高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解

1、高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解1高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页2回 归 教 材1.函数的单调性的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)则称f(x)在区间D上为减函数,若f(x1)f(x2)则称f(x)在区间D上为减函数,区间D叫做y=f(x)的单调区间,函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质,所以讨论函数的单调性及单调区间都必须考虑函数的定义域;高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页3另外,在函数的单调性定义中的x1,x2满足:一是属于一个

2、单调区间;二是任意性;三是有大小,即x1x2).由于区间端点不具有单调性,因此写单调区间时,可以写成包含端点的闭区间,也可以写成不包含端点的开区间.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页42.函数单调性定义的等价形式(1)对于任意x1,x2a,b, (0(0知x3,由复合函数的单调性可知函数在(-,-1)上单调递减,只有D符合.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页72.已知f(x)为R上的减函数,则满足f( )f(1)的实数x的取值范围 ( )A.(-,1)B.(1,+)C.(-,0)(0,1)D.(-,0)(1,+)答案:D高三数学第一轮总复习函数的单调性和

3、例题讲解共 60 页83.(2010银川模拟)下列函数在(-,0)为减函数的是( )A.y=log2xB.y=(x+1)2C.y=10 xD.y=|x|答案:D高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页94.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上是增函数，则实数a的取值范围是( )A.(-,4B.(-4,4C.(-4,2D.(-,-42,+)答案:B高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页105.(2009广东)函数f(x)=(x-3)ex的单调增区间是 ( )A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.2,+)答案:D解析:由f(x)=ex+

4、ex(x-3)=(x-2)ex0,得x2.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页11解读高考第二关 热点关高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页12题型一 求函数的单调区间例1求下列函数的单调区间:高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页13解:(1)令t=1-x2,则t=1-x2的递减区间是0,+),递增区间是(-，0 .又当a1时,y=at在(-,+)上是增函数;当0a1时,函数的单调减区间是0,+);单调增区间是(-,0,当0a0,则f(x)在给定区间上单调递增,若f(x2)-f(x1)1时,为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区

5、间2,4是增函数,只需g(x)=ax2-x在2,4上单调递增,且恒为正,综上得,当a1时,f(x)=loga(ax2-x)在2,4上为增函数.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页30点评:这是一道探索性命题,解题时先假设存在,再去求解,对于已知函数的单调性求字母的取值范围的问题,要根据单调性的概念得到恒成立的不等式,同时还要注意定义域的限制. 高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页31笑对高考第三关 技巧关高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页32函数的单调性是函数的一个非常重要的性质,又是解决有关最值、值域、不等式等问题的基础,因而单调性就成

6、了高考中重点考查的知识,对于有关抽象函数的单调性在证明时要根据题目的特征利用定义解题.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页33典例(1)已知f(x)是在R+上的函数且对于任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x1时,f(x)0时,f(x)0.求证f(x)为增函数;若f(2)=1,解不等式f(x2-x-2)2.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页34解:(1)任取x1,x2R+,设x2=x1x其中x1,x2x1f(xy)=f(x)+f(y)f(x2)=f(x1x)=f(x1)+f(x)f(x2)-f(x1)=f(x)x1时,f(x)1f(x)0故

7、f(x2)-f(x1)0.f(x+y)=f(x)+f(y)f(x2)=f(x1+x)=f(x1)+f(x)即f(x2)-f(x1)=f(x)又x0时,f(x)0,x0,f(x)0故f(x2)-f(x1)0f(x)为R上的增函数.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页36f(x+y)=f(x)+f(y),又f(2)=1,f(4)=f(2+2)=2f(2)=2,又由知,f(x)在R上为增函数.x2-x-24,即x2-x-60,得x3或xf(2)C.f(a+1)f(2)D.不确定答案:B解析:由f(x)在(-,0)上单调递增,知0a1,故1a+1f(2).高三数学第一轮总复习函数的单

8、调性和例题讲解共 60 页41课时作业(七) 函数的单调性高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页42一、选择题1.(2009浙江嘉兴模拟)下列函数,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )A.y=-log2x(x0)B.y=x+x3(xR)C.y=3x(xR)D.y= (xR且x0)答案:B解析:y=-log2x单调递减,y=3x不是奇函数,y= 是奇函数,但不单调,只有B符合题意.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页432.(2010山东烟台质检)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是 ( )答案:D高三数

9、学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页44高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页45答案:A高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页46高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页474.设(-,a)是函数 (x2)的反函数的一个单调递增区间,则实数a的取值范围是 ( )A.a2B.a2C.a-2D.a-2答案:C高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页485.若函数f(x)是R上的增函数,对实数a,b,若a+b0,则有 ( )A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-a)-f(-b)D.f(a)-f

10、(b)0,a-b,b-a,又f(x)为R上的增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a),故有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页496.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(| |)1,得-1x0或0 x1.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页50二、填空题7.y=log2(x2-2x)的单调增区间是_.答案:(2,+)高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页51答案:解析:利用复合函数的性质可知正确.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页529.(2009江苏)函数f(x)=x3-

11、15x2-33x+6的单调减区间为_.答案:(-1,11)解析:由f(x)=3x2-30 x-33=3(x2-10 x-11)=3(x-11)(x+1)0,得-1x0.综上,得a的取值范围是00且f(x)在(1,+)内单调递减,求a的取值范围.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页55高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页56高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共 60 页5712.(2009全国)设函数f(x)= x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若当x0时,f(x)0恒成立,求a的取值范围.高三数学第一轮总复习函数的单调性和例题讲解共