寻找最速降线课件

1、寻找最速降线 数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点. C. F. Gauss 数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益. R. C. Buck 介绍一类最优问题的求解新框架-变分方法 连续,多元函数极值,积分等内容提要 回顾微积分有关知识 复习微分方程求解的解析与数值方法 最速降线求解的仿真方法 1696年John Bernoulli向他的兄长和其他数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题:一质量为m的质点，在重力作用下从定点A沿曲线下

2、滑到定点B，AB试确定一条曲线，使得质点由A到B下滑时间最短. 假定B比A低，不计摩擦力和其他阻力等因素. 此问题导致数学新分支的产生.背景故事思考 这是一个求最值的问题 与求函数的极值一样吗？ 与求线性规划问题中的极值一样吗？ 它的数学形式怎样？历史1697年5月号“教师学报”接收了5篇解答报告贝努利 约翰 Bernoulli,Johann 欧洲著名科学家族 涉猎 微积分、微分方程、解析几 何、概率论以及变分法 谁发现 LHospital 法则 欧拉的指导者和老师更贡献于物理、化学和天文学 瑞士的骄傲 问题的数学形式ABxyb设曲线为满足 y(0)=0, y(b)=H我们要求的是怎样的函数y

3、(x),下滑的时间质点沿 y=y(x)若使得T(y) 取得最小值求 minT(y)近似方法如图建立坐标系,设A为原点, B为(b,H), 将带状区域直线 y=yk=k H/n 把这区域ABxybyk-1xk-1ykxk分成 n个带状小区域.在带状域yk-1yyk ,可近似认为而曲线段近似认为是直线段,其长度 0 y 1e-10s=0;for j=1:nv=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c2*v2);endf=c-b/(h*s);if f0d=c;else a=c;endc=(a+d)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-

4、c*c*2*g*h);T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h)for k=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v;end plot(x,-(0.1:h:H),*r)利用数学软件求近似最速降线和最短时间利用数学软件求解得到的曲线再作分析质点要走最快的路线(曲线)，应该如何变化？ 依然用从质点速度变化的角度考虑设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？A1A212 ClOD如图,若A1,A2到l

5、的垂足分为a, b, OD =c, 质点经过l于C, 设别为O,D, A1,A2 到l的距离分别OC =x, 那么质点由A1到A2需时间唯一驻点满足也即这就是光学中的 Snell 折射定律A1A212ClODxabC-x建立数学模型分析：如图建立坐标系，弧AB 分割成小段, 考虑在第kABxybk+1k层与k +1层质点在曲线上的下滑，依能量守恒律，可近似认为质点在每层内的速度不变，于是依辅助结论知注意上式对任何k成立， 用与x 轴平行的直线将ABxyb令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线上任何一点其中 为该点切线与铅垂线的夹角故导出导出微分方程ABxyb又因于是得到一个引理设集合E0=g(

6、x)C1 g(a) =g(b)=0如果在a,b上连续函数 f (x)满足那么f (x) 0对g (x) E0 ，总有另一种方法变分法ABxyb设曲线为满足 y(0)=0, y(b)=H在曲线上P(x,y）处质点速度为又设从A到P的弧长为s,则从而质点沿曲线由A到B需时间那么我们的问题成为求某个使得引进集合显然若是最速曲线函数,则于是函数在取得最小值故得设集合那么对依复合函数求导法注意第二项为了计算,记上式乘以这里于是导出注意从降线定义可知故1）可求解析解解法2）也可以用数值方法，例如欧拉法求解得到方程为由于在原点y = 0 ,可改写方程 求解析解提示：解析解function cycloid1(

7、b,H,n)if nargin=2 %两个参数则默认n为100 n=100;endg=9.8;h=H/n;minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);x=0;y=0; while abs(b-x)1e-4 x=0; c=(minc+maxc)/2; %二分法求c值 for j=1:n y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c2*v2); gx(j)=x; gy(j)=y; end最速降线问题仿真方法Matlab程序if xb %判断最后一个点与所给点的位置情况 minc=c; else maxc=c; endend T=0;for j=1:n

8、 v=sqrt(2*g*j*h); if j=1 s=sqrt(gx(1)2+h2); else s=sqrt(gx(j)-gx(j-1)2+h2); end T=T+s/v;end plot(gx,-gy);Tend取b=H=10，n=100实验任务1.分别用数值方法和解析方法求出的最速降线的曲线和下降时间,将两种结果比较2.在一条直线 l 的上侧有两个点A,B,试找出一条从A 到B的曲线,使得这曲线绕l 旋转所得的旋转面的面积最小.设直线l与点A,B在xy 平面，l为x轴，A为(0,（e+e-1)/2), B为(3，(e2+e-2)/2)(设b=/2, H=1)用曲线连接面上A(0,0,1), B(1,3,0)两点,求使得AB 弧长最短的曲线(短程线)4.在第3题中，将曲面改