微分中值定理(66)课件

1、 第三章 微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数. 但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新的“桥梁”.中值定理(mean value theorem)化率, 指导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关.1Rolle定理Lagrange中值定理小结 思考题 作业Chauchy中值定理3.1 微分中值定理第三章 微分中值定理与导数的应用推广泰勒公式(第三节)2 本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段AB上,至少有与连接此曲线两端点的弦平行.几何事实

2、:一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线 .有水平的切线3Rolle定理(1)(2)(3)罗尔 Rolle,(法)1652-1719 使得如,一、罗尔(Rolle)定理4物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:5Fermat引理 费马 Fermat,(法) 1601-1665 有定义,如果对 有 那么内的某邻域在点设函数)()(00 xUxxf,)(0存在且xf 函数导数为0的点也称为驻点、稳定点或临界点。6Rolle定理(1)(2)(3)使得证 所以最值不可能同时在端点取得.使有由 Fermat引理,7(1) 定理条件不全具备, 注结论不一定成立.

3、Rolle定理(1)(2)(3)使得1,0,)(=xxxf这三个条件只是充分条件，而非必要条件(2) 罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点,有的函数这样的点可能不止一个.8例证(1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证Rolle定理的正确性.Rolle定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道 存在即可.,)2,1(内可导在-9例证 零点定理即为方程的小于1的正实根.(1) 存在性10(2) 唯一性对可导函数 f(x), f (x)=0的两实根之间,在方程 的一个实根.Rolle定理还指出,至少存在方程满足Rolle定理的条件.矛盾,故假设不真!11 练习 不求导数

4、 判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根 以及其所在范围 解 f(1)=f(2)=f(3)=0 f(x)在1 2 2 3上满足Rolle定理的三个条件 在(1 2)内至少存在一点x1 使 f (x1)=0 x1是 f (x)的一个实根 在(2 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是f (x)的一个实根 f (x)是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间(1 2)及(2 3)内 12 现在，微积分里面最著名的定理之一，就要登场了。只要该定理一出场，真可以让一大堆定理顿时黯然失色。不错，我们所说的不是别的，正是中值定理。你大概做梦也不会想到，大名鼎鼎的中值定

5、理，不过只是朴实无华的罗尔定理转个角度，歪斜一下而已。你在看罗尔定理时，若是把脑袋歪向一边，看到的就是中值定理！13Rolle定理Lagrange中值定理14注拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813 拉格朗日中值定理(1)(2)使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理;,上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间baMeal Value Theorem15证作辅助函数由此得Lagrange中值公式且易知微分中值定理16 微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为“最有价值定理”（MVT）。Meal Value Theorem它表明了函数

6、在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数17几何解释:物理解释:某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在18例证 如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理. 记利用微分中值定理,得19Lagrange公式可以写成下面的各种形式: 它表达了函数增量和某点的注但是增量、这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称Lagrange

7、中值公式又称有限增量公式.有限增量定理.20还有什么？21推论 1推论 2( C 为常数 )推论 3 用来证明一些重要的不等式推论 4 用来判断函数的单调性22例证由推论自证说明欲证只需证在上且使,)(0Cxf=,0)(xf23例 试证明下列不等式 (1)设则f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日定理得由于故证24在(0, x)（或 (x, 0) ）内可导. 即( 介于0与x之间).则 f (t)在0, x（或x, 0）上连续，(2)令f (t) = e t ,于是，25例证从而26柯西 Cauchy (法)1789-1859Chauchy中值定理(1)(2)使得三、柯西(Ca

8、uchy)中值定理27这两个错 !柯西中值定理(1)(2)使得柯西定理的下述证法对吗 ?讨论不一定相同x28 前面对Lagrange中值定理的证明,构造了 现在对两个给定的函数 f(x)、F(x), 构造即可证明Cauchy定理.辅助函数辅助函数 分析上式写成 用类比法),(),()()()(bafabafbf-=-xx29Cauchy定理的几何意义注意弦的斜率柯西中值定理(1)(2)使得切线斜率30例证分析结论可变形为即思考：此例是否可推广到一般有限区间上？ 满足柯西中值定理31四、小结罗尔定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)

9、中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广 这三个定理的条件都是充分条件,换句话说, 满足条件,不满足条件,定理可能成立, 不是必要条件.而成立;不成立.定理也可能32应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性;(2) 证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式;(5) 综合运用中值定理(几次运用). 关键 逆向思维,找辅助函数33思考与练习1. 填空题1) 函数在区间 1, 2 上满足Lagrange定理条件, 则中值2) 设有个根 , 它们分别在区间上.方程342.试证：方程且在内可导, 证明至少存在一点使3. 设4.352.试证方程分

10、析注意到:36证设且 Rolle定理即试证方程37且在内可导, 证明至少存在一点使提示:由结论可知, 只需证即验证在上满足Rolle定理条件.设3. 设38作业习题3-1 (132页) 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14. 39费马(1601 1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的Fermat大定理:Fermat大定理1994年得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.40拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.41柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