一元二次方程导学案12-Microsoft-Word-文档

1、 2.1 一元二次方程的导学案（1）一、一元二次方程的概念:1、方程的两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程必须同时满足的三个条件:(1) (2) (3) 3、一元二次方程的一般形式： ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。4、下列方程中是一元二次方程的有：_(填序号)（x-1）(2x+1)=3 5、一元二次方程的一般式为_，其中二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_。6、若关于X的方程是一元二次方程，则的取值范围_。二、下面的这些方程是一元二次方程吗？为什么？（1） （2） （3）3x

2、2=0 （4） （5） （6） （7）二、请你来试一试：问题1、将方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。问题2、若关于x的方程是一元二次方程，则m= 。三、能力提升:补充练习：已知方程：（1）；（2）；（3）； （4） （5） ；（6）。其中是一元二次方程的有 。2、你能说一说下列方程的二次项系数、一次项、常数项分别是多少吗？方 程一般形式二次项系数一次项系数常数项3、方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）A 任何实数 B C D 4、一个等腰直角三角形，斜边比直角边长2cm，设斜边长为xcm，列方程为 ，化为一般形式为 。5、4个完全相同的正方形的面积之和是25

3、，设正方形的边长是x，列方程为 ，化为一般形式为 。6、把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方。设较短一段的长为x，列方程为 ，化为一般形式为 。7、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600。那么铁皮各角应切去多大的正方形?设切去的正方形的边长为xcm，列方程为 ，化为一般形式为 。2.2一元二次方程的解法导学案（1）一、预习内容1、什么是一元二次方程？将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项（1） （2） （3）2、

4、如何解方程 x24，什么是方程的根？二、学习内容例1 解下列方程： （1）x22 （2）4x210注：形如方程（k_）可变形为x2k (k_)的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个_数，可用直接开平方法解此方程。方程的两根分别用表示。例2 解下列方程： （x1）2= 2 2（x1）24 = 0 12（3x）23 = 0注：形如的方程的解法。（1）解形如的方程时，可把看成整体，然后直开平方程。（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，（3）如果变形后形如中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。（4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。三、

5、练习1、用直接开平方法解方程（xh）2=k ，方程必须满足的条件是（）Ako Bho Chko Dko2、方程（1-x）2=2的根是（ ）A.-1、3 B.1、-3 C.1-、1+ D.-1、+13、下列解方程的过程中，正确的是（ ）(A)x2=-2,解方程，得x= (B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1=;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-44、解下例方程 (1)4x2=9 (2)3(2x+1)2=12 （3）45x20； （4）12y2250； （5）16x2250.

6、（6） 4x210 (7)81(x-2)2=16 ； (8)(2x+1)2=25；2.2一元二次方程的解法导学案（2）一、预习内容请说出完全平方公式。 （ab）2 = （a-b）2 = 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）3、通过类比的思想，思考如何解下例方程： 二、学习内容问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？ 问题 2、能否将方程转化为（的形式呢？例题1解方程 （1）x30. （2）2x2-3x+6=0小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、先把方程化成一般形式，并且二次项系数化为1再把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方

7、；3、方程右边是非负数时可利用直接开平方法求解。思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？例题2 将下列各进行配方：8x_（x_）2 5x_（x_）2 2.5 x_（x_）2 26x_（x_）2三、练习1、填空：（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)4x2+x+ =(x+ )2；(5)x2+px+ =(x+ )2；2、将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；3、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9C.(x-8)2

8、=16 D.(x+8)2=574、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，则q的值为（ ）A. B. C. D. -5、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（）A.9 B.7 C.2 D.-26、用配方法解下列方程：（1）x2-4x=5； （2）2x2-7x+3=0；（3）4x2+8x+3=0； （4）y2+2y-4=0；7、用配方法说明代数式 2x24x3的值恒大于0，并且说出x为何值时它有最大值？最大值为几？8、试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。2.2一元二次方程的解法导学案（3）一、预习内容：1、用配方解一元二次方程的

9、步骤是什么？2、用配方法解方程：x2 + 3x -1=0 二、学习内容问题1能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢？问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b24ac0？当，且时，大于等于零吗？让学生讨论、交流，从中得出结论：.当b2 -4ac 0时， 的根为。.当b2 -4ac =0时， 的根为。.当b2 -4ac 0时， _。 这个公式说明方程的根是由方程的系数、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。思考：当时，方程有实数根吗？例1、解下列方程：(1) (2)；(3) (4)三、思考：用公式法解一元二次方程有哪些步骤

