矢量分析与场论推导

1、矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数 的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这 个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学 习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算 子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题， 打下了必要的数学基础。第1章矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称 为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变 或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运 动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究

2、的重要 对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系矢函数及微 分、积分和它们的一些主要性质。 1.1矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数(简称矢函数)的概 念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。1、矢函数的概念定义1.1.1设有数性变量f和变矢A,如果对于f在某个范围Q内的每 一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量f的矢 量函数，记作A=A(r)(1.1.1)并称Q为矢函数A的定义域。在Oxyz直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A具(0,A (0,A (1.1.2)尤yz其中A (0,A (0,A都是变量f的数性函数，可见一个矢函数和三个 尤yz

3、有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢 函数相当于三个数性函数。本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A的起点取在 坐标原点。这样当变化时，A的终点M就描绘出一条曲线z （图 1.1）,这样的曲线称为矢函数A。）的矢端曲线，也称为矢函数A（r）的 图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点。也 称为矢端曲线的极。由于终点为y, z）的矢量对于原点。的矢径为 r = OM = xi + + zk当把A。）的起点取在坐标原点时,A实际上就成为其终点M（x,y,z）的矢径，因此A。）的三个坐标A （0,A （0,A就对应地等于其终点MX y

4、z的三个坐标X, y, z ,即x = A （ty = A （号=A （t）（1.1.3）xyz此式就是曲线z的参数方程。只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改 变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的 球面上的某一曲线。2、矢函数的极限和连续性定义1.1.2设矢函数A。）在点I的某个领域内有定义（但在I处可以OO无定义），A为一常矢。若对于任意给定的正数8 ,都存在一个正数8 , 0使当(满足0 卜-时，就有IA (t) A 10 TOC o 1-5 h z AA (0 . r AA (t) . AA (t) -hma-i + hmv j + hmz

5、kzVtO& zVtOzVtO&dA . dAdA 1 I + J + k kdt dtdt即At) = A1 (t)i + Af (0 j + Af (以(1.2.3)xyz矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。例 1.2.1 已知 rt) = e( costi + et sin tj + etk ,求导矢 r(t)。解r(t) = (o c o 敛 + (o s i + etk= er( c ots-si m)i + ef( s i*c o j + etk例 1.2.2 设g(p) = cos(p，+ sin(p/,g (cp) =sin皿+ cos(p/i证明 e(cp) = e

6、 (p),e(p) = e(cp),及 e(cp) 1 e (cp) i ii证g(cp) = (cos(p)7 + (sincp)rj=-sincpf + cos(f)/=%(中)(甲)=(-sin 9)7 + (cos(p)rj= cos (pi sin (pf=-。(甲)又g(cp)e(cp)=cos (p (- sin cp) + sin cp cos cp = 0所以 e(甲)_Le(p) o1容易看出，e(P)为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此。(甲)又叫圆函数；与之相伴出现的e(p)亦为单位矢量，其矢端曲线亦为单位 1圆，如图1.2.2。2、导矢的几何意义如图1.2.1,

7、设/为A。)的矢端曲线，竺堕是/的割线上的一个矢 At量。当攵0时，其指向与AA。) 一致，指向对应f值增大的一方；当Af0时，其指向与AA相反，如图1.2.3,但此时AA指向对应值减少的一方，从而山仍指向对应f值增大的一方。At当攵0时，由于割线而绕点M转动，且以点M处的切线为其极限位置，此时，割线上矢量竺堕的极限位置，也就在此切线上，这就At是说，导矢.AAQ)A (0 = lim Af o当其不为零时，是在点M处的切线上，且方向恒指向对应f值增大的 一方。因此，导矢在几何上为一矢端曲线的切向量，指向对应值增大 的一方。3、矢函数的导数公式设矢函数A(打B及数性函数在f的某范围内可导，则在

8、该范围内成立下列公式(C) = o(C 为常矢)；dt,d / z dA , dB(AB) =；dtdt dtd (kA) = kdA 否认 (k为常数)；dtdt/八 d , du * dA(uA) =A + u；dt dt dtd ,人 m 人 dB dA 一(A8) = A+ B ；dtdt dtz/特另UA2 2A,(其中 A2 = A A )；dtdt3、 d . . d、 4 dB dA 一(Ax B) = Ax + xB ；dtdt dt复合函数求导公式：若A = A(), = (r),贝UdA _ dA dudt du dt这些公式的证明方法，与微积分中数性函数的类似公式的证法

