三角函数的奇偶性与单调性

1、33三角函数的奇偶性与单调性【知识网络】1.正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性；正弦、余弦、正切函数的的单调性.【典型例题】例1(1)已知aR，函数f(x)，sinx-1aI,xR为奇函数，则a=()(A)0(B)1(D)1A提示：由题意可知，/(x),-/(x)可得f(0),0得a=0(2)函数f(x)的单调增区间为(，tanx+4丿A.B.C.D.(2)C提示：令册-2x+4kK+2可得(3)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x0,2时,f(x)，sinx，则f(3)的值为(1A.23B.2c.1D.2(3)B提示:sin5f(3)，f(3+2

2、)，f(3)，f(3)，如果f(x)，sin(x+Q)+2cos(x+Q)是奇函数，则tanp，(4)2由f(x)，f(x)可得/(0)，0已知函数y，f(x)满足以下三个条件：在J】上是增函数以为最小正周期是偶函数试写出一满足以上性质的一个函数解析式UHdEdWJBWi铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构0f(x)cos2x提示：答案不唯一如还可写成f(x)=sinx等例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=sin2xtanx；(2)1,sinx一cosx1,sinx,cosx(3)f(x)=cos(sinx)；(4)f(x)=lgcosx.UHdEdWJBWi铸就梦想，提高成绩，改变

3、人生的高端教育机构0UHdEdWJBWi铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构0兀解：(1)f(x)的定义域为xk兀+2(kZ)，故其定义域关于原点对称,又f(x)=jn(2x)tan(x)=sin2x+tanx=f(x)f(x)为奇函数(2)x=兀时,21,sinx,cosx=2,而x=-：2时1,sinx,cosx=0,UHdEdWJBWi铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构0得cosx1,又cosx1/.cosx=1，故此函数的定义域为x=2k兀(kZ)，关于原点对称，此时f(x)=0f(x)既是奇函数，又是偶函数。例3已知:函数f(x)=log1(sinxcosx).(1)求

4、它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；2求它的单调区间；(4)判断它的周期性，若是周期函数,求它的最小正周期.兀0.2k兀“x一“2k兀+兀(kZ)定义域为4解:(1).由sinx一cosx0兀(”1)2sinxU,2值域为+8(4丿-2丿Z),2k兀+兀，2k兀+5兀(k44丿定义域不关于原点对称,.函数为非奇非偶函数(3)/sinxcosx=2sinUHdEdWJBWi铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构0UHdEdWJBWi铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构03兀5兀f(x)的递增区间为2k兀+,2k兀+)(kZ)44铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构萼鸟教育UH

5、dlxMJBWi铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构3递减区间为(2k+,2k+(k,Z)44.12.f(x)是周期函数，最小正周期T2兀.sin(x+2兀)cos(x+2兀)log(sinx-cosx)=f(x2例4已知函数f(x)sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x,R.求:函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;(II)函数f(x)的单调增区间.TOC o 1-5 h zcos2x3(1+cos2x)、解(I)f(x)=2+sin2x+=1+sin2x+cos2x=2+2sm(2x+厶) HYPERLINK l boo

6、kmark8当2x+=2k+，即x=k+(k,Z)时，f(x)取得最大值2+2.428函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为x/x,R,x=k+(k,Z).8(II)f(x)=2+2sin(2x+厶)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark18由题意得：2k2x+2k+(k,Z)42 HYPERLINK l bookmark403即：kxf(cosB)(B)f(sinA)f(sinB)(C)f(sinA)f(cosB)(D)f(sinA)f(cosB)兀兀兀兀C提示：根据0A+B得0AB所以sinAsin(B)=cosB2222冗3同时具有性质“最小正周期是兀；

