《IIR滤波器设计》教学课件

1、第 4 章 IIR滤波器设计葛青第1页，共152页。4.1滤波器的概念及分类数字滤波器：通过对数字信号的运算处理，改变信号频谱，完成滤波作用的算法或装置。数字滤波器具有稳定、适应性强、线性相位等优点,避免了模拟滤波器固有的电压漂移、温度漂移和噪声等问题。第2页，共152页。 2.滤波原理线性时不变系统输入输出关系可用如下数学函数来描述 时域： 频域： 第3页，共152页。幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况（ 联系无失真传输条件） 2.滤波原理第4页，共152页。假定 和 如图（a）、（b）所示，则由上式可得出 的波形如图（

2、c）所示。滤波原理滤波后，输出 频率成分中 的部分被滤除掉了。设计不同形状的 ，就可以得到不同的滤波结果。 2.滤波原理第5页，共152页。滤波器的设计就是用一个因果稳定的线性移不变系统的系统函数去逼近理想滤波器的性能。数字滤波器设计:确定传输函数H(z)的过程。 滤波器的设计原理第6页，共152页。表征滤波器频率响应的特征参量（3个参量）（1）幅度平方响应：幅度的平方与频率的关系（2）相位响应（3）群延迟响应（物理意义）:相位对角频率的导数的负值。若滤波器通带内群延迟响应=常数，则为线性相位滤波器，联系无失真传输问题。第7页，共152页。无失真传输系统 如果系统响应仅是输入信号在时间上的延时

3、和幅度上的放大或缩小，就认为信号在传输过程中没有失真，这种系统称为无失真传输系统。无失真传输系统第8页，共152页。无失真传输系统第9页，共152页。 3.滤波器的分类分类标准可分类型处理信号的方式经典滤波器和现代滤波器处理信号的类型模拟滤波器和数字滤波器通过信号的频段低通、高通、带通和带阻滤波器实现方法模拟滤波器数字滤波器LC滤波器、螺旋滤波器、晶体滤波器、陶瓷滤波器、声表面滤波器、微带滤波器和有源滤波器等有限冲激响应滤波器无限冲激响应滤波器设计方法Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器和椭圆滤波器等第10页，共152页。经典滤波器：用于提取有用的信号，抑制不需要的干扰；或将

4、信号分成不同的频率成分；现代滤波：信号检测和信号估计经典滤波器和现代滤波器第11页，共152页。模拟和数字滤波器的理想幅频特性曲线 模拟滤波器幅频特性曲线数字滤波器幅频特性曲线第12页，共152页。 IIR(infinite impulse response):有限冲激响应滤波器,单位冲激响应h(n)是无限长序列 FIR(finite impulse response):无限冲激响应滤波器,单位冲激响应h(n)是有限长序列数字滤波器的分类第13页，共152页。IIR系统与FIR系统从系统函数的构造来区分IIR系统：至少有一个极点。包括全极点系统（分子只有常数项）和零极点系统（分子不止常数项）；

5、有反馈环路，采用递归型结构。FIR系统：收敛域内无极点，是全零点系统。无反馈环路，多采用非递归结构。第14页，共152页。IIR滤波器及FIR滤波器的系统函数有限冲激响应滤波器的传输函数为无限冲激响应滤波器的传输函数为不全为零第15页，共152页。4.数字滤波器的性能要求一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响应是一常数；相位频率相应为零或是频率的线性函数。但一个实际的滤波器要是不可能得到上述幅频和相频响应。以低通滤波器为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。第16页，共152页。4.数字滤波器的性能要求p：通带衰减 s：阻带衰减 p：通带截止频率s：阻带截止频率p-s ：过渡带 第17页，

6、共152页。 通带允许的最大衰减 阻带最小衰减： 4.数字滤波器的性能要求式中假定 被归一化为1第18页，共152页。按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法数字滤波器的设计过程第19页，共152页。数字滤波器的设计IIR滤波器设计主要内容包括：巴特沃思、切比雪夫模拟低通滤波器设计；脉冲响应不变法和双线性变换法的数字化变换方法；数字高通、带通和带阻滤波器的设计。而FIR滤波器是直接采用的数字式设计方法。针对FIR滤波器特征，首先介绍了

