概率论和数理统计第五章

1、关于概率论与数理统计第五章第一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月设非负 r.v. X 的期望 E( X )存在，则对于任意实数 0,证 仅证连续型 r.v.的情形 重要不等式 5.1 大数定律第二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k)存在，则对于任意实数 0,推论 1设随机变量 X 的方差 D ( X )存在，则对于任意实数 0,推论 2 切贝雪夫( chebyshev)不等式或当 2 D(X) 无实际意义,马尔可夫 ( Markov ) 不等式第三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月例1 设有一大批种子，其中良种占1/6.

2、 试估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 ,X B (6000,1/6 )第四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月实际精确计算用Poisson 分布近似计算取 = 1000第五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月大数定律贝努里（Bernoulli） 大数定律设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则有或第六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月证 引入 r.v. 序列Xk设则相互独立，记由 Chebyshev 不等式第七张，PPT共六十

3、五页，创作于2022年6月故第八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：频率与 p 有较大偏差是小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.贝努里(Bernoulli)大数定律的意义第九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定义a 是一常数，(或则称 r.v. 序列依概率收敛于常数 a , 记作故是一系列 r.v.设有若第十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月 在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从 (0 , 1)

4、分布的 r.v. 序列 Xk 的算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立r.v. 序列第十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月Chebyshev 大数定律相互独立，设 r.v. 序列(指任意给定 n 1, 相互独立)且具有相同的数学期望和方差则有或第十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定理的意义当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被第十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月注2相互独立的条件可以去掉，代之以注1不一定

5、有相同的数学期望与方差，可设有第十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月相 设 r.v.序列则有互独立具有相同的分布，且记注3第十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月则则连续，若第十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第二节 中心极限定理一、问题的引入二、基本定理三、典型例题四、小结第十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月一、问题的引入实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等

6、) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.第十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月二、基本定理定理四（独立同分布的中心极限定理）第十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定理四表明:第二十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月李雅普诺夫定理五(李雅普诺夫定理)第二十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月则随机变量之和的标准化变量第二十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定理五表明:(如实例中射击偏差服从正态分布)下面介

7、绍的定理六是定理四的特殊情况.第二十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月证明根据第四章第二节例题可知德莫佛拉普拉斯定理六(德莫佛拉普拉斯定理)第二十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月根据定理四得定理六表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.第二十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.第二十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月三、典型例题解由定理四, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N (0,1) ,例1第二十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月其中第二十八张，P

8、PT共六十五页，创作于2022年6月 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？解 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,例2第二十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月所求概率为分布律为直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理第三十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月 某保险公司的老年人

9、寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解设 X 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,例3第三十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月保险公司亏本的概率第三十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X

10、 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解例4第三十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月根据独立同分布的中心极限定理，第三十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第三十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月由德莫佛拉普拉斯定理知,第三十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月证例5第三十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月根据独立同分布的中心极限定理，第三十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第四十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月四、小结三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯

11、定理 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布. 第四十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia第四十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月德莫佛资料Abraham de Moivre Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov. 17

12、54 in London, England第四十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月拉普拉斯资料Pierre-Simon Laplace Born: 23 Mar. 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 Mar. 1827 in Paris, France第四十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第五章 大数定律及中心极限定理习 题 课二、主要内容三、典型例题一、重点与难点第四十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月一、重点与难点1.重点中心极限定理及其运用.2.难点证明随机变量服从大数定律.第四十六张，PP

13、T共六十五页，创作于2022年6月大数定律二、主要内容中心极限定理定理一定理二定理三定理一的另一种表示定理一定理二定理三第四十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月契比雪夫定理的特殊情况第四十八张，PPT共六十五页，创作于2022年6月定理一的另一种表示第四十九张，PPT共六十五页，创作于2022年6月伯努利大数定理第五十张，PPT共六十五页，创作于2022年6月辛钦定理第五十一张，PPT共六十五页，创作于2022年6月独立同分布的中心极限定理第五十二张，PPT共六十五页，创作于2022年6月第五十三张，PPT共六十五页，创作于2022年6月李雅普诺夫定理第五十四张，PPT共六十五页，创作于2022年6月则随机变量之和的标准化变量第五十五张，PPT共六十五页，创作于2022年6月德莫佛拉普拉斯定理第五十六张，PPT共六十五页，创作于2022年6月三、典型例题 解例1第五十七张，PPT共六十五页，创作于2022年6月根据独立同分布的中心极限定理知的极限分布是标准正态分布.第五十八张，PPT共六十五页，创作于