对数数学学科中心课件

1、回溯對數歷史國立蘭陽女中數學教師陳敏晧You have no idea, how much poetry there is in the calculation of a table of logarithms! - Karl Friedrich Gauss (1777-1855), to his students. 第1页，共20页。納皮爾生平簡介 約翰納皮爾（John Napier，1550-1617）是蘇格蘭數學家、物理學家兼天文學家。他最為人所熟知的是發明對數，以及滑尺的前身納皮爾骨頭計算器。而且他對小數點的推廣也有貢獻。(1)對數貢獻 對數使得手算變得簡單而且快多了， 也因此為後來許

2、多科學進步開啟了大門。 他的著作對數的奇妙準則(1614)， 對於後來的天文學、力學、物理學、天 文學的發展都非常重要。 第2页，共20页。納皮爾生平簡介(2)改變計算方式 納皮爾的發明並不侷限於對數。他曾發表的論文中討論一種計算乘法的簡便方法，並且介紹了後來被稱為納皮爾棒或納皮爾骨頭的計算器。 第3页，共20页。納皮爾骨頭納皮爾的骨頭是一種用來計算乘法與除法，類似算盤的工具。由一個底座及九根圓柱（方柱）組成，可以把乘法運算轉為加法，也可以把除法運算轉為減法。更為進階的用法也可以開平方根。 例如:46785399 乘以 7 的結果?第4页，共20页。對數的初始概念 納皮爾首先是將大數的積或商的

3、近似值計算，轉變成和或差的演算。於是由積與和的對應，注意到等比級數與等差級數的對應，但怎樣的等比級數對應怎樣的等差級數乃是個問題，這就是在納皮爾的創意中的關鍵。例：第5页，共20页。納皮爾研究機緣納皮爾原本是專研計算數和三角學的，在他的研究過程中，他發現史提非(Michael Stifel, 1487-1567) 所指出的等比以及等差數列數間格過大而不適用於計算，想找方法改善，此時剛好遇到蘇格蘭的數學家John Craig(1663 1731)，告訴他天文台prosthaphaeresis方法，其意為加減，但事實上是將函數乘機轉為和差的方法。此公式乃引用三角學中積化和差:2cosAcosB=c

4、os(A+B)+cos(A-B)2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B) 第6页，共20页。納皮爾的研究方法納皮爾認為等比數列中兩數的間格可能太大，所以就選取了一個很接近1的數來做公比r，他選擇 ，這樣間隔就會便很小很小，再來，怕有小數點的麻煩，所以，納皮爾把每個乘冪都乘上 。 在納皮爾生活的那個時代，指數概念並未完成。納皮爾本人也算不知道對數的“底”這一概念。一直到 18 世紀歐拉才發現指數與對數的關係。這表明對數的發明在指數概念之前。第7页，共20页。對數名詞溯源對數（Logarithm）一詞就是”比數” （ratio number）亦是納皮爾所創造的。這詞是由一希臘文（拉丁

5、文logos，意即：表示思想之文字或符號，亦可作”計算”或”比率”講）及另一希臘詞結合而成的。首數（characteristic）是布里格斯(Henry Briggs, 1561-1631)所提出的， 十八世紀後，對數表才只印尾數（mantissa）。第8页，共20页。布里格斯的建議英國數學、天文學家布里格斯(Henry Briggs, 1561-1631)曾建議納皮爾將他的對數改進，當然是指要他改為以 10 為底的對數。但納皮爾還未來得及修改，便離世了。在納皮爾離世後，布里格斯以其他後半生的全部精力完成了納皮爾及他自己的願望，於1624年出版了對數算術一書。真數從1到 20000以及從900

6、00到100000之間。 The logarithm constant: log 2 log 2 = 0.69314718055994530941723212145817656807550013436025. 第9页，共20页。納皮爾可敬的對手:伯基伯基(Jobst Burgi, 1552-1632 )是一位鐘錶匠和機械師，1604年成為魯道夫二世的皇家技師，居於布拉格，被尊為是一個難得的數學家和工藝家，他於1620年獨立發表對數相關論文，值得注意的是納皮爾所定義的對數來自幾何概念，而伯基所定義的對數來自代數想法。 第10页，共20页。證明第11页，共20页。自然對數的四個定義最常見的四種e的

7、定義如下：1. 定義e 為極限值： 2. 定義e為無窮級數之和： 3. 定義e為唯一的數x 0使得 4. 定義e為唯一的數使得 這些定義可證明是等價的第12页，共20页。最美的等式數學界票選最美的等式:第13页，共20页。對數螺線對數螺線(Logarithmic spiral)，由近代數學家笛卡兒（Ren Descartes, 1596-1650)發現的。它的半徑是以幾何級數(2,4,6,8,16.)增長的螺線。它的一般公式是 。對數螺線又叫做等角螺線(Equiangular spiral)，對數螺線的畫法如下圖。 第14页，共20页。笛卡兒的愛情故事一、瑞典公主克莉絲汀。二、情書只有數學式r

8、 = a(1-sin) 。 第15页，共20页。對數螺線的數學競試問題對數螺線的規律是，由中心任意劃一條向外的射線，此射線與對數螺線的交點中，分別計算這些交點與中心的距離，必成等比數列。例題:阿螺正在研究一個對數螺線。他從螺線中心畫出一條射線，該射線與螺線剛好交於六個點，離中心最近的點與中心距離128 公分。更巧的是，這六個交點與中心的距離都是整數值，且都不超過1000 公分。 (1)問該螺線的公比? (2) 問其餘五個點與中心的距離? 引自許志農，高中數學珍寶第16页，共20页。雅各布白努力的墓碑對數螺線是由笛卡兒在1683年發現的。雅各布伯努利後來重新研究之。他發現了對數螺線的許多特性，如

9、對數螺線經過各種適當的變換之後仍是對數螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞縱使改變，依然故我(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去。 第17页，共20页。中國最早的對數論文對數經由傳教士傳入中國，結果大受歡迎，最早的對數論文是薛鳳祚(1599-1680)在1653年所發表的。薛鳳祚是繼崇禎曆書之後最先系統介紹按第谷體系計算太陽月亮行星交蝕等方法的天文學家。在計算中首次引進了對數三角函數對數。將西方的六十進位制改成十進位制重新編制三角函數對數表還介紹了一至二萬的常用對數表。 第18页，共20页。對數傳入中國:數理精蘊 中國清代的一部數學著作，共53卷。是在康熙皇帝(1654-1722)的主持下，由梅瑴成、陳厚耀、何國宗等主編的律曆淵源100卷的第三部分，其餘兩部分是律呂正義5卷和歷象考成42卷。