概率论与数理统计教学课件第三章随机向量及其独立性小结

1、基本概念要清楚随机向量，联合分布函数，联合分布律，联合概率密度函数，边缘分布函数，边缘分布律，边缘概率密度，随机变量的独立性随机向量函数的分布，极大极小值的分布第三章 随机向量及其独立性对于随机向量(X,Y),称为(X,Y)的联合概率分布函数，简称联合分布(joint distribution).一 二维随机向量的联合分布函数 分布函数的性质且(3) 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有 F(x, y)=F(x0 , y) F( x, y )=F(x, y0 ) (4)二维随机向量的边缘分布函数(marginal distribution function)

2、. FX (x)=PX x = PX x, Y+=F(x,+ ) FY (y) =PY y = PX+, Y y=F(+, y) 则称随机变量X,Y独立. 如果对任何实数x,y， 两个随机变量相互独立 对任何x,y 多个随机变量的独立性此时称Xj是独立序列(independent sequence).定理1相互独立.(1) 定义称X = (X1, X2, , Xn) 是n维随机向量，也简称随机向量,其中X1, X2, , Xn都是 随机变量. n 维随机向量为X =(X1, X2, , Xn )的联合分布函数, 简称联合分布.(2)设X = (X1, X2, , Xn ) 是随机向量, 称n元

3、函数定义 若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无穷多对, 则称(X,Y)为二维离散型随机变量. 二 二维离散型随机向量及其分布联合分布律称上式为随机向量 ( X,Y ) 的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律.性质二维随机向量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为边缘分布律 二维离散型随机向量的独立性若离散型随机向量 ( X,Y )的联合分布律为两个离散型随机变量相互独立时，它们 的联合分布律等于两个边缘分布律的乘积 .三 连续型随机向量及其联合密度(joint density). 性质 边缘密度联合分布与联合密度1.二维均匀分布两个常用的二维随机向量 设D为平面上的区

4、域, 面积若 (X,Y)的联合密度为则称(X,Y)在D上服从均匀分布.2.二维正态分布结论 1结论 2结 论 3结论4若二维随机变量 (X , Y ) 服从正态分布 则 X 与Y 相互独立的充分必要条件是 = 0 n维连续型随机向量四 两个随机变量函数的分布(1) 离散型随机向量(X，Y)的函数的分布2 连续型随机向量函数的概率分布(1).已知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布. 若Z为连续型随机变量,则在f(z)的连续点处两个随机变量和的概率密度的一般公式若X和Y独立, (X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则五 极大极小值的分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)= FX(z) FY(z)FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) 推广例1 设随机变量X与Y相互独