7、其线性相位的实现条件，然后介绍了窗函数法和频率抽样法的设计方法。第20页，共152页。 设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：1. 模拟滤波器:首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。2.直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。4.2 IIR数字滤波器的设计第21页，共152页。 IIR滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计过程中有两种不同的变换,频带变换和模拟

8、/数字变换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方法。 4.2 IIR数字滤波器的设计第22页，共152页。归一化模拟低通模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻模拟域频带变换双线性变换归一化模拟低通数字低通数字低通、高通、带通、带阻数字域频带变换或双线性变换冲激响应不变法其它非低通数字滤波器的设计过程第23页，共152页。IIR的设计方法借用模拟滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。设计步骤 将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤 波器的技术指标；根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器； 按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。第24页，共1

9、52页。4.2.1 模拟低通滤波器的设计常用模拟低通滤波器及其特点1.巴特沃思(Butterworth)滤波器: 特点是从通带中心向两边幅频特性单调下降；2.切比雪夫型I(Chebyshev)滤波器:通带内有等波纹幅频特性函数，阻带内有单调下降的幅频特性函数；3.切比雪夫型II(Chebyshev)滤波器:通带内有单调下降的幅频特性函数，阻带内有等波纹幅频特性函数；4.椭圆滤波器(又称考尔Cauer滤波器或双切比雪夫滤波器):通带和阻带内均有等波纹幅频特性；5.贝塞尔(Bessel)滤波器（又称最大平坦群时延滤波器）:在中心频率附近逼近线性相位特性；第25页，共152页。模拟滤波器的设计过程（

10、1）根据要求确定设计指标；（2）选择滤波器类型；（3）计算滤波器阶数；（4）通过查表或计算确定滤波器的系统 函数Ha(s);（5）综合实现并装配调试；第26页，共152页。4.2.1 模拟低通滤波器的设计1.巴特沃思低通滤波器（1）基本性质 巴特沃思滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。 N为滤波器阶数c为3dB截止频率巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示第27页，共152页。巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数第28页，共152页。巴特沃斯滤波器的主要特征 a.对所有的N: 即b. 是 的单调下降函数。c. 随着阶次N的增大而

11、更接近于理想低通滤波器。第29页，共152页。 归一化原型滤波器是指截止频率 已经归一化成 的低通滤波器。对于截止频率为 某个低通滤波器，则令 替归一化原型滤波器系统函数中的 ， 对于其他高通、带通、带阻滤波器，可应用后面讨论到的频带变换法，由其变换得出。 第30页，共152页。巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器的阶次， 为3dB截频。(2)巴特沃思低通滤波器设计过程第31页，共152页。通带最大衰减和阻带最小衰减可由定义式求出:(设=0处幅度归一化到1), 则:(2)巴特沃思低通滤波器设计过程1)求出N第32页，共152页。第33页，共152页。Nmin应取向上取整。第34页，共

12、152页。2)如技术指标未给出 ，则可由下式计算： 或采用上式求 ，阻带指标有富裕量；下式则通带指标有富裕量。第35页，共152页。查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 , 即得到实际滤波器传输函数Ha(s)。3)求系统函数Ha(s)第36页，共152页。低通巴特沃斯滤波器设计步骤：（1）由 求滤波器阶次N；（2）由N查表，求出归一化传输函数 ；（3）令 代入 ，得实际 滤波器传输函数Ha(s) 。 第37页，共152页。Nmin应取向上取整。N及 计算或第38页，共152页。第39页，共152页。通带边频: 通带的最大衰减为: 阻带边频为: 阻带的最小衰减为: 例:

13、设计一巴特沃思低通滤波器，使其满足以下指标: 第40页，共152页。解:根据滤波器技术指标 取N=4, 查表得四阶巴特沃思多项式，得归一化系统函数表达式确定阶次N第41页，共152页。巴特沃斯归一化低通滤波器参数第42页，共152页。巴特沃斯归一化低通滤波器参数第43页，共152页。巴特沃斯归一化低通滤波器参数第44页，共152页。代入第45页，共152页。1.巴特沃思滤波器设计步骤：(1)根据技术指标求求出滤波器的阶数N和3dB截止频率Nmin应取向上取整。或第46页，共152页。1.巴特沃思滤波器设计步骤：(2)求系统函数Ha(s) 1)查表求 Ha(s) 查表求得归一化传输函数 ,令 代