10、？与配方法比较，如何选择？四、练习1、方程x2+x-1=0的根是 。2、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。3、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）A. x1.2= B. x1.2=C. x1.2= D. x1.2=3、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 .4、方程的解为 5、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）A. x1=1,x2=3 B.x=22 C.x=2 D.x=-226、用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0；（

11、3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.7、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。2.2一元二次方程导学案（4）一、预习内容用公式法解一元二次方程 二、学习内容(1)若0 则方程_ 若 =0 则方程_若0则方程_（2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 若方程有两个不相等的实数根，则_ 若方程有两个相等的实数根， 则_ 若方程没有实数根 则_（3）定理与逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情况下，根据值的符号，用定理来判断方程根的情况。 逆定理的用途是：用逆定理来确定值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。（4）注意运用定理

12、和逆定理时，方程必须为_ （a ）。 例1：不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 3x2x1 = 3x （2）5（x21）= 7x （3）3x24x =4 例2：求证关于x的方程（m2+1）x2-2x（m2+4）= 0没有实数根例3：已知关于x的一元二次方程(k1)x22kxk30k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?三、练习1方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2下列方程中，没有实数根的方程式（ ）A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=03方程a

13、x2+bx+c=0(a0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）A.b2-4ac0 B. b2-4ac0 C. b2-4ac0 D. b2-4ac04如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .5方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定6关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )A.k-1 B.k-1 C.k1 D.k07已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .8若方程有实数根，则的范围是_。9若关于的一元二次

14、方程有两个相等的实数根，则_。10当k为何值时，关于x的方程kx2（2k1）xk3 = 0有两个不相等的实数根？11若关于的一元二次方程（m-1）x2+x1 = 0有实数根，求m的取什范围。12若关于的一元二次方程ax2+bxc = 0（a0）有两个相等的实数根，试求：a b2(a-2) 2b2-4的值。2.1用分解因式法解一元二次方程导学案（2）一、预习内容你能解决这个问题吗？一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？小明是这样解的： 解设这个数是x. 依题意得：x2 = 3x 两边同时约去x，得 x = 3 这种解法正确吗？（答：_） 二、学习内容引例：方程x2 4=0

15、 左边能否化成两个一次因式的乘积当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.即如果AB = 0 A = 0或B = 0简记歌诀：左分解，右化零，两因式，各求解。2（1）方程 (x + a)(x + b) = 0的两个根为x1 =_，x2 = _（2）方程(x + 2)(x -3) = 0的两个根为x1 =_，x2 = _例 1：解下列方程 (1) (3x+2)(4-x)=0 (2) 3 x2=12 (3) 4x(x-2)=5(x-2) (4) 2（3x）2=3x-9例2解下列方程（1）x23

16、x-10=0 (2) x2+2x-3=0 (3) x2+11x+10=0三、练习1填空（1）方程 x2= x的解是_， （2）方程x2（x2-1）=6，则，x2的值是_，（3）（3x）（x+1）= x-3的解是_，2解方程（1) 4x2 -9=0 (2) (2x+1)2-5=0 （3）（3x）2= 4(2x+1)2 (4)9x2-6x+1=0 (5)2x2-7x+3=0 (6) x2+3x-28=0(7) (8)(8) (9)3已知下列关于x 的一元二次方程：x2-1=0 x2+x-2=0 x2+2x-3=0 （1）根据上列方程，试写出第n个 一元二次方程（2）根据方程的特点，求出第n个 一元

17、二次方程的根（用n来表示）一元二次方程的解法习题课导学案（复习课）一、教学过程一元二次方程共有几种解法？_种，分别为_.二、学习内容例1、用配方法解下列方程： （2） (2x-1)2-18=0（3）x2 -4x -2=0 （4）2x2 -3x -4=0例2、用公式法解下列方程：（1） x2 -3x-2=0 （2） 2x2 -3x-4=0 例3、用因式分解法解下列方程：（1）x2 -3x=0 （2）x2 -3x+12=0三、练习1、方程5 x2= x的解是_.2、方程x（x-1）=x的解是_. 3、方程7x（3-x）=2（x-3）的解是_.4、方程2x2+ x-1=0的解是_.5、方程x2+2

