多元复合函数微分法6共张

1、 第一章 多元函数微分学第1页，共37页。第一章 多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。第2页，共37页。会求隐函数(包括由方程

2、组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。第3页，共37页。一. 全 导 数多元函数经复合运

3、算后, 一般仍是多元函数, 但也可能成为一元函数.按前面关于多元函数的讨论方法, 复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始.这就是全导数问题.第五节 多元复合函数微分法第4页，共37页。 下面看另一种解法. 例解第5页，共37页。 例解 你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？+第6页，共37页。将例中的情形进行一般性的描述 由此可推至一般的情况第7页，共37页。定理(全导数公式)第8页，共37页。+全导数公式图示第9页，共37页。定理(全导数公式)现在证明定理第10页，共37页。由的可微性, 有从而由一元函数导数导定义, 取的极限:证给 x 以增量, 相应地有第11页，共

4、37页。由可导,故必连续, 从而时, 定理获证 为什么取绝对值 ?第12页，共37页。设, 求令则 例解第13页，共37页。设以下函数满足定理的条件, 写出二元和三元函数的全导数公式: 请同学自己写 例第14页，共37页。开始对答案第15页，共37页。 你做对了吗 ?第16页，共37页。二. 链导法则一般多元复合函数的求导法则第17页，共37页。 假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面的导数：第18页，共37页。 将 y 看成常数 将 x 看成常数 分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数. 第19页，共37页。从上面的

5、作法可以看出, 将复合的多元函求函数偏导数.全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用你能由此得出多元复合函数 的求导法则吗 ?第20页，共37页。定理设在点对应点可微,则复合函数在点处可导, 且处均可导, 且在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数第21页，共37页。定理设在点对应点可微,则复合函数在点处可导, 且处均可导, 且在 m 个 n 元函数 一个 m 元函数 一个 n 元函数该定理可视为全导数定理的推广:看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理.将诸第22页，共37页。设满足定理的条件, 则有 例第23

6、页，共37页。设求 例解第24页，共37页。设求 例解第25页，共37页。设求令则关于 u 的 一元函数 例解第26页，共37页。设求 自己做 例解第27页，共37页。设其中求令则 例解第28页，共37页。设函数均可微, 求gg 例解第29页，共37页。设函数均可微, 求gg 例解第30页，共37页。三. 全微分形式不变性记得吗? 一元函数的微分有一个重要性质： 一阶微分形式不变性对函数不论 u 是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有第31页，共37页。对二元函数来说,在可微的条件下, f 的全微分总可写为： 不论 x 和 y 是自变量还是中间变量, 详细的推导过程请同学自己看书.第32页，共37页。设不论是自变量还是中间变量, 在可微的条件下, 均有一般说来: 第