文本量子力学2015chapter

1、1. 曾 P.285-练习2曾练习P.194 B 是与 A BA B i证明A，其中，B对易的任何两A个矢量算符。、B 、证明：将左端展开成的分量式，A A A B BABABxxyyzzxxyyzz 2A B A B B A B A B2y2xyyzzzxyxyyxyx y z Ay Bz z y Az By z x Az Bx x z Ax Bz 利用： 12x2y2z x y y z z x i z i x i y y x z y x z即得： i A A BA B i A B A BBABzxyyxxyzyzi y Az Bx Ax Bz A B iAB iAB iABzxyzxy A

2、 B i A B证毕。2. 曾 p.287-练习7令 1 ixy2在Pauli表象中 01 00 00 10证明: x , y i , 0, , x y i 0解:在 z 表象中, 01 0i x 10 i0 y且 1 1 0 0 01 1 0 10 0 1 x 01 0 1 10 1 0 xi 1 0 i 0 i 0 i0 0 i 1 yi 0 i i 1 i 0 i0 1 0 0y 0110 01 0 1 0 00 00 1 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 10 1 3.曾p288-练2A A,设则 A 为0或常数矩阵证:由题意可知 A A,且A 可以表示成:A C0 I C

3、1 x C2 y C3 z以 x乘上式,得到 x A C0 x C1 iC2 z iC3 yA x C0 x C1 iC2 z iC3 y分别根据题设条件，式、应相等,所以C2 z C3 y C3 y C2 z因为 z、 y 互相独立,因此必有C2 0,C3 0类似的,以 y 分别C1 0,乘上式,得到C3 0C1 C2 C3 0A C0 I因此A为当 C0为 0 时,0当C0 不为 0 时, A为常数矩阵.4.曾p.321-练在 z 表象中求 x 的本征态. 01 解:在 表象中, 10zx相应的本征值为的本征态为 a 设,即: b x a a x b b 01 a a 10 b b a 0

4、1 b 1为保证 a、b不全为零,则必须满足:11 0 21 0 1当 1 时代入方程式，可求得 11 a 0 11 b a b由归一化条件 1, 即ab a 1 b b2 1a b a2由、可解得:12 1 12 1的本征态为 x 当 1 时,带入方程式, 1:1 a 0 11 b a b1a b 由、可解得:21 1 所以的本征态为:2 1x5.曾 p.321-练习2的本征态,n sin cos, sin sin , cos 在 z 表象中,求 n矢量.是 , 方向的pauli 算符解:在 z 表象中,的矩阵表示为i , 01 , 0 10 01 i0 10zyx因此 n n n nnxx

5、yyzznx iny nzinnnxyz cossin ei sin ecosic 1本征值cos ,c ,则本征方程为设n的本征函数表为 2 sin ei c 0,1 0即cos czsin ei 2 cos C sin eiC 0亦即12sin e C1 cos C2 0i即C1、C2不全为0存在非平庸解的条件为cos sin eisin eidet n cos 0 1 ,即 n的本征值为1.由式容易解出 n 1,对于本征值cos n inC 1 cos1 nz nx inyei 2 ei xy 1 nz1C2sin sin2归一化本征函数用 , 表示,通常取为cos cos ei /2

6、222 ,或12sinei sinei /2 ei /2 ,并无实质差别.后者形式上更加对称,它和前者相差一个公共的相因子如用 n 的直角坐标分量来表示,可以取为 1 nz11n 或2 1 nn inxyznx iny 12 1 n 1 nzzn 0, 0,1,应取前者;如 n 0, 0, 1,仅有相因子的差别如.如nz 1,应取后者.二者等价 n 1,对于本征值类似的可以求得sin n inC 1 cos1 nei 2 ei z xy1C2cos sinnx iny1 nz2归一化本征函数为i /2 sin 2 esin2或1 , 22 cosei /2 cosei 1 nznx iny 1

7、11n或 1 n2 1 nn in2 1 n或zxyzz 1 0;如 n 0, 0,1, 取 如 n 0, 0, 1, 取 1011 6.曾 p.321-练习7 n 的可能测得值及相应的概率,1/ 2 z 1, 求 na设电子处于自旋态n nx , ny , nz 矢量.是对于 n 1 的自旋态,求 各分量的可能测得值及相应的概率,以及b的平均值.解:利用上题求得的 n 的本征函数,容易求出 1 中,a自旋态012 2 n 1 cos2 1 1 n的概率为112z222 sin2 1 1 n n 1的概率为112z22b自旋态 1 n 1 中,2 z 1 1 1 n的概率为121z21 1 1