14、替归一化原型滤波器系统函数中的 , 得到实际滤波器传输函数。第47页，共152页。求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成 。幅度平方函数极点为： 将s平面左半平面的N个极点分配给2)极点法求系统函数Ha(s)第48页，共152页。 例：已知fp=5kHz，p=2dB，fs=12kHz， s=30dB，设计巴特沃斯低通滤波器。 解：（1）确定阶次N： 第49页，共152页。 取N=5，其极点为（归一化极点） 第50页，共152页。（2）查表求极点：P1,2=-0.3090j0.9511; p3,4=-0.8090 j0.5857; p0=-1.000所以 第51页，共152页。（3）求c：

15、所以s比题目中给出的指标小，过渡带符合要求。第52页，共152页。（4）去归一化，求Ha(S)将p=s/c代入Ha(P)，得：第53页，共152页。第54页，共152页。第55页，共152页。第56页，共152页。切比雪夫滤波器引入原因：Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在阻带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因此并不经济。更有效的方法是将指标的精度要求均匀的分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀分布在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。第

16、57页，共152页。4.2.2切比雪夫滤波器设计通带内等波纹，阻带内单调-切比雪夫1型通带内单调，阻带内等波纹-切比雪夫2型切比雪夫1型的幅度平方函数：第58页，共152页。是小于1的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数， 愈大，纹波也愈大。p称为有效通带截止频率。频率通常对p归一化， 第59页，共152页。第60页，共152页。在通带内，在1和 之间起伏变化；在阻带内是单调下降的； 当N为奇数时，滤波器在 处的幅度响应为1；当N为偶数时，滤波器 在 处的幅度响应为 。当 时， 4.2.2切比雪夫滤波器设计基本性质第61页，共152页。的确定设允许的通带纹波为，那么 第62页，共

17、152页。阶数N 的确定第63页，共152页。(1)查表得 (2)查表得幅度平方函数的极点 其中 的确定第64页，共152页。极点分布2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在 为长半轴， 为短半轴的椭圆 上的点。 第65页，共152页。切比雪夫滤波器的传输函数 系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定:当N为奇数时，当N为偶数时， 去归一化得到滤波器的传输函数Ha(s)第66页，共152页。切比雪夫低通滤波器的设计步骤 (1)由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器的参数、N和p第67页，共152页。(2)确定Ha(s) 1)查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 ，即得到实际滤波

18、器传输函数。切比雪夫低通滤波器的设计步骤 第68页，共152页。归一化Chebyshev低通滤波器的传输函数为切比雪夫低通滤波器的设计步骤 第69页，共152页。归一化Chebyshev低通滤波器的传输函数为为了得到单位峰值增益，一般选切比雪夫低通滤波器的设计步骤 第70页，共152页。(2)确定Ha(s)2）滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。切比雪夫低通滤波器的设计步骤 第71页，共152页。系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定:当N为奇数时，当N为偶数时， 切比雪夫低通滤波器的设计步骤 去归一化得到滤波器的传输函数Ha(s)第72页，共152页。切比雪夫滤波器是一种全

19、极型滤波器，它是由切比雪夫多项式的正交函数 推导出来的，采用了在通带内等波动，在通带外单调衰减的准则去逼近理想特性。它比巴特沃斯滤波器在通带内有更均匀的特性，是在所有全极型滤波器中过渡带最窄的最优滤波器。 4.2.2切比雪夫滤波器设计第73页，共152页。N=3N=41c1/(1+2)第74页，共152页。(2)设计过程 1)根据要求的滤波器指标确定波纹参数和N。 滤波器的阶数N的确定： 的确定：待定参数可通过通带内的最大衰减来求得第75页，共152页。【例】 设计一个满足下列指标的Chebyshev低通滤波器。当 时， ；当 时， 。【解】 取N3第76页，共152页。归一化Chebyshe

