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文档简介

幂平均数家族统计平均数是统计定量分析的重要方法，在统计学中有着及其重要的地位。统计平均数按代表意义和计算方式的不同，可以分为数值平均数和位置平均数，其中常用的数值平均数有算术平均数、调平均数和几何平均数，三者源于同一个家族，并存在统一的关系式。对于这种关系式，绝大多数统计学教材只限于两个变量情况的初等数学证明，很少涉及多个变量。对于多个变量的证明，数学专家曾用初等数学工具，如：数学归纳法、不等式放缩法等证明过。我们知道，几种数值平均数形式尽管不同，但它们却同源于一个家族，从数学角度看，它们同属于“幂平均数”家族，且之间存在一定的关系。下面按简单平均式和加权平均式进行证明：1简单平均式。设一组变量值为：-,十屋二h即算术乎均数不=2,即平方平均数尹沖K=即立方平韵数戸汽K7即儿何乎均数G?U=-L即调和平均数H当等于、一时，比较容易证明，现证明当等于时的情况。证：当时，/沐式表现为未定式，即：川）=。对上式两边取对数，ln/A)=ln工疋i=nk(IXi=n)I)此式仍属于未定式的情况，我们运用罗比塔法则求极限，得:即有：.心川丨！一JI心为几何平均数。证毕！、加权平均式。如果对以上的各个变量值赋予权数：/冷、则它们

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