数值积分和数值微分

1、关于数值积分与数值微分第一张，PPT共八十页，创作于2022年6月 2（1）f(x)不是连续函数，甚至也不是解析函数，而是通过实验、测量或计算得出的一组数据。（2）f(x)的原函数不能用初等函数表示。如被积函数为（3）f(x)的原函数表达式相当复杂，而且不同的被积函数f(x)，其原函数的表达形式一般来说是不同的。如 因此在工程计算中，需要构造一种积分方法，使其在误差范围内计算时既能节省工作量，又方便可行，这就是数值积分所要解决的问题第二张，PPT共八十页，创作于2022年6月 3二、数值积分的基本思想由定积分的定义其中 。我们希望用被积函数f(x)在积分区间a,b内某些点处函数值的线性组合来近

2、似代替定积分，即有求积公式其中 称为求积节点，它只与积分区间a,b有关。Aj称为求积系数，它与求积节点xj有关，与f(x)的具体表达形式无关。E(f)称为余项。第三张，PPT共八十页，创作于2022年6月 4三、代数精度与插值型求积公式定义8.1 若求积公式（8.2）对所有次数不超过r次的多项式均能准确成立 ，而至少有一个r+1次多项式不能准确 成立。则称求积公式（8.2）具有r次代数精度定理8.1 对任意给定的n+1个相异节点总存在相应的求积系数 使求积公式（8.2）至少具有n次代数精度证明 在求积公式（8.2）中分别令则有线性方程组第四张，PPT共八十页，创作于2022年6月 5 方程组（

3、8.3）的系数行列式是Vandermonde行列式。由于节点是相异节点，故方程组（8.3）的系数行列式不等于0。由Cramer法则，方程组有唯一的解第五张，PPT共八十页，创作于2022年6月 6四、插值型求积公式 可以通过求解方程组（8.3）的方法来构造求积公式，称之为待定系数法。但当n比较大时，求解方程组（8.3）是较困难的事。由求积公式的唯一性，可采取对被积函数利用插值多项式近似代替的方法来构造求积公式。以求积节点xj为插值节点对f(x)进行Langrange插值有其中对（8.4）两端在a,b上积分，有第六张，PPT共八十页，创作于2022年6月 7令 其中且与有关由（8.5）式得求积公

4、式当 时由（8.5）式求积公式具有n次代数精度。第七张，PPT共八十页，创作于2022年6月 8 定义8.2 若积分区间的端点为求积节点，称此类求积公式为闭型公式。若积分区间的端点不是求积节点，称求积公式为开型公式。若只有一个端点是求积节点，称求积公式为半开半闭公式。应用中对求积公式（8.2），常将余项E(f)舍去，得近似公式称E(f)为截断误差第八张，PPT共八十页，创作于2022年6月 92 NewtonCotes公式一、NewtonCotes公式 将区间a,bn等分，步长 ，求积节点为令 ，Lagrange插值基函数为 求积系数Aj可表示为第九张，PPT共八十页，创作于2022年6月 1

5、0令 称为Cotes系数，则求积公式可化为若取 ，由（8.9）有常见的NewtonCotes公式1 梯形公式 （n=1）由（8.8），(8.9)式有 第十张，PPT共八十页，创作于2022年6月 11故有求积公式 近似公式为 截断误差 第十一张，PPT共八十页，创作于2022年6月 12其几何意义为用梯形的面积近似代替曲边梯形的面积。如图所示。第十二张，PPT共八十页，创作于2022年6月 132Simpson公式 （n=2， 抛物形公式）故有近似公式 其几何意义是用抛物线围成曲边梯形的面积近似代替以f(x)围成的曲边梯形的面积。 如图所示第十三张，PPT共八十页，创作于2022年6月 143

6、Cotes公式（n=4）定理8.2 设 ，则Simpson积分公式的余项为其中 第十四张，PPT共八十页，创作于2022年6月 15n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840几个低阶Cotes公式的求积系数第十五张，PPT共八十页，创作于2022年6月 16定理8.3 当为偶数时，n+1个求积节点的NewtonCotes公式至少具有n+1次代数精度。 当n=8和n

