信号与线性系统分析第4章-课件

1、14 连续系统的频域分析4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱4.5 傅里叶变换的性质4.6能量谱和功率谱4.7 周期信号的傅里叶变换4.8 LTI系统的频域分析4.9 取样定理24.1 信号分解为正交函数在线性空间中，任何矢量可用相互垂直的单位矢量表示。这组矢量称为正交矢量集。 一. 正交函数集 正交函数：函数1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交，则 正交函数集：n个函数1(t)，n(t)在区间(t1，t2)内构成的正交函数集i(t)满足 3Ki为常数，如果Ki1，则称该函数集为归一化正交函数集。 完备正交函数集：在正交函数集之外，

2、不存在函数与之正交。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。 正交复函数的定义：正交函数集例：（在区间t0，t0+T，且T=2）三角函数集：1，cos(nt)，sin(nt)；n1，2，3，复指数函数集：ejnt；n0，1，2， 4二. 信号分解为正交函数 对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得 5于是可得误差 均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。 6当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，则单位电阻上信号

3、的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。 因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和 74.2 傅里叶级数周期信号在区间(t0，t0T)上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为傅里叶级数。一. 周期信号的分解 设有周期信号f(t)，可分解为 an、bn称为傅里叶系数。可由下式求得8an是n的偶函数，即 anan ；bn是n的奇函数，即 bnbn 。 f(t)分解式的另一种形式式中 A0=a09例：将方波信号展开为傅里叶级数。 1f(t)t-T-1T解：傅里叶系数为 10傅里叶级数的展开式为 11图示方波信号分

4、解吉布斯(Gibbs)现象 ：当n时，在间断点处有9%的偏差。 如果方波信号如图所示1f(t)t-T-1T则傅里叶级数的展开式为 12二. 奇、偶函数的傅里叶系数 根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为 f(t)为奇函数，则系数为 13任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分 f(t)fod(t)fev(t) 由于f(t)fod(t)fev(t)fod(t)fev(t)所以 例f(t)=et(t)，则0tf(t)0.50.50tf(t)0.514Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形15全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|

5、Ef1(t)t-TT16求半波整流信号f2(t)Esin(0t)(sin0t)的傅立叶级数。Ef2(t)t-TT半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：17f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，即对称于横轴 f(t)f(tT/2) 1f(t)t-TT奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。 18三. 傅里叶级数的指数形式 因为cosx(ejxejx)/2，所以 AnAnnn19Fn称为复傅里叶系数，计算式为 20傅里叶级数小结： 214.3 周期信号的频谱一. 周期信号的频谱 周期信号的傅里叶级数An、Fn、 n与n 有关，也即与频率有关。An或|Fn|

6、与之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为幅度频谱。 n与之间的关系称为相位频谱。周期信号的频谱只在n处取值，是离散频谱。 22Sa(x)二. 周期矩形脉冲的频谱01T/2-T-/2f(t)t定义取样函数为Sa(x)为偶函数23所以在频谱图上n处，存在谱线，谱线间隔为 。T不变：减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。图示频谱图。信号能量集中在第一个零点内，2/2f0 。定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：F=f0=1/ 。24三. 周期信号的功率 周期信号的归一化平均功率这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。例：幅度为1，脉冲宽度为0.2，周期为1的矩形

7、脉冲信号，信号功率为 25其傅里叶系数为第一个零点为0.2n=，即n=5。在频谱第一个零点内各分量的功率和为第一个零点内分量所占总功率的比例为 264.4 非周期信号的频谱一. 傅里叶变换 由傅里叶级数的指数形式及其系数可得当T时，d，1/Td/2，n，离散频率变成连续频率，Fn为无穷小。上式成为 27常用下面符号简记： F(j)F f(t)F f(t)表示对函数f(t)取傅里叶变换，F(j)称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数； f(t)F 1F(j) F 1F(j)表示对函数F(j)取逆变换 ，f(t)称为F(j)的原函数。对应关系简记为：f(t)F(j)频谱函数是的复函数 F(j)|F(

8、j)|ej()R()jX()其中|F(j)|为幅度频谱，()为相位频谱。28比较：实函数f(t)，复函数F(j)，复变函数F(s)。傅里叶变换的三角函数形式物理意义：非周期信号含有所有连续频率分量，但其幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以f(t)在无限区间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。|F(j)|是偶函数该项积分为029一些特殊函数的傅里叶变换(1) 门函数的频谱函数门函数 g(t)(t/2)(t/2) 频谱图傅里叶积分存在的充分条件是f(t)在无限区间上绝对可积 f(t)t/21030(2) 单边指数函数的频谱函数单边指数函数f(t)et(t) 0