9、完全相同。例如(6)的证法如下A(AxB) = (A + AA)x(B + AB)-AxB=AxB+AxAB+AAxB+AAxAB-AxB= AxAB + AAxB + AAxAB以也除上式两端，有A(AxB) 4 AB AA n 4 AB=Ax + xB +AAx AtAt AtAt再令也0,求极限可得d(AxB) A dB dA n =Ax + xBdtdt dt例1.2.3证明定长矢量与其导矢互相垂直。证 假定I A(f) 1=常数，则有4(0 4(0 =1 如)12=常数两端对f求导，得2加)空虹0dt这说明矢量A。)与办的数量积等于零，而这只有两者互相垂直时 dt才有可能，故a（o

10、i 2dt反之，若有A.dA=Q,dt则有 A2 = 0,dt从而 A2 =1 A |2=常数。所以 IAI=常数。z； 4 = n 由此可得，矢函数A模不变的充要条件是A竺二 dt特别，对于单位矢量A。）有4 , dAoAo _Ldt利用矢量的可分解性：现说明的一个性质，因为A=IAIAo,A为t 的函数，A0是A方向上的单位矢量，所以A的导数为 TOC o 1-5 h z dA dA A 4.dAoz.-.= Ao+I Al（1.2.4）dt dtdt因为空1垂直于单位矢量Ao（0 ,也就垂直于A。），于是式（1.2.4）中 dt的第一项些A0平行于矢量A,第二项IAI 垂直于矢量A。dt

11、dt即世可分解为分别为与A平行和垂直的两个分矢量的和。dt4、矢函数的微分(1)微分的概念与几何意义定义1.2.2设A = A为一矢函数，贝UdA = A(t)dt dt = Af)(1.2.5 )为A(r)在r处的微分。由于微分办是导矢#0)与增量也的乘积，所以它是一个矢量，而且 和导矢#0)一样，也在点肱处与A(r)的矢端曲线/相切，其指向随出 的符号而改变。当力0时，与#()的方向一致；当出0时，贝U与 #方向相反，如图1.2.4。微分办的坐标表示式，可由(1.2.3)式求得，即dA = Ar(t)dt=W (t)i + Ar (t)j + At)kiit TOC o 1-5 h z X

12、yz=Af (t)dti + Af (t)dtj + Af (t)dtkxyx或dA = dAi + dA j + dAk(1.2.6)尤yz例 1.2.4 设 r(0) =(2cos0f+ Z?sin0j ,求尸及 Idrl。解dr = d(acos)i + d(b sin0) j = -a sin+ b cos=(-asin0 f + Z?cos0 j)dQI dr 1= (-a sin 0(70)2 + (Z?cos0d0)2 I=V2 sin2 0 +Z?2 COS2 0 I(70 I(2)攵的几何意义 ds如果矢函数A(f) = A (Oi+A (Oj+A (Ok看作其终点M(x,y

13、,z)的矢径 XvZ函数r = j+z k这里，x = A (ty = A (O,z = A (0，贝J (1.2.5)式又可写为 xyzd r = dxi + dy + dzli(1.2.7)其模为I d rl=寸(办* + (dy)2 + (z)2(1.2.8)另一方面，若在有向曲线/上，取定一点M作为计算孤长s的起点， 0并以/之正向作为S增大的方向，则在/上任一点M处，孤长的微分是ds = J(dx)2 + (dy)2 + (衣)2按下述办法取右端符号：以点M为界，当出位于s增大一方时取正号; 反之，取负号，如图1.2.5。由此可见，有ldrl=ldsl(1.2.9)这就是说，矢函数微

14、分的模等于(其矢端曲线)孤微分的绝对值。从而由ds(1.2.10).,.drdrI d rl= ds = dsdsdrdr ds ds再结合导矢的几何意义知，矢函数对(其矢端曲线)孤长s的导数；在 as几何上为一切向单位矢量，恒指向s增大的一方。例1.2.5导矢的物理意义设质点M在空间运动，其矢径尸与时间f的函 数关系为r - r(t)这函数的矢端曲线/,就是质点M的运动轨迹，如图1.2.6。为了说明导矢攵的物理意义，假定质点在时刻f = 0时位于点M处， dto经过一段时间f后到达点M ,其间在/上经过的路程为s,这样点M的 矢径,显然是路程s的函数，而S又是时间的函数，从而r = r(t)