7、10时的n阶NewtonCotes系数中，系数将有正有负。从定理8.1知，n+1个求积节点的NewtonCotes求积公式至少具有n次代数精度，但由定理8.2知，当n=2时，Simpson公式具有3次代数精度。事实上当为偶数时有如下定理。例8.1 对定积分 ，试分别用梯形公式,Simpson公式，Cotes公式作近似计算。解: (1) NewtonLeibniz公式，得准确值第十六张，PPT共八十页，创作于2022年6月 17(2) 梯形公式 (3) Simpson公式(4)Cotes公式第十七张，PPT共八十页，创作于2022年6月 18二、NewtonCotes公式的稳定性 稳定性，即计算

8、过程中舍入误差对最后计算结果的影响。设节点xj处的准确值为 ，参加计算的近似值记为 ，令令 ，利用（8.6）式计算引起计算结果的误差有估计式第十八张，PPT共八十页，创作于2022年6月 19当Cotes系数 同号时有从而 即公式（8.6）是稳定的。当Cotes系数 不同号时有从而 有可能很大，稳定性得不到保证。事实上，仅当n7和n=9时Cotes系数才全是正的，其余的Cotes系数有正有负故一般不采用高阶的NewtonCotes公式做数值积分。第十九张，PPT共八十页，创作于2022年6月 203 复化求积公式 由于高次NewtonCotes公式的求积系数有正有负，引起数值计算的不稳定。另一

9、方面,，NewtonCotes公式是通过对被积函数f(x)进行Lagrange插值而构造出的积分公式，由于高次插值将会出现振荡现象。因此在实用中一般不采用高次NewtonCotes公式进行数值积分。 受分段插值的启示，对积分也可进行分段积分，称之为复化求积。其基本思想是将区间a,b分成n个小区间，在每个小区间上用低次NewtonCotes公式作数值积分，再求和。将区间a,bn等分，步长 ，节点为第二十张，PPT共八十页，创作于2022年6月 21为计算的方便，常取由定积分对积分区间的可加性有一、复化梯形公式在（8.15）式右端对每个子区间 上的积分使用梯形求积公式，有第二十一张，PPT共八十页

10、，创作于2022年6月 22 称（8.16）式为复化梯形公式。用Tn表示将区间a,bn等分的复化梯形公式，进一步将子区间 分为2个子区间也即将区间a,b进行2n等分，此时有此时的复化梯形公式为第二十二张，PPT共八十页，创作于2022年6月 23记 由（8.16）和（8.17）有同理 由（8.9）式得复化梯形公式Tn的余项表达式为设 ，则第二十三张，PPT共八十页，创作于2022年6月 24由闭区间上连续函数的介值定理，存在 使故复化梯形公式的余项为 二、复化Simpson公式在（8.15）式右端对每个子区间 上的积分使用Simpson公式得复化Simpson公式第二十四张，PPT共八十页，创

11、作于2022年6月 25由(8.16),(8.17)有由(8.18),(8.20)有第二十五张，PPT共八十页，创作于2022年6月 26同理类似于复化梯形公式余项的推导，可得复化Simpson公式的余项为三、复化Cotes公式在（8.15）式右端对每个子区间 上的积分使用Cotes公式，得复化Cotes公式第二十六张，PPT共八十页，创作于2022年6月 27递推公式为当 时，复化Cotes公式的余项为第二十七张，PPT共八十页，创作于2022年6月 28四、变步长方法 做数值积分可以用定步长积分法。定步长法在使用前，需首先确定一个适当的步长，即确定区间a,b的等分数n。但步长的选取是相当困

