齐老师六年级寒假班讲义

1、教 学 讲 义（第 1 讲：有理数）( 炎热的夏天 , 寒冷的冬天 首选的辅导方式，旅游出差不用怕只要有网络就能上课)（绿色教学的优点：解决家长学生路途远，价格高，接送不方便，时间错不开等诸多不便）(欢迎加入授课-免费授课群 : 140872163 )（每周三晚上都有 30 分钟免费课，欢迎进群学习）有理数的意义知识点一：有理数的概念整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。例 1 下列说法正确的是（ ）A.一个有理数不是正数就是负数B.一个有理数不是正数就是分数C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数）D.以上说法都正确知识点二：用正数和负数表示相反意义的量. 相反意义的量必

2、须包含两个量。：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类.相反意义的量可以人为的规定其正负。在实际生活中把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。例 3 下列问题中：(1)将水位上升 3m 时水位记作+3m，则水位下降 3m 时水位变化记作-3m.(2)存进1800 元，记作元;取出 600 元，记作-600 元.向东走 8m 记作+8m，向西走 6 m，记作-6m.在一个月内，的身高增加了 3cm，记作+3cm；体重下降了 4kg，记作-4kg.不是同类量的是（ ）知识点三：有理数的分类正整数正整数正有理数整式0正分数有

3、理数负整数有理数0正分数负整数分数负有理数负分数负分数例 给下列有理数分类：-23,0.15， 1 ，-6.18，28，-16,8.1,0，+1， 5 1321知识点四：数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、长度。三要素。数轴的画法：画一条直线确定原点规定正方向根据实际确定长度。在数轴上表示有理数：画出数轴找出各数点写出表示的数。数轴上的点与有理数的关系：1、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示；2、数轴上的点表示的数不全是有理数；3、原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数。数轴上的点的大小比较：1、数轴上表示的两个数左边的数总是比右边的数小2、正数大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；

4、3、两负数相比，距原点近的数比距原点远的数大。例下列四条直线是数轴的是（ ）ACD各3 132例观察数轴上的点比较这些点表示的数的大小。1.8 2.5-1.5 -1/2123-4-3-2 -1 0知识点五：相反数相反数的概念：如果两个数 m，n 互为相反数，那么m+n=0；m=n。相反数的表示：在一个数的前添加“-”表示原来那个数的相反数。多重符号的化简：多重符号的化简由数 前的“-”号的个数决定。当“-”的个数是偶数个时值为正；是奇数个时值为负。相反数的性质：若 a 与b 负为相反数，则 a+b=0，即 a=-b（或 b=-a）任何一个数 a 都有唯一的一个相反数-a，特别的 0 的相反数是

5、 0。当 a0 时，-a0（正数的相反数是负数）当 a0 时，-a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时，-a=0（0 的相反数是 0）例 下列说法正确的是（ ）A.符号不同的两个数复位相反数C.-1.5 的相反数是 32例 写出下列各数的相反数B.0 没有相反数D.m+n 的相反数是-（m+n）31（1） ，（2） ,(3)-(a+1)，(4)a-b2616计算-（-3）=，+（ 例）=。2. -1 0 1 2 3 4. -1 2 3 4 5B.-101数（ ）.-1012例 在数轴上表示下列2, 1,0,1 1 5.5, 例 已知 2x-3 与-5 互为相反数，求 x 点的值知识点六：绝对

6、值绝对值的几何定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数 a 的绝对值记作“ a ”，读作 a 的绝对值，从几何意义上看，数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数。绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。用代数定义法求绝对值：先判断各数的正负性，再根据定义求它的绝对值。 0 ；对于任何人有理数 a 都有（4）绝对值的相关性质：对于任意有理数 a，都有 a；) ，则 ；若 a 0，则 b 0 ； b则a b 或ba若例 下列说法中正确的是（ ）A.有理数的一定是正数B.如果一个数的绝对值是 1，那么这个数是 1C.如

7、果一个数是正数，那么这个数的绝对值是他本身D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数例 已知 m 3n ，求 的值知识点七：有理数大小的比较法则正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。例 比较下列每对数的大小781(1) 与-(2) 3-与3-.33389典型例题例 1 若字母 a 表示一个有理数，则-a 是负数吗？方法技巧：对正负数判定应从定义实质考虑，而不能见到负号就认为是负数，+a 也不一定是正数。例 2 把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12（1）正整数集：（3）负数集：

