多元积分cha12-1二重积分的概念

1、第12章多元函数积分1、二重积分的概念和计算2、三重积分的概念和计算3、第一型曲线积分4、第一型曲面积分12.1二重积分的概念与性质1.柱体的体积，它的底是 xoy面上设有一D，可求面积的有界闭区域它的侧面是以边界 D 为准线zf(x ,y)而母线平行于 z轴的柱面，它的顶是非负连续函数形成的yDz (f曲面x, y )xO柱体这种叫做如何定义及计算曲顶柱体的体积V第一步：分割用有限条曲线把区域 D区域：1,2, , nn个分成以 i为底作n个小柱体，z体积为 V(1i ,2, iVn,于)是ini 1V y i第二步：近似xO)i i( ,， ,)(f i ,i)( ii1 ,Vi2, n

2、，,)则有第三步：求和nn f (i ,i ) i i 1V Vii 1第四步：取极限者为 ，记 n个小区域的直径的最大令 0，取极限nlim f (i ,i ) i V 0 i 1.2非均匀密度的平面薄片的质量设薄片在 xoy该薄片在点 (平面上占有区域 D，y i处的面密度为 (，D其中 ( x, y D上连续.且在xOM求该薄片的质量第一步：分割, n把分成小区域：第二步：近似代替(i ,i 任取， 则有mi (i i i , 2, n)，i第三步：求和nnM mii 1 (i ,i ) i i 1第四步：取极限者为 ，记n个小区域的直径的最大 0，取极限令nlim (i ,i ) i

3、M 0 i 1f (定义设函数zx,)y在有界闭区域D 上有定义1, 2, , n将闭区域Dn任意分成个区域其中 ii表示第 (个区域， 也表示它的面积。)ii(任取,作和) 式，n(fi 1如果当各个小区域的直i, i) i径中的最大值 0，极限nf i (i, )limi 0 i 1存在，且此极限值与区域 D 的分法及( i ,i)的取法无关则称此极限值为f(x ,y)在闭区域D 上的二重积分记作nf i (i,f(D)y d lim )x,i 0 i 1)y d 为被积表达式，其中f(x ,y)为被积函数，f(x,d叫做面积元素，x,y为积分变量，D为积分区域注1() 二重积分的几何意义

4、二重积分表示以xoy 面上的区域D为底，f (以zx,)y为顶的柱体体积的代数和。 f ( x, y) dD也可表示为 f ( x, y) dx dy D(2) f ( x, y) dD(3)与积分变量符号无关(4)二元函数可积的必要条 件是函数有界(5)二元函数可积的充分条件如果函数f ( x, y) 在闭区域D 上连续，则 f ( x, y) 在 D 上可积设 f ( x, y) 和 g( x, y) 在闭区域 D 上都是可积的 kf ( x, y) d k f ( x, y) d(1)DD f ( x, y) g( x, y) d f ( x, y) d g( x, y) d(2)DDD

5、即(3)二重积分对于区域D 具有可加性 f ( x, y) d f ( x, y) d f ( x, y) dDD1D2其中 D1 D2 D，D1 D2 分域性质 f ( x, y) d dD 上有 f ( x, y) 1， 则 SD(4)如果在DD三. 二重积分的性质D 上有 f ( x, y) g( x, y)，(5)如果在则有 f ( x, y) d g( x, y) dDD f ( x, y) dD Dd (i)f ( x, y)特别：若 m f ( x, y) M，(ii)则有m SD f ( x, y) d M SD D(6)积分中值定理则至少存在一点 ( , ) D，若f ( x

6、, y) 在D 上连续， f ( x, y) d f ( , ) SD使D 1 f ( x, y) d也称为函数 f ( x, y) 在 D 上的平均值。SDD设给定 xoy 平面上的有界闭区域 D ( x, y) | x2 y2 1例1试说明 z 1 x2 y2在 D 上可积并利用几何意义D1 x2 y2 d 求出二重积分：由于 z 1 x2 y2解在区域 D 上连续，所以函数z在D 上可积1 x2 y2 d根据二重积分的几何意义，可知D表示半径为 1，球心位于坐标原点的球的上半部分，即xoy面上面的部分 1 4 13 2 1 x2 y2 dD所以32 3 1设 xoy 平面域 D 是由直线 x 0所围成y 1例 2,和2I1 ln( x y) d，D试用二重积分的比较性 2 d， d yy23D质比较D值的大小I1 ,和y解由于在积分区域D 内有：12则有 1，ln( x y) 0，xx y 1O2ln( x x yy)12所以由二重积分的比较 性质可知：I1 d估计二重积分 I 例 3的值ycoscos2x2，|x 1| 00| y 1022由于cosx 1 ，0 解法一0ycos则有11 1 1 cos2xD 的面积为2110020ycos100SD 200 由积分不等式且积分区域200200100 2.I