全等三角形的性质与判定含答案

1、全等三角形的性质与判定考点,方法,破译.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；.全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、 角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；.全等三角形判定方法有：SASASAAASSSS对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有 HL法；.证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具 体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法， 确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5.证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有

2、时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典考题赏析【例1】如图，AB/EF/ DQ/ABC= 90,AB=CD,那么图中有全等三角形（）A. 5对B. 4对C. 3对 D. 2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一 对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出 第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：. AB/ EF/ DQ /ABC= 90. . . / DCB= 90.在 ABC和 DCB中AB DCZ ABC Z DCB. .AB8, DCB (SA

3、S) ，/A=/DBC CB在 ABEA DCE中z A / D/ AED / DEC ABE0 DCEBE= CEAB DC在RtEFB和RtEFC中BE CEEF EF RtAEFB RtA EFC （HL）故选 C【变式题组】01.（天津）下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等关注公众号”品数学“，一起学数学吧!D.有一边对应相等的两个等边三角形全等02.（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且 AD= BE, Z A= Z FDE,则AB8 DEE判断这

4、个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明八CF03.（上海）已知线段 AC与BD相交于点 O,连接AB、DC, E为OB的中点，F为OC的中点,连接EF （如图所示）添加条件/ A= / D, / OEF= / OFE 求证：AB= DC;分另将“/ A=Z D”记为，/ OEF= / OFE记为，AB=DC记为，添加、，以为结论构成命题 1;添加条件、，以为结 论构成命题2,命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）【例 2 】已知 AB=DC, AE= DF, CF= FB 求证：AF= DE【解法指导

5、】想证AF= DE,首先要找出 AF和DE所在的三角形,AF在4AFB和AAEF中，而 DE在4CDE和4DEF中，因而只需证明 ABB DCE或 AEF DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件证明： FB= CEFB+ EF= CE+ EF,即 BE= CFAB DC在 ABE 和 DCF 中，AE DFBE CF AB DCF (SSSZ B=Z CAB DC在 ABF和ADCE中,Z B z C.ABB DCEAF= DEBF CE【变式题组】01.如图，AD、BE是锐角 ABC的高，相交于点 O,若BO= AC, BC= 7, CD= 2,则AO的长为（）23C. 4D.

6、 5关注公众号”品数学“，一起学数学吧!02.如图，在 ABC 中，AB=AC, Z BAC= 90, AE 是过 A 点的一条直线， AE CE 于 E, BD AET D, DE= 4cm, CE= 2cm,贝U BD=.03.(北京)已知：如图，在 ABC中，/ ACB= 90, CD AB于点D,点E在AC上，CE= BC,过点E作AC的垂线，交 CD的延长线于点 F.求证：AB= FC.例3 如图， AB8 DEF7,将4ABC和4DEF的顶点B和顶点E重合，把 DEF 绕点B顺时针方向旋转，这时 AC与DF相交于点O.当 DEF旋转至如图位置，点 B (E)、C、D在同一直线上时，

7、/ AFD与/ DCA的数 量关系是；当 DEF继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由 .【解法指导】/ AFD= / DCA/AFD= / DCA 理由如下：由 AB8 DEF,，AB=DE, BC= EF, Z ABC= /DEF /BAC= / EDF/ ABC- / FBC= / DEF- / CBF，/ ABF= / DECAB DE在 ABF和 DEC中，Z ABF / DECBF EC AB三 DEC / BAF= / DEC/ BAC- / BAF= / EDF- / EDC / FAC= / CDF / AOD= / FAC+ / AFD= / CD斗 / DCA

8、./ AFD= / DCA关注公众号”品数学“，一起学数学吧!【变式题组】01.（绍兴）如图，D、E分别为 ABC的AC BC边的中点，将此三角形沿 DE折叠，使点C落在AB边上的点 P处.若/CD 48,则/ APD等于（4248525802.如图，RtAABC沿直角边A. AB DEFC. AC= DFBC所在的直线向右平移得到 DEF,下列结论中错误的是（）B.D./ DEE 90EC= CF03. 一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.求证：AB ED;若PB= BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，

9、并证明例4 （第21届江苏竞赛试题）已知，如图， BD、CE分别是 ABC的边A C和AB边 上的高，点 P在BD的延长线，BP= AC,点Q在CE上，CQ= AB.求证： AP= AQ;AP XAQQCBZ 2. .APB AQAC,CA.经观察，证【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等AP= AQ,也就是证 APD和 AQE,或 APB和 QAC全等，由已知条件 BP= AC, CQ= AB, 应该证 APg QAC,已具备两组边对应相等，于是再证夹角 Z1= Z2即可.证API AQ, 即证/ PAQ= 90, / PAD+ / QAC= 90就可以.证明：:

10、BD、CE分别是 ABC的两边上的高， ./ BDA= / CEA= 90,，/1 + /BAD= 90, /2 + /BAD= 90,，/1 = /2.AB在 APB 和 QAC 中，/ 1 .AP = AQ关注公众号”品数学“，一起学数学吧! APg AQAC,/ P= / CAQ . . / P+ / PAA 90 / CAQ+ / PAD- 90,APXAQ【变式题组】01.如图，已知 AB= AE, / B= / E, BA= ED,点F是CD的中点，求证:02.（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm,梯