8、例 3 下列判断正确的是( A.所有的整数都是正数 C.分数一定是有理数；（2）分数集：；（4）非负整数集：)B.正整数，负整数统称为整数D.有理数包括小数和整数例 4 数轴上一动点 A 向左移动两个长度到达 B，再向右移 5 个长度到达 C 点，若点 C 表示的数是 1，则点 A 表示的数是（）D.-2A.7B.3C.-3方法技巧：数形结合的解决问题。3例 5 下列说法正确的是（ ）A.一个数的绝对值一定是正数C.a 的相反数的绝对值等于 a 的绝对值的相反数B.任何正数一定大于它的倒数D.绝对值最小的有理数是 0例 6 已知 a b可能成立的有（ ,在数轴上，给出关于 a, b 的四种位置

9、关系a，则）aA.1 种0aC.3 种0aD.4 种ba0bbb0B.2 种点拨：解这类题目应该注意观察点在数轴上的位置，根据位置决定数的大、小、正、负。方法技巧：解绝对值之类的题目，记住：绝对值里面的式子的正负性非常重要。 3c 0 ，求代数式 3 c2例 7 已知方法技巧： a 是一个非负数，非负数有一个很重要的性质：几个非负数的和为 0，则每个非负数都为0.abc例 8 若,c 均为非零有理数，求的值方法技巧：分类数的符号例 9 计算：例 10 有理数 a, b 满足 1997 ，则（）A. C. B.D.41995 19991996 1920021 43 64 85 106 127 1

10、4cba练习：一、基础练习1、某市 2009 年元旦的最高气温为 2，最低气温为-8，那么这天的最高气温比最低气温高（）.-10B.-6C.6D.102、绝对值小于 4 的整数有（ ）A.3 个B.5 个C.7 个D.8 个3、如图，数轴上 A,B 两点分别对应实数 a, b 则下列结论正确的是（）0B. ab 0C. ab0oA.D.4、绝对值大于 2 小于 5 的所有正整数的和为（）A.7B.8C.9D.105、 2 的相反数的倒数是（）1212D. A.2B.-2C.56、如果x 的相反数的绝对值是 ，则 x 的值是37、如果 m 6 ，且 m0 ，则 m 4 =8、当 x 0 时x9、

11、已知a 0 ，则=310、如果啊a，b 互为倒数，c，d 互为相反数，求2ab 1111、计算325本节课所讲重点内容回顾总结：主讲人：齐老师52x，教 学 讲 义（第 2 讲：有理数加法）( 炎热的夏天 , 寒冷的冬天 首选的辅导方式，旅游出差不用怕只要有网络就能上课)（绿色教学的优点：解决家长学生路途远，价格高，接送不方便，时间错不开等诸多不便）(欢迎加入授课-免费授课群 : 140872163 )（每周三晚上都有 30 分钟免费课，欢迎进群学习）2.1有理数的加法（第 1）【重点、难点】重点：有理数的加法法则和有理数的加法运算的步骤；难点：有理数加法的符号的确定；【过程】一，吨）筑工地仓

12、库一和二水泥的进货和出货数量如下，其中进货为正，出货为负（：问一：列出算术表示这两天水泥进货和出货的合计数量，并算出结果。问二：上述问题中，一该建筑工地仓库的水泥库存是增加了还是减少了？二呢？一、知识讲解：1，有理数的加法法则：一般地，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零； 一个数同零相加，仍得这个数；2、有理数加法运算的步骤：先确定结果的符号，再计算结果的绝对值。学生练）：（）确定下列各题中的符号，并说明理由：（1）（5）（7）；（3）（6）（5）；（2）（3）（10）；（4）

13、（3）（7）；111（5）（ ）（ ）；（6）0（ ）；225有理数加法运算的步骤：先确定结果的符号，再计算结果的绝对值。二、例题板演：例 1：计算下列各式：6进出货情况库存变化一52二34合计（1）（11）（9）；（2）（3.5）（7）；22（3）（1.08）0；（4）（ ）（ ）；33学生练习（二）：计算下列各式：5251（1）（ ）（ ）；（2）（3）（12）；（3）（2）（3）；7763515（2）（4）（1.625）（1）； （5）0（1.25）；（6）（19）（11）；8612学生练习（三）：在数轴上表示下列有理数的运算，并求出计算结果：（1）（2）（4）；（2）（5）4；例 2：

14、某家庭工厂一月份收支结余为1200.50 元，二月份收入为 2000.70 元，问二月底家庭工厂的收支结余情况如何？学生练习（四）：冬天的某一天，哈尔滨的气温为38，的气温为多少度？的气温比比哈尔滨高 32，问当天三、思考题：1、下列两个有理数相加：两个正数；两个负数；一正一负，但正数的绝对值较大；一正一负，但正数的绝对值较小；零与正数；零与负数；那么，（1）和为正数的是（填入代号，下同）；（2）和为负数的是；（3）和的绝对值等于加数绝对值的和的是；和的绝对值等于加数中较大绝对值与较小绝对值的差的是；和等于其中一个加数的是；2.1有理数的加法（第 2）【重点、难点】重点：运用加法的交换律和结合