8、 n 1 1 n 1的概率为zzz22 1 1 n 1 1 n nzzzz22n xnx yny znz考虑到各分量以及 n 各分量在 n 的构造中地位相称,所以利用式、,作 x、y、z轮换,就可推出以下各点:1 1 n 1的概率为xx2 x nx1 1 n 1的概率为 2yy y ny将式、合并写成矢量形式如下:自旋态 1 n 1中, n类似的,容易求出自旋态1 n 1中, n117.曾 P.325-练习23曾练习P.229的共同本征态下，证明自旋为1/2的粒子，处于 l2 , j 2 , jz j j 1 l l 1 3 4 j（取 1 ）j j 1也是 的本征态，并利用提示：ljmjl

9、l l 2l, 2 l l l 02 l l 2l（1）证明：利用公式 ljmljml上式在态下求平均值，由于也是的本征态，故得jj ljmlljm jljmljmlljmjjj （2）ljmljj本征值因此 l （3）l本征值1 1 l 2 l 2 j（4）本征值 22 l l l 0（5）利用公式 2 32j ll（6）4 3 1 3 l 2l2l（6）l42 2 3 l因此，式（4）两端各乘2 ，即得本征值 2 223 3 j l ljj j2 本征值4 本征值本征值 j j 1 l l 1 3 4 j亦即（7）j j 1 mj 0,jzjxjyljmj在态下，上式即（7a) 0, 0y

10、x j j 1 l l 1 3 4j j 1 z mj(7b)mj l 1j, j21212l j 以代入上式，z（8） mj j 1,j l 1 l j 利用2ljmj易得 l在态下的平均值为lx 0, （9a）l 0,y j j 1 l l 1 3 / 4 2 j j 1 12（9b）l m mzjzj8.曾 P.325-练习24曾练习 P.231 z 。电子磁矩的实验 e l 2s电子的磁矩（算符）可表为ls2m ce观测值 定义为 , 求 ljmljm|ljj。jzj解：如以Bohr磁子 B e2mec 作为磁矩，则电子的磁矩算符可以写成（以下取 1 ） 12l2s j s j （1）

11、 zljm j gmljm j利用上题结果，即得（2）jg 1 j j 1 l l 1 3 4其中(Lande g 因子）（3）2 j j 1取最大值 mj j z通常以mj时的平均值作为磁矩观测值的定义，记作 。对于电子， zljj gj（4）ljjj l 12j l 12 j 1 , 2 即（5） j 2 j 1 2 j 2,9.曾P.325-练习28曾练习 P.243两个自旋为1/2的粒子组成的体系，置于均匀外磁场中，取磁场方向为轴方向，则体系Hamilton量可表示成（忽略轨道运动）H 2az b 1 zc,12a, b, c 为常数，H 中第一、第二项表示粒子内禀磁矩域外磁场的相互作

12、用，第三项表示两个粒子之间自旋自旋相互作用，求 H 的本征值。1 z2z 的共同,解：本征态：在自旋空间中，用矩阵方法求解。可以取为1 2, 1 21 21 2,也可取为总自旋算符SSz 的共同本征态 SM 。对于本题，从 12 ,2的对角s化考虑，采用SM 作为较为方便。为叙述方便，的顺序如s下： 1 211111 1 22 112 1 22 1 2 3102 1 14002将Hamilton算符改写成 1zz2 c2z b 1zc 2 1c1cH021 a1 a ,bc122S2 ,22和 1 z2z 的共同S 四个都是的共同本征态，即都是 1z是也 1 z2z 的本征态，因而 1本征态。容易看出 1是 H 的本征态。和 2 2和经已 c 0 2c 1 1 c 0 a1bHH12 c 02c 1 2c0 a2b这样就得到了体系的两个能级：E2c1c00容易算出 1 z2z 对的作用结果，为11 2 z11 2 z102 0,zz2 z2 zz2z2,44333 , 4子空间中，1 z2z 的矩阵元为 因此，在 1z 2 z 33 1z 2 z 44 0 2 1z2 z1z2 z3443 1z 2 z 的矩阵元全部为0。 H的矩阵表示为 c02c23cH2c20设能量本征态为 f3 3代入能