20、v低通滤波器的传输函数为第77页，共152页。归一化Chebyshev低通滤波器的传输函数为为了得到单位峰值增益，一般选第78页，共152页。 2)查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波器系统函数中的 ，即得到实际滤波器传输函数。(2)设计过程第79页，共152页。基本思路：转换要求：（1）确保稳定性；（2）模仿的频响特性基本一致4.3 IIR数字滤波器的实现第80页，共152页。由模拟滤波器设计IIR数字滤波器第81页，共152页。常用方法工程上常用:脉冲响应不变法双线性变换法第82页，共152页。1.变换原理 数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(

21、t)的采样值，即 h(n)=ha(nT), T为采样周期.如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的Z变换，即数字滤波器的系统函数h(n)的Z变换便是H(z)。 4.3.1脉冲响应不变法( Impulse Invariance ) 下面我们分析从模拟滤波器到数字滤波器S平面和Z平面之间的映射关系。 第83页，共152页。tf (t)tp (t)Tsfs (t)Tstfs (t)Tst-s -mm s1/TStFs()1/TS-s -mm s1/TSt1/TS抽样信号的傅里叶变换 时域离散非周期信号频域连续周期的频谱 第84页，共152页。抽样信号的傅里叶变换

22、数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。可能有混叠失真第85页，共152页。jS/2-S/23S/2ImZReZ-3S/2第86页，共152页。冲激不变法s平面与z平面的映射关系jImzRez1j/T-/T3/T-3/T5/T-5/Ts平面到z平面的多值映射第87页，共152页。第88页，共152页。但是，实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不

23、变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 第89页，共152页。脉冲响应不变法中的频响混叠现象 第90页，共152页。1)滤波器指标以模拟域形式给出，此时解决混叠的方法： 已确定，采样频率增加，令采样时间间隔（T=1/fs）减小混叠减小。2)滤波器指标以数字域形式给出，此时未确定，但已定，采样频率增加，为保证omegas不变，必有增加，增加滤波器的阶数N，混叠减小。第91页，共152页。脉冲响应不变法的基本思路拉普拉斯反变换z变换第92页，共152页。 设模拟滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数 NM，则可表达为部分分式形式其拉氏反变换为 对ha(t)采样得到数字滤波器的单

24、位脉冲响应序列脉冲响应不变法模拟到数字的转换第93页，共152页。再对h(n)取Z 变换，得到数字滤波器的传递函数脉冲响应不变法模拟到数字的转换第94页，共152页。（1）S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT处的单极点。（2） Ha(s)与H(z)的部分分式的系数相同，都是Ak。（3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即|eskT|=eReskT1，因此数字滤波器也是因果稳定的。Ha(s)和H(z) 比较第95页，共152页。第96页，共152页。练习：设模拟滤波器的系统函数为 试用脉冲响

25、应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。 解 直接利用公式可得到数字滤波器的系统函数为 设T=1，则有 第97页，共152页。冲激响应不变法的实现步骤(1)确定数字滤波器的性能指标（ ) 和( )(2)利用 ，将数字滤波器的性能指标变换 成模拟滤波器的性能指标( )和( ）(3)利用成熟的模拟滤波器设计方法设计模拟滤波器，求出(4)将模拟滤波器系统函数 转变成数字滤波器的系统函数第98页，共152页。4.冲激响应不变法的优缺点优点：一个线性相位的模拟滤波器可以映射成为一个线性相位的数字滤波器。缺点：根据奈奎斯特抽样定理，冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，即只适用低通

26、、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计，否则会出现混叠，而且这种频率混叠现象的出现不会因抽样周期的减少而消失。第99页，共152页。例: IIR低通滤波器的设计指标如下：1）通带截止频率P0.1rad， 阻带起始频率s0.25rad 2）通带最大衰减p=3dB， 阻带最小衰减s=15dB设计举例解：1) 根据DF指标, 将DF指标转换为归一化LPF指标第100页，共152页。1.巴特沃思滤波器设计步骤：(1)根据技术指标求求出滤波器的阶数N和3dB截止频率Nmin应取向上取整。或第101页，共152页。2) 根据归一化LPF指标, 查表求Ha(S)3) 将Ha(S)化成部分分式之和第

