概率论与数理统计教学课件第三章随机向量及其独立性02

1、3.4随机向量的函数的分布 设(X, Y)是二维随机变量,z = (x, y)是一个已知的二元函数,如果当(X, Y)取值为(x, y)时, 随机变量Z取值为z = (x, y),则称Z是二维随机变量的函数,记作Z = (X, Y)问题: 已知(X, Y)的分布, 求Z = (X, Y)的分布.一、离散型随机向量函数的分布 例1概率解等价于概率例2设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为求随机变量 Z=X+Y 的分布律.得因为 X 与 Y 相互独立, 所以解可得所以解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,例3X, Y 相互独立证明由前面的例题可知例4例5设X和Y相互独立，XB(n1,p)

2、,YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布. 我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p. 若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p. 故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数.每次试验中A出现的概率为p.于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).解（续）从问题的背景出发得到的结果更直接，更容易理解.更一般地，二、连续型随机变量函数的概率分布1. 已

3、知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布. 若Z为连续型随机变量,则在f(z)的连续点处 解例6X,Y相互独立设Z的分布函数和概率密度分别为例7已知(X,Y) f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.解1由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率密度为例7已知(X,Y) f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.解2由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率密度为推论 设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y). 若X和Y独立, 则两个随机变量和的概率密度的一般公式解例8被积函数的非零域 10(10,10)(10,20)2020例9解被积函数的非零域 已知X, Y

4、 相互独立且均服从标准正态分布，求Z=X+Y的概率密度.解例10若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2). 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.一个重要的结论3.5极大极小值的分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函数.M=max(X,Y)FM(z) = PMz = Pmax(X,Y)z= PXz,Yz= PXz PYz= FX(z) FY(z) 类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是=1-PXz,YzFN(z) =PNz =P

5、min(X,Y) z=1 Pmin(X,Y) z=1- PXzPYz= 1-1-FX(z)1-FY(z) 推论例1 下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型随机变量时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.解1记1-p=q，则P(Xi=k) = p q k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .例2P(Y=n) = P(max(X1,X2)=n)= P(X1=n, X2n) + P( X2 =n, X1 n)n=0,1,2,解2 P(Y=n)=P(Yn) - P(Yn-1)=P(max(X1,X2) n ) -