9、 幅度谱和相位谱分别为 0tf(t)31(3) 双边指数函数的频谱函数双边指数函数f1(t)e|t| 0 (4) 另一形式的双边指数函数的频谱函数双边指数函数(0) 32二. 奇异函数的傅里叶变换 (1) 冲激函数的频谱 频谱密度恒为1，称为均匀谱或白色频谱。冲激函数的频谱也可由门函数推得 (t)1 33(2) 冲激函数导数的频谱即 (t)j 幅度谱|F(j)|，相位谱()/2 。根据广义函数导数的定义可得 F (n)(t)(j)n 。(3) 单位直流信号的频谱单位直流信号可看作双边指数函数f1(t) 当0时的极限 直流分量为有限值，频谱密度为无穷。34 频谱函数是冲激函数，其强度为所以(4)

10、 符号函数的频谱 符号函数定义为 1sgn(t)t0-135sgn(t)可看作是双边指数函数f2(t)当0时的极限，其频谱函数为通常表示为 sgn(t)2/j (5) 阶跃函数的频谱 36常用函数的傅里叶变换：374.5 傅里叶变换的性质(1) 线性 若 fi(t) Fi(j) (i=1,2,n)则对任意常数ai (i=1,2,n)，有 傅里叶变换对傅立叶变换后线性性质不变。38(2) 奇偶性分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。频谱函数的实部和虚部分别为 频谱函数的模和相角分别为 39f(t)是时间t的实函数：R()=R(), X()=X() |F(j)|=|F(j)|, ()=(

11、) 若f(t)是偶函数，则X()0，F(j)R()；若f(t)是奇函数，则R()0，F(j)jX()。f(t)的傅里叶变换为 F(j)R()jX () R()jX()F*(j)即 F f(t)F(j)F*(j) 40f(t)是时间t的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有 R()=R(), X()=X()|F(j)|=|F(j)|, ()=() F f(t)F(j)=F*(j) 类似可得f(t)为复函数的性质。无论f(t)为实函数或复函数，都有F f(t)=F(j)F f*(t)=F*(j)F f*(t)=F*(j)41(3) 对称性若f(t) F(j) 则 F(jt) 2f() 傅里叶逆变换式

12、将式中的自变量t换为t得 将上式中的t换为，换为t，即得42例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。门函数傅氏变换 g(t) Sa(/2)根据对称性 Sa(t/2) 2g()令2，则得 Sa(t) g2() 例：求函数f(t)=t的频谱函数。 (t) j jt 2()=2() t j2() 43(4) 尺度变换 若 f(t) F(j) 则 如a1，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在频域中信号占有频带的扩展。证明：令x=at，则当a0时 44令x=tt0(5) 时移特性 当a0时若 f(t) F(j)则 f(t t0) e jt0F(j)，(t0为常数) 证明：同理可得f(t+t

13、0)的变换。 45例：求图示五脉冲信号的频谱。解：单脉冲信号的变换为 g(t)Sa(/2) 因为 f(t)g(t)+g(t+T)+g(tT)+g(t+2T)+g(t2T)所以 F(j)Sa(/2)(1+ejT+ejT+ej2T+ej2T) Sa(/2)1+2cos(T)+ 2cos(2T)当T4时波形见图4.5-4。f(t)t/2T10-T2T-2T脉冲数n？46综合尺度变换和时移特性有若 f(t) F(j) 则由尺度变换可得反转特性: F f(t)F(j)例：求图示f2(t)、f3(t)函数的傅里叶变换。 f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-147解：f1

14、(t)为门函数，其傅里叶变换为g2(t) 2Sa() 函数f2(t)可表示为 f2(t)=f1(t+1)f1(t1)其傅里叶变换又f3(t)=f2(2t)，所以48f3(t)也可直接由综合变换式求得 f3(t)=g2(2t+1)g2(2t1) g2(t) 2Sa() 49(6) 频移特性 若f(t) F(j)，且0为常数则 应用频移特性实现频谱搬移，将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t得到。因为同理可得50例：矩形调幅信号51(7) 卷积定理 时域卷积定理 若 f1(t) F1(j) f2(t) F2(j) 则f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j) 证明： 52频域卷积定理

15、若f1(t) F1(j)f2(t) F2(j) 则 证明：53例：求斜升函数r(t)=t(t)的频谱。解：根据函数t和(t)的频谱，应用频域卷积定理 由此可得： F |t|=F t(t)+(t)(t)54(8) 时域微分和积分 时域微分定理 若 f(t) F(j) 则 f(n)(t) (j)nF(j) 根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有 F f(t)=F f(t)*(t)=F f(t)F (t)=jF(j) 重复应用以上结果得时域微分定理。在交流电路分析时：时域积分定理 若 f(t) F(j)则 f(1)(t) F(0)()+(j)1F(j) 55根据时域卷积定理，可得 F f(1)(t)