27、102页，共152页。第103页，共152页。4) 求H(z)第104页，共152页。（1）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较好地重现原模拟滤波器的频率特性；（2）由于数字域的冲激响应完全模仿模拟域的冲激响应，故时域特性逼近好；（3）存在频率效应，对于非带限的模拟滤波器不适用。脉冲响应不变法的优缺点第105页，共152页。jS/2-S/23S/2ImZReZ-3S/2第106页，共152页。 4.3.2 双线性变换法（ Bilinear Transformation method ）为了克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法-双线性变换法。第107页，共152

28、页。从s到z平面的映射： 映射时应满足的条件：如原模拟滤波器是因果稳定的，则数字滤波器也应是因果稳定的，并且性能指标符合设计要求。第108页，共152页。4.3.2双线性变换法（Bilinear Transform)1.变换原理 s平面到z平面的映射关系二次映射法S S1 Z为了将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴上的 到 一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C 。 第109页，共152页。第110页，共152页。 当 由 时, 由 经过变化到 ，即S平面的整个 轴被压缩到S1平面的 一段.将这一关系解析扩展至整个S平面， 则得到S平面到S1平面的映射

29、关系：再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令第111页，共152页。令第112页，共152页。(1)整个s平面到s1平面上的转换为：(2)s1平面到z平面的变换则为：(3)从s平面到z平面的变换为：或（）（）第113页，共152页。4.3.2 双线性变换法第114页，共152页。2.变换常数的选择 常数的选择可以使模拟滤波器的频响特性和数字滤波器的频响特性在不同的频率范围有对应的关系，起到调节二者频带间关系的作用。选择的方法有两种。1)使模拟滤波器和数字滤波器的频响特性在低频部分有较确切的对应关系，即当 较小的时候，有由此得 第115页，共152页。2)使数字滤波器的某一特定频率(

30、例如截止频率 与模拟原型滤波器的特定频率 严格对应，即2.变换常数的选择由于在待定的模拟频率和待定的数字频率处频率响应应严格相等，因而可以较准确的控制截止频率位置。 第116页，共152页。3.双线性变换可以消除频率混叠的原因第117页，共152页。第118页，共152页。j1j1S/2-S/2ImZReZ第119页，共152页。如令则得3. 模拟角频率和数字角频率的映射关系第120页，共152页。3. 模拟角频率和数字角频率的映射关系Ha(j)2第121页，共152页。第122页，共152页。双线性变换的频率对应关系双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了模拟频率与数字频率为一种非线

31、性的关系情形即：可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。 双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。 第123页，共152页。（1）确定数字低通技术指标： 通带截止频率 、通带衰减 阻带截止频率 、阻带衰减 （2）预畸变：将数字低通指标转换成模拟低通指标（ 和 不变 ） 边界频率的变换关系：4.双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤第124页，共152页。4.双线性变换法设计数字低

32、通滤波器的步骤（3）设计模拟低通滤波器传输函数Ha(s)；（4）将Ha(s)转换成数字低通滤波器： 这里的采样间隔T可任意选取， 通常取 T=1。 第125页，共152页。例：用双线性变换法将图示RC低通滤波器转换成数字低通滤波器。解：传输函数 第126页，共152页。数字滤波器的传递函数为：第127页，共152页。 例2：设计数字低通滤波器，要求在通带内频率低于0.2时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。 解：（1）数字低通指标第128页，共152页。（2）模拟低通指标：第129页，共152页。（3）设计巴特沃斯模拟低通滤波器：第130页，共152页。查表后，得得模拟滤波器传输函数Ha(s)取N=6通带指标有富裕量去归一化,令代入第131页，共152页。（4）用双线性变换法转换成数字低通滤波器第132页，共152页。 例3:用双线性变换法和模拟低通巴特沃斯原型，设计一数字低通滤波器，已知 fs=20kHz , fpass=4 kHz , fstop=5 kHz, pass= 0.5 dB , stop=10 dB. 第133页，共152页。 解:（1）数字滤波器性能指标： pass=2fpass/fs=0.4 r