IIR数字低通滤波器的设计

1、数字信号处理课程设计报告题 目： IIR数字低通滤波器的设计 学 院： 专 业： 班 级： 姓 名： 指导教师： 2012年 6月24日目 录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc295597235 1.课程设计的目的及要求 PAGEREF _Toc295597235 h 1 HYPERLINK l _Toc295597236 课程设计的目的 PAGEREF _Toc295597236 h 1 HYPERLINK l _Toc295597237 课程设计的要求 PAGEREF _Toc295597237 h 1 HYPERLINK l _Toc295597238 2

2、.设计的理论基础 PAGEREF _Toc295597238 h 1 HYPERLINK l _Toc295597239 数字滤波器的工作原理 PAGEREF _Toc295597239 h 1 HYPERLINK l _Toc295597240 2.2 数字滤波器的基本特性 PAGEREF _Toc295597240 h 2 HYPERLINK l _Toc295597241 2.3 数字滤波器的基本结构 PAGEREF _Toc295597241 h 4 HYPERLINK l _Toc295597242 2.4 IIR和FIR滤波器的区别 PAGEREF _Toc295597242 h

3、4 HYPERLINK l _Toc295597243 概述 PAGEREF _Toc295597243 h 5 HYPERLINK l _Toc295597244 数字低通滤波器的设计 PAGEREF _Toc295597244 h 6 HYPERLINK l _Toc295597245 4.1 IIR数字滤波器的设计方法 PAGEREF _Toc295597245 h 6 HYPERLINK l _Toc295597246 4.2 IIR滤波器经典设计 PAGEREF _Toc295597246 h 7 HYPERLINK l _Toc295597247 4.3 MATLAB仿真步骤 PA

4、GEREF _Toc295597247 h 11 HYPERLINK l _Toc295597248 4.4 程序清单 PAGEREF _Toc295597248 h 12 HYPERLINK l _Toc295597249 5.总结 PAGEREF _Toc295597249 h 13 HYPERLINK l _Toc295597250 参考文献： PAGEREF _Toc295597250 h 141.课程设计的目的及要求（1）学会MATLAB的使用，掌握MATLAB的程序设计方法；（2）掌握数字信号处理的基本概念、基本理论和基本方法；（3）掌握MATLAB设计IIR滤波器；（4）学会用M

5、ATLAB对信号进行分析处理。课程设计的要求滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益；通带截止频率；阻带截止频率。本设计中要求的技术指标是：通带截止频率=2，阻带截止频率，通带衰减小于3dB，阻带衰减大于15dB,采样频率。2.设计的理论基础在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图2.1所示。设输入序列为，离散或数字滤波器对单位抽样序列的响应为。因在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。图2.1 数字滤波器原理数字滤波器的序列将是这两个序列的离散卷积，即 同样，两个序列卷积的z变

6、换等于个自z变换的乘积，即 用代入上式，其中T为抽样周期，则得到 式中和 分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而为单位抽样序列响应的频谱。由此可见，输入序列的频谱经过滤波后，变为 ，按照的特点和我们处理信号的目的，选取适当的使的滤波后的符合我们的要求。2.2 数字滤波器的基本特性 TC 1.2.1 模拟滤波器与数字滤波器的基本特性 f C l 3 如果利用离散时间系统对数字信号（时间离散、幅度量化的信号）进行滤波则构成数字滤波器。数字滤波器的差分方程表示为： 系统函数表示: 数字滤波器的特性通常用其频率响应函数来描述，包括幅度特性和相位特性。按信号通过系统时的特性（主要是幅频特性）来分类

7、：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。（1）低通数字滤波器：图所示 |H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf图 低通数字滤波器的频谱（2）高通数字滤波器：图2.3所示|H(ej)|c-c-22图2.3 高通数字滤波器的频谱（3）带通数字滤波器：图2.4所示|H(ej)|2-2-221-1图2.4 带通数字滤波器的频谱（4）带阻数字滤波器：图2.5所示1|H(ej)|2-2-22-1图2.5 带阻数字滤波器的频谱2.3 数字滤波器的基本结构 （1）直接型 （2）直接型 优点：延迟器减少一半，变为N个，可以节省存储器或存储单元。 缺点：其他缺点同直接型 （3）IIR

8、滤波器的级联型结构 优点：系统实现简单，只需一个二阶系统通过改变输入系数即可完成，极点位置可以单独调整，运算速度快，各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。 缺点：不能直接调整零点，因多个二阶的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。 （4）IIR滤波器的并联型结构 优点：简单实现，用一个二阶的，通过变换系数就可实现整个系统。零极点可单独控制，调整。各二阶零极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差，可流水线操作。 缺点：二阶电平难控制，电平大，容易导致溢出，电平小则是信噪比减小。2.4 IIR和FIR滤波器的区别 TC 1.2.2 IIR和有限冲击响

9、应FIR滤波器 f C l 3 按系统冲击响应（或差分方程）可以分成无限冲击响应 IIR和有限冲击响应FIR滤波器两类。这两种滤波器都可以现实各种频率特性要求，但它们在计算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。(1) FIR滤波器(非递归型):(2) IIR滤波器（递归型）3.MATLAB概述MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并