15、律进行有理数的加法运算；难点：灵活运用运算律，使运算简便；【过程】7一、情景设置：引例 1：已知一辆卡车从 A 站出发，先向东行驶 15 千米，再向西行驶 25 千米，然后又向东行驶 20千米，问卡车最后停在何处？引例 2：计算： (11) (7) ， (7) (11) ；(4) (7) (13) ， (4) (7) (13) ；教师小结：发现加法的交换律和结合律在有理数运算中仍然成立。二、知识点讲解：在有理数运算中，加法的交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，即 a b b a ；加法的结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a b) c a (

16、b c) ；三、：例 1：计算：（1）（14）（4）（1）（16）（5）（2）（2.48）4.33（7.52）（4.33）5116 ( ) ( ) ( )（3）6767一般地，多个有理数相加，可以把正数或负数分别结合在一起相加；一般地，多个有理数相加，有相反数的先把相反数相加，能凑整的先凑整；一般地，多个有理数相加，有分母相同的，先把同分母的数相加；学生练）：计算：（1）（3.5）3（1.5）8（2）（18.65）（7.25）（18.15）（7.25）53（3） (2.25) ( ) ( ) (0.125)842111（4） (4 ) (6 ) (3 ) (2 )3234例 2：一辆玩具，让它

17、从 A 地出发，先向东行驶 15 米，再向西行驶 25 米，然后又向东行驶 20 米，再向西行驶 35 米，问玩具最后停在何处？一共行驶了多少米？学生练习（二）：了一每天的最低温度如下表：这个的平均最低温度为多少摄氏度？四、思考题：数扩展到有理数后，下面这些结论还成立吗？请说明理由（如果认为结论不正确，请举例说明）：若两个数的和是 0，则这两个数都是 0；任何两数相加，和不小于任何一个加数；9一二三四五六日温度2126413五、小结：一般地，三个或三个以上有理数相加，一般是依次相加，对于有括号的式子，应先进行括号里面的运算；灵活运用加法的交换律和结合律进行有理数的加法运算；一般地，多个有理数相

18、加，可以把正数或负数分别结合在一起相加；一般地，多个有理数相加，有相反数的先把相反数相加，能凑整的先凑整；一般地，多个有理数相加，有分母相同的，先把同分母的数相加；本节课所讲重点内容回顾总结：主讲人：齐老师10教 学 讲 义（第 3 讲：有理数减法）( 炎热的夏天 , 寒冷的冬天 首选的辅导方式，旅游出差不用怕只要有网络就能上课)（绿色教学的优点：解决家长学生路途远，价格高，接送不方便，时间错不开等诸多不便）(欢迎加入授课-免费授课群 : 140872163 )（每周三晚上都有 30 分钟免费课，欢迎进群学习）2.2有理数的减法（第 1）【重点、难点】重点：有理数的减法的运算法则，以及法则的应

19、用。难点：在实际生活中，正、负关系的确定以及原有知识的掌握。【方法】观察、归纳、合作交流、对比、类比等。【过程】1，创设情境，激发一天, 厦门的最高温度是 9，哈尔滨的最高气温是-7，那么这一天厦门的最高温度比哈尔滨的最高气温高多少摄氏度？列出算式.2归纳：减去一个数，等于加上这个数的相反数这就是有理数减法法则，由此可见，有理数的减法运算实质转化为加法运算三、实践应用，拓展延伸应用 1： 计算：（1）5（5） （2）075（3）（1.3）（2.1）11（4）1322（5）（6）（5）归纳：有理数减法是转化为有理数加法实施的在进行减法运算时，首先应弄清减数的符号（是“+”号，还是“”号）；将有理

20、数减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一个是运算符号由“”变以“+”号；另一个是减数的性质符号应用 2：某天中午的气温是零上 3，到午夜气温下降了 9，那么午夜的气温是多少摄氏度？11四、尝试反馈，巩固练习1计算1（2） (1（1）(2.5)1.52 )（3）（1）（4）3431（4）1824（5）8（7）152填空：(1)温度 3比8高； (2)温度9比1低； (3)海拔20m 比30m 高； (4)从海拔 22m 到10m，下降了 3已知一个数与 3 的和是10，求这个数4求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离：1111（1）3 与2.2（2）42 与 24（3）4 与4.5 （4）32