12、难的，步长取大了，难以保证精度，取小了，将会增加计算工作量。因此实用中常用变步长法求积分 变步长法也称逐次折半法，反复使用复化求积公式计算积分，直到相邻两次结果之差的绝对值小于误差精度为止。为便于计算机的编程，常取 等分，对复化梯形公式，反复利用（8.17），（8.18）式计算积分值，直到第二十八张，PPT共八十页，创作于2022年6月 29对复化Simpson公式，反复利用（8.17），（8.18），（8.21）式直到对复化Cotes公式，反复利用（8.17），（8.18），（8.21）和（8.23）式直到为止 例8.3 对积分 ，利用变步长方法求其近似值，使其精度达到第二十九张，PPT共八

13、十页，创作于2022年6月 30解取(1)复化梯形公式，由（8.17），（8.18）式有继续以上过程的计算，结果如表所示 k Tnk Tn k Tn 0 0.92073554 0.9459850 8 0.9460827 1 0.93979335 0.9460596 9 0.9460830 2 0.94451356 0.946076510 0.9460831 3 0.94569097 0.9460815第三十张，PPT共八十页，创作于2022年6月 31(2)复化Simpson公式 由复化梯形公式表中的数据和公式（8.21）得复化Simpson公式的计算结果如表所示 k Snk Sn 0 0.9

14、4614593 0.9460830 1 0.94608694 0.9460831 2 0.9460833 由复化Simpson公式表中的数据和公式（8.23）得计算结果如表所示。显然复化Cotes公式比复化Simpson公式的计算工作量少，而复化Simpson公式比复化梯形公式的计算工作量少。(3) 复化Cotes公式 k Cn 0 0.9460829 1 0.9460830 20.9460831第三十一张，PPT共八十页，创作于2022年6月 324 Romberg求积公式 一、Richardson外推法在工程计算中，有时函数y=f(x)在x=0处的值f(0)是无法求出收敛于f(0)的数列，

15、Richardson外推法就是构造该数列的的，只能通过实验，测量等方法，逐次求出来逼近f(0)。但h越小，实验和测量的难度就越大。因此我们希望从已有的数据 构造出一个能很快一种技巧设f(x)在x=0处的Maclaurin级数为第三十二张，PPT共八十页，创作于2022年6月 33若 则用 逼近f(0)截断误差为h的同阶无穷小,令 则有若用 来逼近f(0)，其截断误差为h2的同阶无穷小第三十三张，PPT共八十页，创作于2022年6月 34二、Romberg积分法 Romberg积分法，是根据Richardson外推技巧，利用变步长的复化梯形公式推导出的数值积分公式。令 若 则用f2(h)逼近f(

16、0)的截断误差为h3的同阶无穷小。这种加速收敛方法就是Richardson外推法的一个特例。第三十四张，PPT共八十页，创作于2022年6月 35其中T0(h)是将a,bn等分后构造的复化梯形公式。则由（8.25）式产生的Tm(h)逼近积分 误差的阶为 （8.25）的方法称为Romberg积分法 由（8.21）和（8.23）式，Romberg积分公式（8.25）中的T1(h)是复化Simpson公式，T2(h)是复化Cotes公式。但对m3时的Tm(h)与NewtonCotes公式就没有直接的联系了，仅是一种递推技巧而已。 为了计算方便，将区间a,b进行n=2i等分，用T0i表示将区间a,b进

17、行2i 等分后的复化梯形公式的计算值，则由公式(8.25)产生的Romberg序列的计算步骤为(1) 在a,b上，由梯形公式第三十五张，PPT共八十页，创作于2022年6月 36（2） 利用递推公式计算（3） 设已计算出 ，则计算第三十六张，PPT共八十页，创作于2022年6月 37（4） 计算 (5)若 则停止计算，输出否则 ，转（3）。对（3）,（4）步可用Romberg积分表来表示 第三十七张，PPT共八十页，创作于2022年6月 38 m i 0 1 2 3 0 1 2 3Romberg积分表第三十八张，PPT共八十页，创作于2022年6月 39例8.4 用Romberg积分法计算 ，