7、(2)图象关于直线x=3对称；兀兀在-,上是增函数”的一个函数是()3TOC o 1-5 h z/x兀、/c兀、Ay=sm(+)By=cos(2x+)263 HYPERLINK l bookmark28兀兀Cy=cos(2x)Dy=sin(2x)66兀D提示：由性质(1)和(2)可排除A和C,再求出y二sin(2x-)的增区间即可6设函数f(x)=xsinx,xe-兀，兀，若f(x),f(x)，则下列不等式必定成立的是()2212A.xIx0Bx2x2CxxD.xx121212124.B提示：易知f(x)=f(|xI),且当xUxe0,时，f(|x|)为增函数又由f(x),f(x)，得212f

8、(|x|),f(|x|)，故|x|,|x|，于121212TOC o 1-5 h z5判断下列函数奇偶性(1)f(x)=|sin2x|x-tanx是；(2)f(x)=cosx(1sinx)1sinx(3)f(x)=lg(sinx+1+sin2x)是(1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)奇函数提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断16若f(x)是以5为周期的奇函数，f(3)=4且cosa=2，则f(4cos2a)=.-4提示：f(4cos2a)=f(8cos2a4)=f(2)=f=f(3)=4五个函数f(x)=sinxf(x)=cos2xf(x)=sin2xf(x

9、)=tan(x兀)!匚1鸟教畜铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构f(x)cos2x+sin2x中同时满足/(x+2)一f(X)且f(-x)一f(x)的函数的序号为7提示：不满足f(-x)二一f(x)不满足f(x+2)-f(x)8.求下列函数的单调区间.(1)1.(兀2x)sin一2143丿(cosx+1.(2x兀、3一4八2x,可.ysinu在2k,-u=一2k,+,(kZ)上2342解:原函数变形为y-2sin2x,令uJr则只需求ySinU的单调区间即3,9，即3k,-x3k,+,(kZ)上单调递增,88ysinu在2k,+2k,+32,(kZ)，上9,21即3k,+x3k,+兀,

10、(kZ)，上单调递减递增区间为:8(2)原函数的增减区间即是函数y(cosx+的减增区间令ux+42x、3,9,的递减区间为:3k,-,3k,+43丿_88_,(kZ)故y2sin3k,+9,，3k,+8，(kGZ).!匚1鸟教畜铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构!匚1鸟教畜铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构TOC o 1-5 h z由函数ycosu的图象可知:周期T=,且ycosu在k,-u=x+k,上，即24,k,-xk,-,kZ上递增，4xk,+,kZ上递减4在k,ux+k,+即在k,424k,-3兀,k,-兀，递增区间为k,-兀，k,+兀_44_44_故所求的递减区间为

11、(kZ)9.已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)sin2x+cosx.当x“0时，求f(x)的解析式;铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构3o兀兀3o兀+)cos424所以3o冗cos43o冗0,又o0,得4兀2+k兀，(kN).即o(2k+1),k0,1,2,23飞久宵鸟教育XUHdbJfeiUBkii当xR时，求f(x)的解析式.解：(1)当x0,f(-x)sin2(一x)+cos(x)-sin2x+cosx,又f(x)为奇函数，所以f(x)-f(-x)sin2x-cosx当xR时，f(x)为奇函数，所以f(0)0sin2x-cos,x0由(1)知f(x)=03兀10.已知函数

12、f(x)sin(x+0,0兀)是R上的偶函数，其图象关于点M(,0)对称,4兀且在区间。辺上是单调函数，求0和的值.解：由f(x)是R上的偶函数，得f(-x)f(x)，即sin(，ox+)sin(ox+)，展开整理得：一cossinoxcos0，所以cos0.兀又0兀，所以2时,o3,f(x)sin(ox+丿在0,2上不是单调函数；2兀综上所得o3或o2，2作业本A组TOC o 1-5 h z函数y=xcosx的部分图象是（）OxOxAByyOxOxCD1.D提示：y=xcosx为奇函数，且当x+0时y,0.TOC o 1-5 h z2函数y=2sin（；2小（淀。宀）为增函数的区间是（A.0