21、 与 23你能发现所得的距离与这两数的差关系吗？五、通过上面的练习，你能总结出有理数减法与小学里学过的减法的不同点吗？(1)被减数可以小于减数如： 15 ； (2)差可以大于被减数，如：（+3）（2）； (3)有理数相减，差仍为有理数；(4)大数减小数，差为正数；小数减大数，差为负数；1 根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以成加法运算2.2有理数的减法（第 2）【重点、难点】重点：写成省略加号的和的形式及熟练地进行有理数的加减混合运算难点：能灵活运用加法运算律进行有理数的加减混合运算【方法】比较、归纳、探索、练习等有理数加减混合运算步骤：（1）（2）（3）利用减法法则，将减法为加

22、法省略加号的和的形式，简化算式运用加法交换律、结合律，使运算简单12一、实践应用，拓展延伸（1）（16）（29）（7）（11）（9）；（2）（3.1）(4.5)(4.4)(10.3)(4.5)；1111（3）（2 ）（5）（3 ）（4 ）（43 ）；24）（2 ）（4.7）（0.5）（3.2）5应用 3：一储蓄所在某时段内共理了 8 项现款储蓄业务： 取出 63.7 元，存入 150 元，取出 200 元，存入 120 元，存入 300 元，取出 112 元，取出 300 元，存入 100.2 元问该储蓄所在这一时段内现款增加或减少了多少元？二，尝试反馈，巩固练习1 把下列各式中的减法转化为加

23、法，再写成省略加号的和的形式，并把它读出来：（1）（7）（8）（9）；（2）（32）（17）（65）（24）2计算：（1）7.8（1.2）（0.2）；（2）5.3（6.1）（3.4）7；211131（3）3 4 6 2 ；（4）5.75（34 ）（58 ）3.125；133一电脑公司仓库 8 月 1 日库存某种型号的电脑 20 台，8 月 2 日到 6 日该种型号的电脑进出如下表，问到 8 月 6 日止，库存该种电脑多少台？记运进为正，：台4.某检修小组乘汽车沿公路检修路线，约定前进为正，后退为负，某天从 A 地出发到收工时 所走路线(单位：千米)为：10,3,4,2,8,13,2,12,8,

24、5问收工时距 A 地多远?若每千米耗油 0.2 升，问从 A 地出发到收工时共耗油多少升?五交流，形成结构1有理数加减混合运算步骤：（1）利用减法法则，将减法为加法省略加号的和的形式，简化算式运用加法交换律、结合律，使运算简单2进行有理数加减混合运算使用交换律、结合律的简便方法（1）使符号相同的加数放在一起（2）互为相反数的放在一起（3）使和为整数的加数放在一起（4）使分母相同的加数放在一起六、小结由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则在使用法则时，注意被减数是永不变的14日期8 月 2

25、 日8 月 3 日8 月 4 日8 月 5 日8 月 6 日进出数量30211609课堂练习1计算： (1)-8-8；(2)(-8)-(-8)；(3)8-(-8)；(4)8-8；(5)0-6；(6)6-0；(7)0-(-6)；(8)(-6)-02计算：(1)16-47；(2)28-(-74)；(3)(-37)-(-85)；(4)(-54)-14；(5)123-190；(6)(-112)-98；(7)(-131)-(-129)；(8)341-2493计算：(1)1.6-(-2.5)；(2)0.4-1；(3)(-3.8)-7；(4)(-5.9)-(-6.1)；(5)(-2.3)-3.6；(6)4.

26、2-5.7；(7)(-3.71)-(-1.45)；(8)6.18-(-2.93)5计算：(1)(3-10)-2；(2)3-(10-2)；(3)(2-7)-(3-9)；6当 a=11，b=-5，c=-3 时，求下列代数式的值：(1)a-c；(2) b-c；(3)a-b-c；(4)c-a-b利用有理数减法解下列问题(第 79 题)：7世界最是珠穆朗玛峰，海拔高度是 8848m，陆上最低处是位于亚洲西部的死海湖，湖面海拔高度是-392m两处高度相差多少？ 8分别求出数轴上两点间的距离： (1)表示数 6 的点与表示数 2 的点；表示数 5 的点与表示数 0 的点；表示数 2 的点与表示数-5 的点；