18、精度解 由例8.3中复化梯形公式的数据，再利用(8.28)式得计算结果如下表012300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946082930.94569090.94608330.94608300.9460830例8.5 利用Romberg积分法求 第三十九张，PPT共八十页，创作于2022年6月 40解 由公式(8.26),(8.27),(8.28)对在0,1有继续以上步骤，计算结果如下表所示 第四十张，PPT共八十页，创作于2022年6月 41 0 1 2 3 4 03.00000 13.100003.13333 23.13118

19、3.141573.14212 33.138993.141593.141593.14159 43.140943.141593.141593.141593.14159第四十一张，PPT共八十页，创作于2022年6月 425 Gauss型求积公式一、Gauss 求积公式及其性质对求积公式前面介绍的数值积分方法，是先给定n+1个求积节点xj，再由求积节点来构造n+1个求积系数Aj，从而得到数值积分公式，且其代数精度为n或n+1。现我们希望适当地选择求积节点，从而确定相应的求积系数，使（8.29）式的代数精度能有尽量地提高第四十二张，PPT共八十页，创作于2022年6月 43定义8.3 若求积公式（8.

20、29）具有2n+1次的代数精度，则称该求积公式为Gauss型求积公式，相应的求积节点xj称为Gauss节点。（8.29）中取 ，有方程组构造Gauss型求积公式可用待定系数法，在求积公式第四十三张，PPT共八十页，创作于2022年6月 44方程组（8.30）是具有2n+2个未知量xj，Aj ，2n+2个方程的非线性方程组，求解此方程组便得求积节点xj和求积系数Aj例8.6 对积分构造其Gauss型求积公式。解 取 代入（8.31）式有方程组 第四十四张，PPT共八十页，创作于2022年6月 45解之得故有求积公式由于方程组（8.30）是非线性方程组，当n较大时，求解（ 8.30）非常困难，因此

21、需从其它途径来构造Gauss型求积公式考查被积函数f(x)的Hermite插值多项式第四十五张，PPT共八十页，创作于2022年6月 46其中 为Hermite插值基函数对（8.32）式两端同时在a,b上积分有令其中 第四十六张，PPT共八十页，创作于2022年6月 47则有求积公式 当 时，由 ，知故求积公式(8.33)具有2n+1次的代数精度。现适当地选择求积节点使则求积公式(8.33)就变为第四十七张，PPT共八十页，创作于2022年6月 48定理 在a,b上以权函数 正交的多项式序列gk(x)中正交多项式gn+1(x)的零点是Gauss点。记 为以Gauss点为插值节点的Lagrang

22、e插值基函数，由 和(8.34)式有故求积公式(8.34)也可写为(8.29)形式其中Aj由(8.37)式给出。第四十八张，PPT共八十页，创作于2022年6月 49故求积公式(8.34)也可写为(8.29)形式其中Aj由(8.37)式给出。定理8.6 Gauss型求积公式数值计算稳定。证明 取 ，代入(8.29)式有且由 和(8.37)式有第四十九张，PPT共八十页，创作于2022年6月 50设f(xj)的计算值为 ，记令故Gauss型求积公式数值计算稳定。第五十张，PPT共八十页，创作于2022年6月 51二、一般的Gauss型求积公式 在（8.32）式两端同乘以权函数 后再在a,b上积分

23、有令 其中第五十一张，PPT共八十页，创作于2022年6月 52则（8.38）式可化为同理，取a,b上以权函数 正交的多项式序列gk(x)中，正交多项式gn+1(x)的零点为求积节点，可以使此时（8.39）式为仍取 为以Gauss点为插值节点的Lagrange插值基函数，由（8.40）有 第五十二张，PPT共八十页，创作于2022年6月 53故带权函数的Gauss型求积公式为二、常用的Gauss型求积公式1GaussLegendre求积公式 由于Legendre多项式是1，1上以 的正交多项式序列，以Legendre多项式的零点为求积节点，构造的积分公式称为GaussLegendre求积公式，

