线性系统理论1课件

1、目 录第一章 线性系统的状态空间描述 1.1 系统状态空间描述 1.2 系统按其状态空间描述分类 1.3 化输入输出描述为状态空间描述 1.4 状态方程的对角线规范形和约当规范形 1.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵 1.6 线性系统在坐标变换下的特性 1.7 组合系统的状态空间描述上一页下一页结 束一. 动态过程数学描述的两种基本类型1. 内部变量和外部变量系统是由一些相互制约的部分构成整体，方块以外部分称为系统环境。系统输入环境对系统的作用；用u1,u2,up表示；系统输出系统对环境的作用；用y1,y2,yq表示； 系统输入、系统输出统称为系统外部变量。 1.1 系统的状态空间描述 x1

2、,x2, x3, xnu1u2upy1y2yq内部变量用以刻划系统在每个时刻所处状态的变量是系统内部变量，用x1,x2,xn表征， 即状态。这些变量随时间变化体现了系统的行为。2. 数学描述的两种基本类型 选取不同的变量组间的因果关系，来表征系统的动态过程，可得到两种类型的数学描述： 内部描述 外部描述 1）外部描述（输入输出描述）： 描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量组间的因果关系，即输出和输入之间的因果关系。 单输入、单输出且参数是定常的系统，外部描述为如下形式： y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)+a0y =bn-1u(n-1

3、)+bn-2u(n-2)+b1u(1)+b0u 假定系统具有零初始条件，对上式可取拉普拉斯变换，得到系统复频率描述，即传递函数：2) 内部描述： 描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，它需要由二个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组（x1,x2,xn)和输入变量组间的因果关系的数学表达式（微分方程或差分方程形式），称为状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式（具有代数方程形式），称输出方程。 二. 状态和状态空间 1. 状态和状态向量 状态是指系统的时域行为或运动状态。定义为完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。 状态变量是指能够完全描述

4、系统时域行为的一个最小变量组中的每个变量。 状态向量由状态变量构成的列向量称状态向量。 如某组状态变量有n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t) (t=t0) 则状态向量为： 状态向量简称为状态。2. 状态空间和状态轨迹 状态空间定义为状态向量取值的一个向量空间。状态变量x1(t), x2(t), , xn(t)只能取为实数值，状态空间是建立在实数域上的向量空间，其维数为n，记作Rn。 对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中的一个点。即在特定时刻 t1，状态向量x(t1)处在状态空间Rn中的一个特定点，这个点代表了系统的一个特定状态。 状态轨迹状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的

5、一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。3. 关于状态、状态空间的几点解释： 1） 状态变量组可完全地表征系统行为的属性体现在：只要给定这组变量x1(t), x2(t), , xn(t)在初始时刻t0 的值，以及输入u1(t), u2(t), , up(t)在 t=t0 各瞬时值，则系统中任何一个变量在t=t0时的运动行为也就随之完全确定了。 2） 状态变量组的最小性体现在：状态变量x1(t), x2(t), , xn(t)是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最小个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为不需要的。 3） 状态变量组在数学上的特性体现在： x1(t), x2

6、(t), , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变量组。 4） 状态变量组包含了系统的物理特性，当n为有穷正整数时，相应的系统为有穷维系统，且称n为系统的阶次；当n为无穷大时，相应的系统则为无穷维系统。 5） 状态变量组选取上的不唯一性：由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。 6） 系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换关系， 设 为任意选取的两个状态向量： 因 为线性无关，因此可将x1,x2, ,xn每一个变量表为 的线性组合，即： 其中： 同理 也可表为： 而 PQ = QP = I 即P和Q互逆。三 动力学

7、系统的状态空间描述 1 系统状态空间描述一般情况输入变量组： 输出变量组：状态变量组：系统动态过程描述为：输入引起系统状态变化，状态和输入决定了输出 变化。输入引起状态变化是一个运动过程，采用 微分方程或差分方程表征，即为状态方程，其形 式如下：u1upx1xny1yq动力学部件输出部件引入向量表示：其中： 状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，描述这种转换过程的数学表达式为变换方程，即为输出方程。形式如下：表为向量方程形式：其中： 系统状态空间描述由状态方程和输出方程组成，即：2 线性系统的状态空间描述 如果系统为线性系统，向量函数 f(x,u,t) ，g(x,u,t) 将都具有线