11、子倾斜角为45。，这间房子的宽度是A.m2B.m203.如图，已知五边形 ABCDE中, 边形ABCDE的面积为C. bmD. am/ ABC= Z AED- 90,AB= CD- AE= BC+ DE=2,贝U五直距离MA为am,此时梯子的倾斜角为 75。，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙演练巩固反馈提高01.（海南）已知图中的两个三角形全等，则/a度数是（） TOC o 1-5 h z 02.如图， ACg AA/C/B/, / BCB=30,则 / ACA 的度数是（）A. 20B, 30 C. 35D, 4003.（牡丹江）尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以。为圆心，任意长为半

12、彳5画弧交 OA、OB于C、D,再分另以点 C D为圆心，以大于 1CD长为半径画弧，两弧交于点P,2作射线OP,由作法得 OCPODP的根据是（）关注公众号”品数学“，一起学数学吧!SAS B. ASAC. AAS D. SSS04.（江西）如图，已知 AB= AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定AB8 ADC的A. CB= CDC. / BCA= / DCA/ BAC= / DACD.Z B=Z D=9005.有两块不同大小的等腰直角三角板ABCA BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. AA

13、BE CBDB. / ABE= / CBDZABC= Z EBD= 45D. AC/ BE06.如图， ABC和共顶点 A, AB= AE, / 1 = / 2, / B= Z E. BC交 AD于 M, DE交 AC于N,小华说：“一定有 AB8AED.”小明说：“ABM0AEN.”那么（）A.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对07.如图，已知 AC= EC BC= CD, AB= ED,如果/ BCA= 119 , Z ACD= 98，那么/ ECA的度 数是.08.如图， AB8 ADE, BC 延长线交 DE 于 F, /B=25，/ACB= 1

14、05 , / DAC= 10 , 则/ DFB的度数为.09.如图，在 RtABC 中，/C= 90, DE AB 于 D, BC= BD. AC= 3,那么 AE+ DE=.如图，BA AC, CD/ AB.BC= DE,且BC DE,若AB=2,CD= 6,贝UAE=.如图，AB= CD, AB/ CD. BC= 12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点 C出发，沿CB方向爬行,t为多少时， AP QDC.P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间关注公众号”品数学“，一起学数学吧!.如图, ABC中，/ BCA= 90 , AC= BC, 为F,过B作BD BC交CF的延

15、长线于 D. 求证：AE= CD;若AC= 12cm,求BD的长.（吉林）如图， AB= AC, AD BC于点D, AD等于AE, AB平分/ DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上,l的垂线，垂足分别为 D、E.找出图中的全等三角形，并加以证明；若DE= a,求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）.如图，AC1BQ AD BD, AD= BC, CEAB, DF AB,垂足 分别是E、F.求证：CE= DF.CDAB那么在什么.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,情况下，

16、它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形, 对于这两个三角形均为钝角三角形, 对于这两个三角形均为锐角三角形,显然它们全等；可证明它们全等（证明略） 它们也全等，可证明如下;已知 ABC A1B1C1 均为锐角三角形， AB=A1B1, BC= B1O, / C= / A1BiC1.（请你将下列证明过程补充完整）Ci.求证： ABCC归纳与叙述：由可得一个正确结论，请你写出这个结论关注公众号”品数学“，一起学数学吧!培优升级奥赛检测01.如图，在 ABC中，AB=AC, E、F分别是 AB、AC上的点，且 AE= AF, BF、CE相交于点O,连接AO并延长交BC于点D,则图中全

17、等三角形有（）B. 5对C. 6对 D. 7对A. 4对02.如图，在 ABC中,AB=AC, OC= OD,下列结论中：/ A=/BDE= CEL,连接 TOC o 1-5 h z DE,则OE平分/ AOB,正确的是（）A. B.C.D,03.如图，A在DE上，F在AB上，且 AC= CE, /1 = /2=/3,则DE的长等于（）A. DCB. BCC. ABD.AE+ AC04.下面有四个命题，其中真命题是（）A.两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.两边和第三边上的中线对应相等的两

18、个三角形全等05.在 ABC中，高 AD和BE所在直线相交于 H点，且BH= AC,则/ ABC=.06.如图，EB交 AC于点 M,交 FC于点 D, AB交 FC于点 N, / E= / F= 90, /B=/C, AE = AF.给出下列结论：/1 = /2;BE= CF;4ACN ABM;CD= DB,其中正确的结论有 .（填序号）07.如图，AD为在4ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF= AC, FD= CD.求证：BEX AC;若把条件 BF= AC和结论 BEX AC互换，这个命题成立吗？证明你的判定08.如图,求证：AC= 2AE.D为在 ABC的边BC上一

19、点，且 CD= AB, / BDA= / BAD, AE是4ABD的中线.09.如图，在凸四边形 ABCD中，E为4ACD内一点，满足 AC= AD, AB= AE, / BAE+ Z BCE关注公众号”品数学“，一起学数学吧!= 90, /BAC= /EAD.求证：/ CED= 90.（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中/ ACB= Z DEB=90, / A=/ D=30,点E落在AB上，DE所在直线交 AC所在直线于点 F.求证：AF+ EF= DE若将图中 DBE绕点B顺时针方向旋转角 “，且0“ 60 ,其他条件不变, 请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；若将图中 DBE绕点B按顺时针方向旋转角&且6003 180淇他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。DABC中，D是BC边.（竦州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:在 ABC中，AB= 5, AC= 13,求BC边上的中线 AD的取值范围 小明在组内经过合作交流