13、,nB.:n,加C.:n,5nD.:5n，们31212366C提示：由y=2sin(n2x)=2sin(2xn)其增区间可由y=2sin(2xn)的减区间得666到，即2kn+n2xn2kn+吭,kZ.Akn+nx(3丿提示：fO铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构由9k(kGZ)及9G(0,兀)可得2sinx,sinxcosx6.已知函数f(x)斗cosx,cosxsinx画出f(x)的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值;判断f(x)是否为周期函数如果是，求出最小正周期.解：(1)实线即为f(x)的图象.1y=sinx2y=COSX1单调增

14、区间为2kn+,2kn+,425n2kn+,2kn+2n(kZ),4单调减区间为2kn,2kn+兀,42kn+“,2kn+疏24(kZ),f(x)=1,f(x).=maxmin铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构(1)cos3,sin1,cos27；2104(2)sin(cos38解:(1)Jsin10cos(107一cos4cos(-7)410“及ycosx在(0,兀)内是减函数,铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构可得cos.1sin10铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构3.(2)*/c

15、ossin,8838.3sin8而ysinx在(0,1)上递增,sin(sin38)sin(cos38铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构飞久宵鸟教育rrlUMdEOHUBWi时，f(x)8.f(x)是定义在一2兀,2兀上的偶函数，当x(E0,兀时，y，f(x)，cosx；当x(E2的图象是斜率为，在y轴上截距为一2的直线在相应区间上的部分.铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构(1)求f(-2)，f(-彳)的值;铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构(2)求f(x)的解析式，并作出图象，写出其单

16、调区间.解：(1)当xW(n，2n时,y=f(x)=2x2,n又f(x)是偶函数，:f(一2n)=f(2n)=2.又xW0,n时，y=f(x)=cosx，八一n)=f(n)=2-(2)y=f(x)=-2x-2ncosx2x-2n2n,n),n丄-21O兀2铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构单调增区间为n,0，n,2n.单调减区间为一2兀，n，0，n。函数f(x)，xIsinx+aI+b是奇函数的充要条件是()D.a2+b2，0A.ab，0B.a+b，0C.a，b1.D提示：由奇函数的定义可得函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数()

17、铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构A.(n，31)B.(n，2n)22C.(31，5n)D.(2n，3n)铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构(A)tan,tanB1(B)sin,+sin卩1(D)1tan(,+卩)tana+22D提示：取特值，如取，二卩二铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构4.给出下列命题:正切函数的图象的对称中心是唯一的;y=lsinxl、y=ltanxl的周期分别为n、；若x1x2，则sinXsinx2；若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(-2)=0.

18、其中正确命题的序号是.k4.提示：正切函数的对称中心是(2,0)(kgZ)；y=lsinxl、y=ltanxl的周期都是n厶弦函数在定义域R上不是单调函数；正5.TTTTf(-2)-f(-2+T)-f(2)一f(-2)设函数f(x)=cos(3x+)。若f(x)+f/(x)是奇函数，则=5.提示f(x)+f/(x)=cos(3x+)3sin(3x+)=2cos3x+6I6.由+=+k(kgZ)及0可得32.已知函数f(x)=asin(2x-4)(a0,且1).(1)这个函数是否为周期函数?为什么?(2)求它的单调增区间和最大值.解：(1)f(x+)=asin2(+)-4=asin(2x-4)=

19、f(x)“f(x)是以为周期的周期函数.3当1时，增区间为k,k+8837当0a1,增区间为k+,kK+88,(kgZ)，最大值为a；1,(kgZ)，最大值为a7设函数f(x)=sin(2x+),(-0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.8铸就梦想，提高成绩，改变人生的高端教育机构酉鸟教育求函数y二f(x)的单调增区间；证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.解:(1)x=是函数y=f(x)的图象的一条对称轴8sin(2x+)=1+=k+,kgZTOC o 1-5 h z842n.-3兀0,.=43兀,3(2)由(1)知4，因此y=sin(2x-4)由题意得332k-2x一2k+,kgZ所以函数y=sin(2x一)2424(kgZ).兀5兀的单调增区间为k+,k+8833.证明：y=sin(2x4