8、性关系。状态空间描述可表为如下： 其中：离散动态过程的状态空间描述离散动态过程的一个特点：系统各个变量只在离散时刻取值，状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系。用k=0,1,2,表示离散时刻。描述形式为：线性离散系统：4 建立状态空间描述途径 分析途径：适用于结构和参数已知的系统 辩识途径：结构和参数未知系统。四 系统状态空间描述的例举：五 状态空间模型1 单输入单输出时变系统的状态空间模型式中： u(t)输入标量函数； y(t)输出标量函数； d(t)标量函数，称直接传递系数。2 多输入多输出时变系统的状态空间模型式中： u(t)p1输入向量； y(t)q 1输出向量。3

9、单输入、单输出定常系统状态空间模型4 多输入、多输出定常系统状态空间模型 1 定义 非线性系统：当且仅当其状态空间描述中向量函数f 和g 至少包含一 个元为变量 和 的非线性函数，则 相应系统为非线性系统。 线性系统：若向量方程 f (x,u,t)和 g (x,u,t)的所有元都是变量 和 的线性函数，则为线性系统。 一 线性系统和非线性系统1.2 系统按其状态空间描述分类 线性系统方框图uA(t)D(t)C(t)xy+B(t)二 时变系统和时不变系统 时变系统：当且仅当系统的状态空间描述中显含时间 t 时，即向量函数 f 和 g或系统矩阵A、B、C、D是 t 的函数时，则为时变系统。 也称之

10、为非定常系统。 时不变系统：其状态空间描述中不显含时间 t 。又称定常系统。 其表达式为： 定常线性系统定常非线性系统三 连续系统和离散系统 连续系统：不管是作用于系统的变量，还是表征系统形状的变量，都 是时间 t 的连续变化过程。 离散系统：当系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间 的因果关系或变换关系，就必须采用离散时间系统来表征。描述为：线性定常离散系统：方框图：u(k)G(k) D(k) C(k)x(k)y(k)+ + +单位延迟 H(k) 确定系统：是指系统的特性和参数是按确定的规律而变化的，且其各个输 入变量（控制、扰动）也是按确定的规律而变化的。 随机系统：与上相反。一

11、 问题的提出 一个单输入单输出线性定常系统微分方程描述为 线性定常系统的状态空间描述具有如下形式： 目的就是如何由（1）式导出（2）式，即选取什么样的状态变量组和如何确定各个系数矩阵A，b,c,d。按不同方式来选取系统的状态变量组，状态空间描述中的系数矩阵组（A,b,c,d）也将相应地不同。1.3 化输入输出描述为状态空间描述二 算法：算法之一：引入微分算p=d/dt，（1）式的输入输出描述又可表示为如下形 式： 当m=n时，上式有理分式是真的，而当mn时这个有理分式是严格真的。而这两种情况的状态空间描述有着不同的形式，所以下面加以分别讨论。（1）当mn时：将（3）式进一步改写为： 或将其表示

12、为如下形式选取状态变量组：由此就可得到：和 由 表示状态向量，即可导出对应于输入输出描述（1）的状态空间描述为： 例：给定系统的输入输出描述为： 利用（8）即可定出相应的一个状态空间描述为： （2）当m=n时，先将（3）中的有理分式进行严格真化，可导出： 由此可进而表为： 选取状态变量组： 对应于输入输出描述（1）的状态空间描述为：例：给定系统的输入输出描述为： 利用（11）即可定出相应的一个状态空间描述为：算法之二： 分为m=0和m=n两种情况来进行讨论。 （1）当m=0时：此时，输入输出描述（1）可写成为：取状态变量组为：由此可导出： (2) 当m=n时，此时，输入输出描述具有如下的形式：

13、把状态变量组取为y和u及它们的各阶导数的适当组合：待定系数的确定： 进而得到：例：给定系统的输入输出描述为： 利用（17）确定出：相应的状态空间描述为：一 基本概念 1 特征方程、特征值 给定状态方程： 特征方程为： 其根为特征值。 一个阶数为n的系统，必有且仅有n个特征值，它们可为实数或以共轭对出现的复数。 2 特征向量 如果 成立，称一个非零向量 为矩阵A的属于特征值 的特征向量。 特征向量不是唯一的，当n个特征值两两互异时，任取n 个特征向 量 必是线性无关。 1.4 状态方程的对角线规范形和约当规范形二 对角线规范形结论：对系统 ，设其特征值 为两两互异，并利用它们的特征向量组成变换阵