16、=F f(1)(t)*(t)=F f(t)*(1)(t) =F f(t)F (t)=F(j)()+1/j =F(0)()+F(j)/j F(0)可以在频域中求，也可在时域中求： 56例：求三角形脉冲的频谱函数。f(t)t-/2/210f(t)t-/2/22/0-2/f(t)t-/2/20(2/)(2/)(-4/)对其求二次导数得冲激函数57f(t)的频谱函数为因为F(0)=0，F(j)/j|=0=0，所以f(t)的频谱函数为则三角形脉冲可表示为 58则频谱函数应为在时域积分定理中认为实际上例：(t)与sgn(t)/2的导数都是(t)，但时值不同59(9) 频域微分和积分 频域微分若f(t) F

17、(j)则 (jt)nf(t) F(n)(j) 或 tnf(t) jnF(n)(j) 证：F 1F(j)=F 1F(j)*() =2F 1F(j)F 1()即 (jt)1f(t) F(1)(j)类推可得n次微分。时域函数有tn因子时，变换可考虑用频域微分性质。 60频域积分若f(t) F(j)则 式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求证明： F 1F(1)(j)=F 1F(j)*(1)() =2F 1F(j)F 1() = 2f(t)F 1()61时域函数有t1因子时，且f(0)=0，可考虑用如下频域积分性质因为根据对称性取反转62例：求r(t)=t(t)的频谱函数。例：求Sa(t)=sin

18、t/t的频谱函数。应用频域微分应用频域积分63若 f1(t)F1()，f2(t)F2()则有相关定理 F R12()=F1(j)F2*(j) F R21()=F1*(j)F2(j)这是因为 F R12()=F f1()*f2() =F1(j)F2(j)=F1(j)F2*(j)相关定理中f1(t)、f2(t)应该是实函数。对于自相关函数则有 F R()=F(j)F*(j)=|F(j)|2(10) 相关定理 64傅里叶变换性质小结 线性 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(j)+ a2F2(j)奇偶性 f(t)为实函数：R()、|F(j)|偶函数；X()、 ()奇函数。F f(t)=F(j)

19、=F*(j)对称性 F(jt) 2f() 时移特性 尺度变换65时域卷积定理 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j) 频域卷积定理 时域微分f(n)(t) (j)nF(j) 时域积分 频域微分 (jt)nf(t) F(n)(j) 频域积分 频移特性66若E、P有界，则f(t)称为能量信号或功率信号。能量谱 若f(t)为实函数，信号能量与频谱函数的关系 4.6 能量谱和功率谱67即 上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。可将上式改写为物理意义：在df频带范围内，信号具有的能量为无穷小量|F(j)|2df 。定义能量密度谱 E ()=|F(j)|2信号的能量谱是其自相关函数的频谱函数 E ()=F

20、 R()=|F(j)|2E ()反映了信号的能量在频域中的分布。68功率谱 定义函数 fT(t)=f(t)(t+T/2)(tT/2) FT(j)=F fT(t)如果f(t)是实函数，则信号平均功率为当T时，fT(t)f(t)。定义功率密度谱为功率谱P ()反映信号功率在频域中分布。69若f1(t)和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为若f(t)是功率信号，定义自相关函数为其傅立叶变换为70即 R()P ()此即维纳-欣钦关系，据此可用功率谱描述随机信号的频率特性。例：求信号f(t)=Sa(t)的能量。解：已知变换对根据信号的能量与频谱函数关系式，Sa(t)的能量为714.7 周期信号的傅里叶

21、变换一. 正、余弦函数的傅里叶变换二. 一般周期函数的傅里叶变换 周期函数展开成傅里叶级数 式中=2/T。72周期函数的傅里叶变换 上式表明周期函数的F(j)和Fn之间关系。傅里叶变换得到的是频谱密度F(j)，傅里叶级数得到的是傅里叶系数Fn。 周期性单位冲激函数系列称为梳状函数 73所以T(t)的傅里叶变换为 梳状函数的傅里叶系数为0-2T-TT2TT(t)t0-2-2()74周期信号fT(t)在一个周期内(T/2T/2)函数令为f0(t)，则 fT(t)=f0(t)*T(t) (见P71)其傅里叶变换为 比较可得傅里叶变换中的一些性质、定理也可用于傅里叶级数。主周期信号f0(t)包含了周期

22、信号fT(t)的全部信息。75则其傅里叶变换为 例：周期矩形脉冲信号其傅里叶系数为7677例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。fT(t)0t1T-T解：f1(t)的傅里叶变换为f0(t)的傅里叶变换为 f0(t)0t1Tf1(t)0t1T/278fT(t)的傅里叶系数为 fT(t)的傅里叶级数为 实际上794.8 LTI系统的频域分析一. 频率响应 系统的时域分析法用(t)或(t)作为基本信号，系统的频域分析法可用虚指数函数ejt作为基本信号。 在时域分析中，系统的零状态响应为 yzs(t)=h(t)*f(t) 应用傅里叶变换的时域卷积性质 ，上式成为 yzs(t)=F 1H(j)F(j

