高中数学必须第二册（苏教版）课后习题第十五章概率：模块综合测评

1、高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某学校有高中学生1 000人,其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向,现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本

2、,那么应抽取高二年级学生的人数为() A.68B.38C.32D.30答案D解析根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为1001 000=110,则高二年级应抽取的人数是300110=30.2.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下:918990929487939691858993889893这组数据的60百分位数、90百分位数分别为()A.92,96B.93,96C.92.5,95D.92.5,96答案D解析将这组数据按从小到大排列得85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98,则1560%=9,1590%=13.5,所以60百分位数为92+9

3、32=92.5,90百分位数为96.3.若|z-2|=|z+2|,则复数z对应的点Z在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限答案B解析|z-2|=|z+2|,点Z到(2,0)和(-2,0)的距离相等,即点Z在以(2,0)和(-2,0)为端点的线段的中垂线上.4.在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面展开图的面积为()A.5B.6C.3D.4答案A解析圆锥的侧面展开图是半径为5,弧长为2的扇形,其面积S=12lr=1225=5,所以圆锥的侧面展开图的面积为5.5.已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱

4、的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()A.323B.4C.2D.43答案D解析正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,正四棱柱体对角线的长为1+1+2=2.又正四棱柱的顶点在同一球面上,正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球的半径R=1,根据球的体积公式,得此球的体积V=43R3=43.6.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为S,且a=1,4S=b2+c2-1,则ABC外接圆的面积为()A.4B.2C.D.2答案D解析由余弦定理得,b2+c2-a2=2bccos A,a=1,所以b2+c2-1=2bccos A.又S=12bcsin A,4S=b2+c2-1,所

5、以412bcsin A=2bccos A,即sin A=cos A,tan A=1,又0AB,则sin Asin BC.若a=5,b=3,B=60,则符合条件的ABC有两个D.若cos2A+cos2B-cos2C1,则ABC必为钝角三角形答案BD解析因为sin 2A=sin 2B,又02A2,02B2,02A+2BB,则ab,由正弦定理asinA=bsinB=2R,得2Rsin A2Rsin B,即sin Asin B成立,故B正确;由余弦定理可得,b2=52+c2-25c12=9,可得c2-5c+16=0,1,则1-sin2A+1-sin2B-1+sin2C1,可得sin2A+sin2Bsi

6、n2C,则根据正弦定理得a2+b2c2,可得C为钝角,可得ABC是钝角三角形,故D正确.11.为比较甲乙两地某月14时的气温,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据制成统计表如下:地区温度甲2629283131乙2830312932从表中能得到的结论有()A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C.甲地该月14时气温的方差小于乙地该月14时气温的方差D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差答案AD解析甲地该月5天14时的平均气温为15(26+28+29+31+31)=29,乙地该月5天14时的

7、平均气温为15(28+29+30+31+32)=30,故可得甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温,故A正确,B不正确.甲地该月5天14时温度的方差为s甲2=15(26-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(31-29)2=3.6;乙地该月5天14时温度的方差为s乙2=15(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-30)2=2,故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方差,甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差,故C不正确,D正确.故选AD.12.(2021福建三明三元模拟)如图,在

8、三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA平面ABC,ABC=90,AB=PA=6,BC=8,则()A.三棱锥D-BEF的体积为6B.直线PB和直线DF垂直C.平面DEF截三棱锥P-ABC所得的截面面积为12D.点P与点A到平面BDE的距离相等答案ACD解析对于A,由三角形中位线定理可得DE=12PA,且SBEF=14SABC.所以三棱锥D-BEF的体积为18VP-ABC=181312686=6,故A正确;对于B,由已知得BCPB,又EFBC,可得EFPB,假设直线PB与直线DF垂直,又DFEF=F,可得PB平面DEF,又AB平面DEF,与过平面外一点有且只有一条直线垂

9、直该平面矛盾,故B错误;对于C,如图,取PB中点M,连接DM,FM,可得平面DEF截三棱锥P-ABC所得的截面为矩形MFED,面积为34=12,故C正确;对于D,由已知可得PADE,而PA平面DBE,DE平面DBE,所以PA平面DBE,故点P与点A到平面BDE的距离相等,故D正确.故选ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(x,2),b=(2,1),c=(3,x),若ab,则|a+c|=.答案52解析因为ab,所以x-22=0,解得x=4,则b+c=(2,1)+(3,4)=(5,5),所以|b+c|=52.14.已知在三棱锥P-ABC中,若PA平面ABC,P

10、A=AB=AC=BC,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案24解析过点B作BDAC,且BD=AC,连接AD,则四边形ADBC为菱形,如图所示,PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角.设PA=AB=AC=BC=a,AD=a,BD=a.PA平面ABC,PB=PD=PA2+AD2=2a,cosPBD=PB2+BD2-PD22PBBD=2a2+a2-2a222aa=24.异面直线PB与AC所成角的余弦值为24.15.甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若2人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若3人击中,则飞机

