无穷积分性质和收敛判别

1、关于无穷积分的性质与收敛判别第一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月一、无穷积分的性质第二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月第三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证极限的柯西准则,此等价于收敛的充要条件是:(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分 定理11.1第四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月性质1为任意常数,则 即根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2. 第五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月性质2第六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月h(x) 在任意 a, u上可积, 且证 因为收敛,由柯西准则的必要性,例1, f (x), g (x),

2、若第七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月再由柯西准则的充分性,第八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 何有限区间 a, u上可积,性质3 (绝对收敛的无穷积分必收敛)若 f 在任第九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月因此再由柯西准则的充分性, 又对任意 证由柯西准则的必要性, 对因第十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例2的收敛性.判别解由于第十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月二、非负函数无穷积分的收敛判别法引理(非负函数无穷积分的判别法)设定义在 上的非负函数

3、f 在任何收敛的充要条件是:第十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证设增函数的收敛判别准则, 从而 F (u) 是单调递增的由单调递第十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月非负函数 f , g 在任何有限区间a, u上可积, 且定理11.2 (比较判别法) 设定义在 上的两个存在 满足第十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证 由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立. 第十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例3 判别的收敛性.解显然第十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函

4、数. 证 例4 证由于 第十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 a,u 上可积, 且第十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证 即 第十九张，PPT共三十八页，创作于2022年6月第二十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月推论2 设 f 是定义在 上的非负函数, 在任何限区间 a, u 上可积.推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有说明: 推论3是推论2的极限形式.第二十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例5 讨论的收敛性 ( k 0 ).解 (i)第二十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月Ex1解所给广义

5、积分收敛Ex2解根据柯西极限审敛法 ，所给广义积分发散第二十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月Ex3解根据柯西极限审敛法 ，所给广义积分发散第二十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月第二十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证Ex6: 用比较审敛法证明：即收敛.第二十六张，PPT共三十八页，创作于2022年6月Ex7解所以所给广义积分收敛.第二十七张，PPT共三十八页，创作于2022年6月三、一般函数无穷积分的判别法狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.定理11.3(狄利克雷判别法）证故第二十八张，PPT共三十八页，创作于2022年6月使得因此, 由柯西准则，第二十九张，PP

6、T共三十八页，创作于2022年6月证 证法1定理11.4 (阿贝尔判别法)由 g 的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 使得第三十张，PPT共三十八页，创作于2022年6月由柯西准则,第三十一张，PPT共三十八页，创作于2022年6月证法2由狄利克雷判别法收敛,所以第三十二张，PPT共三十八页，创作于2022年6月例6的收敛性.收敛.解由狄利克雷判别法推知另一方面，第三十三张，PPT共三十八页，创作于2022年6月狄利克雷判别法条件, 是收敛的；第三十四张，PPT共三十八页，创作于2022年6月类似可证:第三十五张，PPT共三十八页，创作于2022年6月当x+时,被积函数即使不趋于0,甚至无界,无穷积分仍有可