15、可看 作,是通过中间变量s而成为时间t的一个复合函数。由复合函数求导 公式有 dr dr ds dt ds dt式中空的几何意义，如前所述，是点M的一个切向单位矢量，指向s ds增大的一方。因此，它表示在点M处质点运动的方向，以匚代之，而 式中空是路程s对时间t的变化率，它表示在点M处质点运动的速度 dt大小，如以u表示，贝Udrdt由此可见，导矢办表出了质点M运动的速度大小和方向，因而它就是 dt质点M运动的速度矢量u ,即U = =UT(1.2.11)dt若定义二阶导矢-=-!贝揶=加=如为质点肱运动的加速 dt dtdt Jdt 力 2度矢量。 1.3矢函数的积分与数性函数的积分类似，矢

16、函数也有不定积分和定积分的概念，分述如下：1、矢函数的不定积分定义1.3.1若在的某个区间/上，有则称B为A。)在 此区间上的一个原函数，在区间/上，A(r)的原函数的全体，称为A(r)在/上的不定积分，记作和数性函数一样，若已知B是A。)的一个原函数，则有= +C(1.3.2)其中。为任意常矢。(1.3.3)容易证明，数性函数不一定积分的基本性质对矢函数也成立: j 上 A= k A(t)dt(1.3.4)(1.3.5)a A(t)dt = g j A(t)dt(1.3.6)a x A(t)dt = g x j A(t)dt(1.3.7)其中。为常矢，*为常数。若已知 A(O = A (Oi

17、 +A (Oj +A (Ok,则由(1.3.4)与(1.3.5)式有XVZf A(t)dt = if A (t)dt + jf A。)力+ k f A (t)dtXyZ(1.3.8)即一个矢函数的不定积分，归结为求三个数性函数的不定积分。此外，数性函数的换元积分法与分部积分法也使用于矢函数。例1.3.1若质点运动的方程是，贝U其速度为。=空，加速度为 dta = =-,当质点运动的加速度为。=i (6cosr)+j (4sinl) + keTdt 出2时，求r与u，其中r (0) = 0, u(0) = 0。解f adt = i J*6cos W + j J(4sin tdt) + kf e-

18、tdt=i(6sinl + c ) + j(-4cost + c ) + k(-e-t +c )123由于u(0) = 0,因而。=0,c =4,c =1,艮123u =i(6sin t) - j(4 cos f - 4) - k (-e-t -1)所以Yv）dt=i f 6 sin tdt -jf (4cos t - kf (e-t -Y)dti (一6 cos t + k ) 1 (4 sin t + k ) + k (e-* + r + R )123由于r(0) = 0,因而化=6,k =Q,k = 1 ?于是 123r(t) = i(-6 cos f + 6) + j (-4 sin

19、f + 4f) + k (e-? + r 1)例 1.3.2 计算 f 2(pe(q)2 +l)(iq)o解用换元法，令二中2+1,贝ljj 2cpe(cp2 +1)日cp f e(u)du = -e () + c1=-e (cp2 +1)i例 1.3.3 计算积分 A(p) = f(pe(q)W 解用分部积分法A（p） = f（pe（p）dq）= -f de （p）1=(pe (p) + J e (cp)dcpii=-cpe (cp) + e(cp) + ci2、矢函数的定积分定义2设矢函数A0）在区间T,T上连续，则A0）在T,T上的定积 1212分是指下列和式极限fr2 A(t)dt = lim E Aft )Ar(1.3.9) TOC o 1-5 h z T11(/2T8)J】其中T =t t t -t =T 为区间t，门上上的一点；1012n 2 ii-1 iAt =t -t ;人=maxv (，= 1,2,)。i i i1i可以看出，矢函数的定积分也有与数性函数定积分类似的性质。例如若B是A0)在区间尸0上的一个原函数，则有 12A(t)出=B(T)-B(T)(1.3.10)j7211若 A(r) =A (Oi+A (Oj+A (Ok,贝U 尤yz如)a=ij&A (泌+ jj如(t)dt + k