24、求积系数为第五十三张，PPT共八十页，创作于2022年6月 54余项为其中 为n次Legendre正交多项式。例8.7 分别利用NewtonCotes公式及GaussLegendre公式计算积分解 （1）准确值第五十四张，PPT共八十页，创作于2022年6月 55（2）两点GaussLegendre公式（3）两个节点梯形公式（4）三点GaussLegendre公式（5）三个节点Simpson公式第五十五张，PPT共八十页，创作于2022年6月 56以xj为求积节点，求积系数为GaussChebyschev求积公式为余项为2GaussChebyschev求积公式第五十六张，PPT共八十页，创作于

25、2022年6月 573GaussLagurre求积公式由于Lagurre多项式是 上以权函数 的正交多项式，其求积系数为余项表达式为其中 是n次Lagurre正交多项式 第五十七张，PPT共八十页，创作于2022年6月 584GaussHermite求积公式 由于Hermite多项式是 上关于权函数的正交多项式，求积系数为余项第五十八张，PPT共八十页，创作于2022年6月 59四、复化Gauss型求积公式以GaussLegendre求积公式为例，将区间a,b划分为m个小区间由 在每个小区间 上运用n+1个点的GaussLegendre求积公式，作代换第五十九张，PPT共八十页，创作于2022

26、年6月 60则 其中其中tj是n+1次Legendre正交多项式的零点，Aj是相应的系数，故有近似公式余项为第六十张，PPT共八十页，创作于2022年6月 61节点特别，若采用等距划分，即将a,bm等分，步长则复化GaussLegendre求积公式为余项第六十一张，PPT共八十页，创作于2022年6月 62例8.12 取m=2,n=1应用复化GaussLegendre公式计算 解准确值 第六十二张，PPT共八十页，创作于2022年6月 63本章介绍的求积公式的特点 （1）梯形公式和Simpson公式是低精度的方法，但对于光滑性比较差的被积函数有时效果比用高精度的方法要好，而且由于公式简单，因此

27、使用非常广泛。特别在计算机上，复化梯形公式和复化Simpson公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单 （2）Romberg积分公式，其算法简单，程序也便于实现。当节点增加时，前面的计算结果可以直接参与后面的计算，因而减少了计算量。同时有比较简单的误差估计法，由于能同时得到多个积分序列，在做收敛控制时，对不同性态的函数可采用不同的收敛序列作为精度控制，以其中最快的收敛序列来逼近积分，此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的。 (3) Gauss型求积公式的最大优点是精度高，数值计算稳定。但求积节点和求积系数都没有规则,，当节点增加时，前面的计算结果不能被利用，只能重新计算，因此利用计算机计

28、算时，需先输入节点数和各种Gauss型求积公式的节点和系数数据。Gauss型求积公式的另一优点是适用于某些区间上的广义积分计算第六十三张，PPT共八十页，创作于2022年6月 646 数值微分一、数据的数值微分设函数f(x)给出了一组数据其中节点xi满足1利用Lagrange插值多项式求数值微分 对f(x)进行Lagrange插值 第六十四张，PPT共八十页，创作于2022年6月 65其中对（8.43）两端求k阶导数有 故有近似计算公式余项为 第六十五张，PPT共八十页，创作于2022年6月 66（1） 两点公式（n=1） （2） 三点公式（n=2）第六十六张，PPT共八十页，创作于2022年6月 672利用三次样条插值函数作数值微分若用三次样条插值函数S(x)作为f(x)的近似函数，不仅可以使函数值非常接近，而且使导数值也非常接近，并且有其中 表示的同阶无穷小以三转角插值法为例当 时，第六十七张，PPT共八十页，创作于2022年6月 68求导有第六十八张，PPT共八十页，创作于2022年6月 69特别 二、函数的数值微分1差商代替微商（1）向前差商 第六十九张，PPT共八十页，创作于2022年6月 70（2）向后差商 （3）中心差商 （4）二阶中心差商 差商近似代替微商的误差除取决于函数本身的解析性质外，还取决于 h 的大小，从理论上说 h 越小，误差精度就越高