18、x-1=0的解是_.6、方程2x2+2x+1=0的解是_.2、选用适当的方法解下列方程:(1) 3x2+4x-1=0 (2) （3x -2）2-49=0 (3) x2+6x5=0 (4) (x+2)(x1)=10 （5）(x-2)2=2(x-2) (6) （3x -4）2=（4x -3）23、用配方法证明：关于x的方程（m2 -12m +37）x2 +3mx+1=0，无论m取何值，此方程都是一元二次方程补充一元二次方程根与系数导学案一、预习内容 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？x2 + x = 0 x2 + x = 0方程x1

19、x2x1 + x2x1 x2x2 + x = 0 x2 + x = 0. 尝试探索，发现规律：完成上表猜想一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？二、学习内容推导验证：设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根如果ax2+bx+c=0（a0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_（ x1.x2=_注意：一元二次方程的根与系数的关系的应用有两大前提：（1）、它是_方程即条件为_; （2）、方程必须_即条件为_.例.不解方程，求出方程两根的和与两根的积 x2 + x = 0 x2 + x += 0 x2 x+= 0例2已知方程的x2 -4x +c= 0一个根为，求另一根及

20、c的值.例3设方程x2+3x+1=0的两根为x1,x2,求下列各式的值：（1）x12+x22 （2）+ （3）（x1-3）（x2-3）（4）（x1-x2）2 （5）x1-x2 三、练习1、如果方程的两个实根互为相反数，那么的值为_2、设、是方程的两根，则 ； ； 。3、已知方程的两实根差的平方为144，则 。4、已知方程的一个根是1，则它的另一个根是 ，的值是 。5、反比例函数的图象经过点P（、），其中、是一元二次方程 的两根，那么点P的坐标是 。6、已知、是方程的两根，则的值为 。7、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程：的根，则的值为（ ） A、3

21、B、5 C、5或3 D、5或39、已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于3，关于的方程有实根，且为正整数，求代数式的值。10、已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设、是方程的两根，且，求的值。2.3一元二次方程的实际应用导学案（1）一、合作交流，解读探究：板演并讲习探究1：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人。开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x个人，用代数式表示，第一轮后共有（ ）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有（ ）人患了流感。则可列方程为：解之得三轮传染后有多少人患流感？四轮呢？二、

22、检查自学效果1.(2010年毕节地区)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ）A8人B9人C10人D11人2. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件;全组共互赠了182件.如果全组有x名学生,则根据题意列出的方程是（ ）A. B. C. D.三、指导学生应用某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（2009广东中考9分） 四、当堂训练：1. 一个多边形

23、的对角线有9条，则这个多边形的边数是（ ）.A6 B. 7 C 8 D. 92. 元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有( )人A.11 (B.12 C.13 D.143九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（ ）Ax（x+1）=240 Bx（x-1）=240 C2x（x+1）=240 Dx（x+1）=2404.参加中秋晚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有（ ）人参加聚会。5学校组织了一次篮球单循环

24、比赛，共进行了15场比赛，那么有 个球队参加了这次比赛。6.甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？ 2.3一元二次方程的应用导学案（2）一、预习内容例1、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？例2、某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?小结：例1中 原始量、现在量、

25、增长率为x 、增长次数为n 则增长率公式为_例2中 原始量、现在量、减少率为x 、减少次数为n 则减少率公式为_二、本课小结：增长率公式与减少率公式的内容三、练习1、某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和 HYPERLINK /kexue/ t _blank 科学种田,2009年粮食产量上升到60.5吨.求平均每年增长的百分率.2、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？3、某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨,此后每月比上个月产量

26、提高的百分数相同,且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数.4、江阴市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款, HYPERLINK / t _blank 计划到2010年共捐款4.75万元,问该厂捐款的平均增长率是多少?2.3一元二次方程的应用导学案（3）一、预习内容引例1：一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。二、学习内容例1、如图所示（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？（ 例2、如图，在矩

27、形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t3）。那么，当t为何值时，QAP的面积等于2cm2? 三、练习1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后PBQ的面积等于8 cm2？3、如图，

28、有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。2.3一元二次方程的应用导学案（4）一、预习内容引例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？引例2、某商店经销一种销售成本为每千克40元的