10、在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作：数值分析，数值和符号计算，工程与科学绘图，控制系统的设计与仿真，通讯系统设计与仿真，财务与金融工程，（1）友好的工作平台和编程环境MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，

11、更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。（2）简单易用的程序语言Matlab一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。（3）强大的科学计算机数据处理能力MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C+ 。在计算要

12、求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。（4）出色的图形处理功能MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。可用于科学计算和工程绘图。（5）应用广泛的模块集合工具箱MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。一般来说，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码。（6）实用的程序接口和发布平台新版本的MATLAB可以利用MATLAB编译器和C/C+数学库和图形库，将自己的MA

13、TLAB程序自动转换为独立于MATLAB运行的C和C+代码。允许用户编写可以和MATLAB进行交互的C或C+语言程序。（7）应用软件开发（包括用户界面） 在开发环境中，使用户更方便地控制多个文件和图形窗口；在编程方面支持了函数嵌套，有条件中断等；在图形化方面，有了更强大的图形标注和处理功能，包括对性对起连接注释等。4.IIR数字低通滤波器的设计4.1 IIR数字滤波器的设计方法 TC 3.1 IIR数字滤波器的设计方法 f C l 2 IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式 由于它的脉冲响应序列是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设

14、计滤波器的分子和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。IIR滤波器设计方法可分为三种：模拟滤波器变换（经典设计法）、直接设计法、参数模型设计法、最大平滑滤波器设计。本设计选用的是模拟滤波器变化法（经典设计法）。4.2 IIR滤波器经典设计 TC 3.2 IIR滤波器经典设计 f C l 2 基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。这就是IIR滤波器设计的经典法。在MATLAB中，经典法设计IIR数

15、字滤波器采用下面的主要步骤：模拟低通滤波原型频率变换模拟离散化IIR滤波器图 IIR经典法设计步骤第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器（低通、高通、带通和带阻）已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数映射成数字滤波器的系统函数。实现系统传递函数s域至z域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。（1）脉冲响应不变法。设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。 将传输函数从s平面传换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响

16、应不变法。设模拟滤波器的传输函数为，相应的单位冲激响应是，=LT，LT.代表拉氏变换，对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到，将h(n)= 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于。设模拟滤波器只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将用部分分式表示： ，式中为的单阶极点。将逆拉氏变换得到： ，式中u(t)是单位阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为T,得到： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： ，的极点映射到z平面，其极点变成，系数不变化。下面分析从模

17、拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里我们以采样信号作为桥梁，推导其映射关系。设的采样信号用表示， 对进行拉氏变换，得到： 式中是在采样点t=n T时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换之间的关系满足式： 将代入上式，得 由上式得到： 上式表明将模拟信号的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期延迟后，再按照映射关系，映射到z平面上，就得到H

18、（z）。 （2）双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，再用转换到z平面上。设Ha（s），s=j，经过非线性频率压缩后用Ha（s1），=j1表示，这里用正切变换实现频率压缩： 式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有 再通过 转换到z平面上，得到： 上式称为双线性变换。从s平面映射到平面，再从平面映射到z平面，其映射情况如图所示。由于从s平面到平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。另外，从平面转换到z平面仍然采用标准转换关系

19、 ，平面的 /T之间水平带的左半部分映射z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样，Ha（s）因果稳定，转换成的H（z）也是因果稳定的。下面分析模拟频率和数字频率之间的关系。令 ，有 图4.2 双线性变化法映射上式说明，s平面上与平面上的成非线性正切关系，如图4.3所示。在=0附近接近线性关系；当增加是，增加得愈来愈快；当趋近时，趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。图4.3 双线性变换法的频率变换与之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅度特性和相位特性失真的情况如图4.4所示。这种非线性影响的实质问题是：如果的刻度是均匀的，则影射

20、到z平面的刻度不是均匀的，而是随增加愈来愈密。图4.4 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射双线性变换法可由简单的代数公式将Ha（s）直接转换成H（z），这是该变换法的优点。4.3 MATLAB仿真步骤（1）根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。（2）估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、cheb1ord等。（3）设计模拟低通滤波器原型，利用MATLAB工具函数buttap、cheb1ap等。（4）由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻），利用MAT

21、LAB工具函数lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（5）将模拟滤波器离散化获得IIR数字滤波器，利用MATLAB工具函数bilinear。 程序清单数字性能指标给出通带截止频率，阻带截止频率，通带衰减，阻带衰减等。数字频率和的取值范围为0，单位：弧度，而MATLAB工具函数常采用标准化频率，和的取值范围为01。模拟性能指标给出通带截止频率，阻带起始频率，通带衰减，阻带衰减等。模拟频率和的单位均为弧度/秒。技术指标：通带截止频率=2，阻带截止频率，通带衰减小于3dB，阻带衰减大于15dB,采样频率。程序如下：Wp= 2000*2*pi; Ws=3000*2*pi; Rp=3; Rs=15; Fs=10000; Ts=1/Fs; Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2