23、) 频域分析法就是应用频域函数分析系统的响应，将时域中的卷积运算变换为频域中的相乘运算。 由于在频域分析时，只能求系统的零状态响应，因此以下yzs(t)简写为y(t)。80LTI系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数f(t)=ejt(t)，则系统的零状态响应 y(t)=h(t)*f(t) 式中H(j)是h(t)的傅里叶变换，称为系统频率响应函数或系统函数。H(j)反映了响应y(t)的幅度和相位变化。 任意信号f(t)可以看作无穷多个虚指数信号ejt之和，即 81任意信号激励下的零状态响应的推导：H(j) 也可定义为|H(j)|称为幅频特性，()称为相频特性。 82例：求系统y(t)+2y

24、(t)=f(t)的零状态响应，f(t)=et(t)。解：对微分方程取傅里叶变换得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得激励的傅里叶变换 响应的傅里叶变换 取傅里叶逆变换得系统响应 y(t)=(ete2t)(t) 83例：电路如图所示，激励为us(t)=(t)，求零状态响应uC(t)。 +CR_+us(t)_uC(t)解：电路频率响应函数为激励的傅里叶变换 84电路零状态响应uC(t)的频谱函数为 取傅里叶逆变换得 uC(t)=F 1UC(j)=(1et)(t)根据交流电路建立电路方程的方式，得到频率响应函数，由H(j)可求得系统的零状态响应。85例：求图示系统的输出y(t)。已知f(t)s(

25、t)x(t)y(t)H(j)解：门函数的频谱函数为取4，根据对称性可得 4Sa(2t)2g4()=2g4()即 F sin(2t)/t=g4()s(t)的频谱函数为F cos(3t)=(+3)+(3)86根据系统图得y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*f(t)s(t)取傅里叶变换得 87取逆变换可得-11X(j)5-5g4(+3)+ g4(3)H(j)3-3g6()Y(j)-113-3g2(+2)+ g2(2)88二. 无失真传输无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(ttd) 对上式取傅里叶变换得：Y(j)=KejtdF(j) 系统的频率响应函数为：H(j)=Kejtd 所以无失真传

26、输的条件为 |H(j)|=K ()=td |H(j)|0K()089无失真传输系统的冲激响应为 h(t)=K(ttd) 无失真传输系统的冲激响应还是冲激函数，但有强度变化和延时。 三. 理想低通滤波器的响应理想低通滤波器可看作频域中宽度为2c的门函数根据对称性，由得 |H(j)|01c-c()90令=2c，得 所以 理想低通滤波器的冲激响应 冲激响应在输入冲激之前就已出现，因而是非因果系统，这是由于理想化的结果，实际不可实现。 91理想低通滤波器的阶跃响应为式中Sa(x)为偶函数，其积分定义正弦积分 所以令 c(td)=x xc=c(ttd)92物理可实现系统应满足的条件：时域（因果条件） h

27、(t)0, t0 g(t)0， t2m时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢复原信号。否则就不能恢复原信号。 例：对信号f(t)=2sin0t+sin30t进行冲激取样，取样频率应为多少？因为m=30，所以s60 。 矩形脉冲取样 取样脉冲序列是幅度为1，脉宽为(Ts)的矩形脉冲序列 s(t) = pTs(t) 其频谱函数(见P168)为97则取样信号的频谱函数f(t)0tF(j)0m-mP(j)0spTs(t)0tTs1fs(t)0tTsFs()0sm98二. 时域取样定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)为了从Fs(j)中无失真地恢复F(j)，选择一个理想低通滤波器(时延为0，幅度

28、为Ts)输出信号频谱F(j)= Fs(j)H(j) F(j)0smc99低通滤波器是幅值为Ts的门函数，其冲激响应为由此得 令 c=s/2100101f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsFs(j)0sm-s0cH(j)-c0F(j)m-mF(j)S(j)Fs(j)H(j)F(j)102时域取样定理 ：一个频谱在区间(m，m)以外为零的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts(Ts2m)上的样点值f(nTs)确定。奈奎斯特(Nyquist)频率：取样频率的下限fs2fm ；奈奎斯特间隔：取样间隔的上限TsTm/2。例1：求信号f(t)2+4cos(5t)+cos(10t)的取样频率。解：因为 m2fm10 rad/sf(t)最高频率 fm5/ Hz奈奎斯特频率 fs2fm10/ Hz奈奎斯特间隔 Ts 1/fs/10 s 103例2：求信号