,1),则BC边上的中线AD的长为()A.6B.6C.3D.32.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.66aB.36aC.34aD.63a3.(2013开封高二检测)四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别为PB,PD的中点,则P到直线EF的距离为()A.1B.22C.32D.624.已知正方体ABCD-A1B1C

2、1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1到平面AEC1的距离为()A.6B.3C.2D.15.(2013石家庄高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线A1C1到平面ACD1的距离为()A.1B.33C.63D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013东莞高二检测)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,则AC1的长为.7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,ABCD且ADC=90,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是.

3、8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD1的距离是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形AEFD内一点,如果MBE=MBC,MB和平面BCFE所成的角的正切值为12,求点M到直线EF的距离.10.(2013济南高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求|BF|.(2)求点C到平面AEC1F的距离.11.(能力挑战题)如图所示

4、,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D平面ABD.(2)求证:平面EGF平面ABD.(3)求平面EGF与平面ABD的距离.答案解析1.【解析】选A.易知D(0,1,3),AD=(1,1,2),|AD|=6.2.【解析】选A.如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),M(a,0,a2),B(a,a,0),D(0,0,0)MA1=(0,0,a2),DM=(a,0,a2),DB=(a,a,0),设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则 QUOTE n

5、DM=ax+a2z=0,nDB=ax+ay=0, 令x=1,得n=(1,-1,-2)点A1到平面MBD的距离为 QUOTE |nMA1|n| =66a.【一题多解】由于M是AA1的中点,故A1与A到平面MBD的距离相等.又VA-MBD=VB-AMD,即13122a32ah=1312a2aa,解得h=66a.3.【解析】选D.建系如图,即P(0,0,2),E(1,0,1),F(0,1,1),EP=(-1,0,1),EF=(-1,1,0).EP在EF上的投影为|EPEF|EF|=12=22,点P到直线EF的距离为|EP|2-(22)2=62.4.【解题指南】先求平面AEC1的法向量,代入点面距公式

6、求解.【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系,则A(3,0,0),D1(0,0,3),E(0,32,0),C1(0,3,3),AE=(-3,32,0),AC1=(-3,3,3),D1C1=(0,3,0),设n=(x,y,z)为平面AEC1的法向量,则令x=1,得y=2,z=-1,n=(1,2,-1).D1到平面AEC1的距离为 QUOTE |D1C1n|n| =|(0,3,0)(1,2,-1)|6=6.5.【解析】选B.易知A1C1平面ACD1,则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建系如图,易知AA1=(0,0,1)平面ACD1的一个法向量为n=(1,1,1),

7、故所求的距离为 QUOTE |AA1n|n| =33.6.【解析】AC1=AB+AD+AA1,|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2ABAD+2ABAA1+2ADAA1=1+22+32+2|AB|AD|cos+2|AB|AA1|cos+2|AD|AA1|cos=14+212cos 90+213cos 60+223cos 60=23,|AC1|=23,即AC1=23.答案:237.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,23,0),E(0,3,1),A1(1,0,2),AB=(0

8、,23,0),BE=(-1,-3,1),设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则解得x=zy=0,取z=1,则n=(1,0,1).又易证A1B1平面ABE,所以A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,又AA1=(0,0,2),点A1到平面ABE的距离为 QUOTE |AA1n|n| =22=2.答案:28. 【解析】由AD1BC1,A1BD1C可证得平面A1BC1平面ACD1,建立如图所示的空间直角坐标系,AB=4,BC=3,CC1=2,则A1(3,0,2),B(3,4,0),C1(0,4,2),A(3,0,0).A1B=(0,4,-2),BC1=(-3,0,2).设平面A

9、1BC1的法向量为n=(x,y,z),则nA1B,nBC1,解得x=23zy=12z,取z=6,则n=(4,3,6),又AB=(0,4,0),则平面A1BC1与平面ACD1的距离为 QUOTE |ABn|n| =1242+32+62=126161.答案:1261619.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,作MNEF,垂足为N,则MN平面BCFE,连接BN,则MBN即为MB与平面BCFE所成的角,tanMBN=12,设M(0,y,z),0y2,0z1,则由题意可知N(0,y,0),而E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),BE=(-1,0,0),BC=(0,2,0),BM=(-1

10、,y,z),BN=(-1,y,0),MN=(0,0,-z),cosMBE=BMBE|BM|BE|=11+y2+z2,cosMBC=BMBC|BM|BC|=2y21+y2+z2=y1+y2+z2,tanMBN=|MN|BN|=z1+y2=12.MBE=MBC,y=1,z=22.因此点M到直线EF的距离为22.10.【解析】以D为原点,DA,DC,DF所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)设F(0,0,a),由AF=EC1,得(-2,0,a)=(-2,0,2),a=2.F(0

11、,0,2),BF=(-2,-4,2).|BF|=26.(2)设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,由 QUOTE nAE=0,nAF=0, 得4y+z=0,-2x+2z=0.取z=1,则n=(1,-14,1),又CC1=(0,0,3),C到平面AEC1F的距离d= QUOTE |CC1n|n| =43311.11.【解题指南】寻找条件中的三线两两垂直建立空间直角坐标系,正确地求出图中各点坐标,然后利用向量的坐标运算证明、求解.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),则B1(0,0,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,

12、2,2),G(a2,1,0).(1)B1D=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2).B1DAB=0+0+0=0,B1DBD=0+4-4=0.B1DAB,B1DBD.又ABBD=B,B1D平面ABD.(2)AB=(-a,0,0),BD=(0,2,-2).GF=(-a2,0,0),EF=(0,1,-1),GF=12AB,EF=12BD.GFAB,EFBD.又GFEF=F,ABBD=B,平面EGF平面ABD.(3)方法一:由(1)(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段.设B1H=B1D=(0,2,2),则EH=(0,2,2-1),EF=(0,1,-1).EH与EF共线,21=2-1-1,即=14,B1H=(0,12,12),HD=(0,32,32),|HD|=322.平面EG