27、表示数-1 的点与表示数-6 的点9某地一周内每天的最高气温与最低气温如下表，哪天的温差最大？哪天的温差最小？10*填空：(1)如果 a-b=c，那么 a=； (2)如果 a+b=c，那么 a=； (3)如果 a+(-b)=c，那么 a=； (4)如果 a-(-b)=c，那么 a=1511*用“”或“”号填空：(1)如果 a0，b0，那么 a-b0； (2)如果 a0，b0，那么 a-b0；(3)如果 a0，b0，|a|b|，那么 a-b0； (4)如果 a0，b0，那么 a-(-b)012*解下列方程：(1)x+8=5；(2)x-(-7)=-3；(3)x-11=-4；(4)6+x=-1013

28、*把下面加减法混合运算的式子改成只含加法的式子：(1)-30-15+13-(-7)；(2)-7-4+(-9)-(-5)本节课所讲重点内容回顾总结：主讲人：齐老师16教 学 讲 义（第 4 讲：有理数乘除法）( 炎热的夏天 , 寒冷的冬天 首选的辅导方式，旅游出差不用怕只要有网络就能上课)（绿色教学的优点：解决家长学生路途远，价格高，接送不方便，时间错不开等诸多不便）(欢迎加入授课-免费授课群 : 140872163 )（每周三晚上都有 30 分钟免费课，欢迎进群学习）2.3有理数的乘法（第 1）【重点、难点】重点：了解有理数乘法法则的发现以及形成过程，掌握乘法法则的关键，运用乘法法则准确地进行

29、有理数的运算。难点：掌握有理数乘法法则中的符号规则，并能准确、熟练地应用于有理数乘法运算中去。有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积为零。(三)指导应用，深化理解例 1 计算3131(1) 1 ；(2) (2.5)4；(3) （5）0；(4) ( )(3)；432351(5) （6）( )（4）(6) ( )1；（7）(7) (1)。45问题 2：几个有理数相乘，因数都不为零时，积的符号怎样确定？有一个因数为 0 时，积是多少？有多个不为零的有理数相乘时，可以先确定符号，再将绝对值相乘。当相乘的数中，负数有奇数个时，积为负；负数有偶数个时，积为正。若其

30、中一个乘数为零时，积为零。总结：一个数乘以 1 都等于它本身；一个数乘以-1 都等于它的相反数5411. 计算：(-3) (1 ) ( )654随堂练习：2.填空；(1)一个数与它的相反数的积(大于 0；小于 0；不大于 0；不小于 0)。 (2)一个数与的积是它本身；一个数与的积是它的相反数。(3)三个有理数的积为 0,那么，这三个数中至少；三个数的积是负数，那么，这三个数的符号情况是。211(4)2 的倒数是；0.1 的倒数是； 的倒数是；1 的倒数是 ；2 的倒数是。322(5)如果两个数的积是1,称它们互为负倒数。那么，2 的负倒数是；0.01 的负倒数是。(6) 一个数的倒数是它本身

31、，这个数是。(7)用“”或“”号连接：如果 a0，b0，那么 ab0；如果 a0，b0，那么 ab 0；如果 a170 时，那么a 2a；如果 a0 时，那么a 2a3.计算：3(1) (2)（1）；(2)（ ）0； (3)4.8(45)； (4)7.2(0.6)；43(5)3(23)(54)(1 )；(6)5(12)733.52.3有理数的乘法（第 2）【重点、难点】重点：进一步掌握有理数乘法法则的运用，验证和探索有理数乘法当中运算律的产生过程，运用乘法的运算律进行有理数乘法的简便运算。难点：有理数乘法运算律的灵活运用。鼓励学生注意观察、勤于分析。【过程】做一做：计算下列各题，并比较它们的结

32、果：(1) (5)2(52) ；2(5)(25) ；(2)2(3)(4)(6)(4)；2(3)(4)212；171；(3)2(3)3 61。(3)(3)(23 )(3)3例 2 计算51124(1) (12) (37) ；(2)6 (10) 0.1；(3) 30( )；6323515(2) (4) 4.99(12)；(5) 71(8)16111例 3 某校体育器材室总共有 60 个篮球。一天课外活动，有 3 个班级分别计划借篮球总数的 ， 和 。请234你算一算，这 60 个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？随堂练习：1123(1)4( )2；(2)（1.2）0.75(1.25)；(3) 3(1 )；573725153(4) ( )()；(5)8( )15；415314612101813(6)2915 (5)；373737(7)4.615.39()3()。四、已知|a|=5,|b|=2,ab0.求：1） ， 3a+2b 的值.2），ab 的值.解：1.|a|=5,a=|b|=2,b=ab-3 的解集是-22， 不等式 x+2 x 的负整数解是-21x3，不等式组的解集是-x 02x x 4，不等式组的正整数解是-x 8