11、一定被击落.飞机被击落的概率为.答案0.492解析设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,B,C,依题意,A,B,C相互独立,故所求事件概率为P=P(AB C)+P(A B C)+P(A BC)0.2+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)0.6+P(ABC)=(0.40.50.2+0.60.50.2+0.60.50.8)0.2+(0.40.50.2+0.60.50.8+0.40.50.8)0.6+0.40.50.8=0.492.16.在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案12257210解析在ABD中,由正弦定理,得ABsi

12、nADB=BDsinBAC,而AB=4,ADB=135,AC=AB2+BC2=5,sinBAC=BCAC=35,cosBAC=ABAC=45,所以BD=1225,cosABD=cos(BDC-BAC)=cos 45cosBAC+sin 45sinBAC=7210.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)求ab的值及|a+b|的值;(2)当实数k为何值时,(a+2b)(ka-b)?解(1)由向量的数量积的运算公式,可得ab=|a|b|cos 120=48-12=-16,|a+b|=a2+b

13、2+2ab=42+82+2(-16)=43.(2)因为(a+2b)(ka-b),所以(a+2b)(ka-b)=ka2-2b2+(2k-1)ab=0,整理得16k-128+(2k-1)(-16)=0,解得k=-7.即当k=-7时,(a+2b)(ka-b).18.(12分)如图,在三棱锥A-BCD中,点E,F分别是BD,BC的中点,AB=AD,AEBC.求证:(1)EF平面ACD;(2)AECD.证明(1)因为在BCD中,点E,F分别是BD,BC的中点,所以EFCD.又因为EF平面ACD,CD平面ACD,所以EF平面ACD.(2)因为点E是BD的中点,且AB=AD,所以AEBD.又因为AEBC,B

14、C平面BCD,BD平面BCD,BCBD=B,所以AE平面BCD.因为CD平面BCD,所以AECD.19.(12分)在ABC中,cos(A+C)=0,sin A=13.(1)求sin C的值;(2)设ABC的平分线与AC交于点D,若AC=3,求BD的长.解(1)由cos(A+C)=0,得A+C=2,又因为A+B+C=,所以B=2.因为sin A=13,所以cos A=223,所以sin C=sin2-A=cos A=223.(2)在RtABC中,sin A=13,AC=3,所以BC=ACsin A=313=1.在DBC中,sinBDC=sin4+A=22(sin A+cos A)=4+26,由正

15、弦定理,得BD=BCsinCsinBDC=82-47.20.(12分)某集团公司为了加强企业管理,树立企业形象,考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查,当不处罚时,有80人迟到,处罚时,得到如下数据:处罚金额x/元50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率.(1)当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少?(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A,B两类:A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为;B类是其他员工.现按分层抽样的方法从A类与B类员工中抽取4人依次进行深度问卷调查,则前两位均为B类员工的概率是

16、多少?解(1)设“当处罚金额定为100元时,员工迟到”为事件A,则P(A)=40200=15,不处罚时,员工迟到的概率为80200=25.所以当处罚金额定为100元时,比不进行处罚员工迟到的概率会降低15.(2)由题意知,A类员工和B类员工各有40人,分别从A类员工和B类员工中各抽出两人,设从A类员工抽出的两人分别为A1,A2,从B类员工抽出的两人分别为B1,B2,设“按分层抽样的方法从A类与B类员工中抽取4人依次进行深度问卷调查,首先抽出A1”为事件M,则M=(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B

17、1),(A1,B2,B1,A2),共6个样本点,同理,首先抽出A2,B1,B2的样本点也各有6个,故样本空间中共有24个样本点,设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N,则N=(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1),共4个样本点,所以P(N)=424=16,所以抽取4人中前两位均为B类员工的概率是16.21.(12分)已知向量m=(cos x,sin x),n=(cos x,-sin x),函数f(x)=mn+12.(1)若fx2=1,x(0,),求tanx+4的值;(2)若f()=-110,2,34,sin =7210

18、,0,2,求2+的值.解(1)因为向量m=(cos x,sin x),n=(cos x,-sin x),所以f(x)=mn+12=cos2x-sin2x+12=cos 2x+12.因为fx2=1,所以cos x+12=1,即cos x=12.又因为x(0,),所以x=3.所以tanx+4=tan3+4=tan3+tan41-tan3tan4=-2-3.(2)因为f()=-110,所以cos 2+12=-110,即cos 2=-35.因为2,34,所以2,32,则sin 2=-1-cos22=-45,因为sin =7210,0,2,所以cos =1-sin2=210,所以cos(2+)=cos 2cos -sin 2sin =-35210-457210=22.又因为2,32,0,2,所以2+(,2),所以2+=74.22.(12分)如图,在AOB中,D是边OB的中点,C是OA上靠近O的三等分点,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示OM;(2)过点M的直线与边OA