14、 ，那么，系统的状态方程在变换 下，必可化为如下的对角线规范形： 证：由其中：例：给定线性定常系统的状态方程为：又由：且特征方程：任取一组线性无关向量特征向量的求法：取取对角规范形为：对结论的几点讨论：1） 在对角线规范形下，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成几个独立的状态变量方程；2） 如果系统矩阵A具有形式 且其特征值 两两不相等，则此时化状态方和为对角线规范形的变换阵可按下述方式组成3） 当特征值 中包含复数特征值时，变换阵P和对角线规范形中的系统矩阵 和 都将为复数阵。三 约当规范形 1 设系统 具有n重特征值 ，可通过非奇异变换将它化为如下形式：式中：称为约当标准形系数矩阵 称（2

15、）式为约当标准形。 2 设系统（1）同时具有互异特征值和重特征值，假定 为q 个互异特征值， 为 重特征值， 为m重特征值，且有 可通过非奇异变换将它化为如下形式：式中： 则将（3）式称为约当标准形。四 非奇异变换阵的选取1 A阵为任意形式的情况设A阵具有n个互异特征值 设 A的n个互异特征值，这时可求出 的特征向量由各特征向量构成的矩阵即为非奇异变换阵P，即式中 就是的第一行的代数余子式（若按第一行展开而代数余子式 全为零时，则可改按其他行展开，以保证 为非零向量）。例：系统的状态空间模型为试将它化为对角线标准形。解：（1）求A的特征值（2）求非奇异变换阵P 按第二行展开：对于：有B）A阵同

16、时具有重特征值和互异特征值 设 为q重特征值， 为（n-q）个互异特征值，则变换阵为：式中： 表示 关于 的一次、二次、（q-1）次导数。例2 系统的状态空间模型为 试将它化为约当标准形。解：（1）求A的特征值（2重根）（2）求变换阵P 按第一行展开： 不合格对于 有 按第二行展开：对于 有：对于重 有对于约当标准形：2. A阵为标准形的情况 设系统的特征方程为（A）A阵具有n个互异特征值 变换阵可按下述方式组成（B）A阵同时具有重特征值和互异特征值 设1为q重特征值， 为（n-q）个互异特征值，则变换阵为：1.5 由状态空间描述导出传递函数矩阵一 传递函数矩阵定义：多输入多输出定常系统，令输

17、入变量组为 ，输出变量 组 ，初始条件为零。用 和 分别表示 的拉普拉 斯变换。 表示系统的由第 j 个输入端到第 i个输出端的传递函数。 则有：向量方程形式：称G(s)为系统的传递函数矩阵。2 真的、或严格真有理传递函数矩阵 （1）当G(s)的元传函gij(s)除严格真外，还包含真有理分式时，即它的一个或一些元传函中分母和分母子多项式具有相等的最高幂次时，称G(s)为真有理分式矩阵。 （2）当G(s)均为严格真有理分式时，即gij(s)的分子多项式的最高幂次均小于分多项式，称G(s)为严格真有理分式矩阵。 （3）判别： G(s)为严格真的 G(s)为真的 二 传递函数矩阵的（A、B、C、D）

18、表示基本关系式 1 结论：对应于状态空间描述的传递函数矩阵为：并且，当 时，G(s)为真的，而当D=0时，G(s)为严格真的，且有 。证：对（1）式作拉普拉斯变换，得：又 每个元多项式的最高幂均小于 。2 G(s)的计算（1）直接计算法 当系统矩阵A的维数较低时（n=3),可采用直接计算法。例 已知：（2） 给定状态空间描述的系数矩阵A，B，C，D，求出和传递函数矩阵可由下式求出：例2 给定系统的状态空间描述为特征多项式为： 一 坐标变换的表征： 坐标变换的含义：是把系统在状态空间的一个坐标系上的表征，化为另一个坐标 系上的表征。通过坐标变换，可以突出系统的某些特性，或者简 化问题的分析计算。 坐标变换的实质：是换基，即把状态空间的一个基底换成为另一个基底。1.6 线性系统在坐标变换下的特性二 系统状态空间描述在坐标变换下的特性1 给定线性定常系统的状态空间描述为：3. 线性时变系统2. 由(1)和(2)所给出的状态空间描述 和 ，两者具有相同的特征值三 系统传递函数矩阵