线性代数矩阵的特征值与特征向量课件_第1页
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文档简介

1、第六章 矩阵特征值问题 本章先引出矩阵特征值与特征向量的概念, 利用线性方程租的求解方法,提出矩阵的特征值与特征向量的有效计算方法, 并给出矩阵对角化的条件, 介绍实对称矩阵对角化的方法.本章的主要内容6.1 矩阵的特征值与特征向量6.2 相似矩阵与矩阵对角化6.3 实对称矩阵的对角化1. 矩阵的特征值与特征向量的定义3. 矩阵的特征值与特征向量的性质6.1 矩阵的特征值与特征向量2. 矩阵的特征值与特征向量的计算1、基本概念定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax = l x，那么数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特

2、征向量注 特征值和特征向量只针对方阵而言 例 则 l = 1 为矩阵 的特征值；为对应于l = 1 的特征向量.2、特征值与特征向量的计算已知所以齐次线性方程组有非零解.特征方程特征多项式特征方程 | AlI | = 0特征多项式 f(l)=| AlI | ( l 为未知数的一元 n 次多项式)求特征值、特征向量的方法:求出即为特征值;把得到的特征值代入上式, 求齐次线性方程组的非零解 x,即为所求特征向量.特征值就是特征方程的根注 在复数范围内 n 阶矩阵有 n 个特征值(重根按重数计算)称集合 1 , , n 为矩阵A的谱(spectrum). 将|1| , |1| , , |n|的最大值

3、称为A的谱半径,记作(A),即例 解例 解解 第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.例 求矩阵的特征值和特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次方程组求非零解.,齐次线性方程组为系数矩阵解 例 求矩阵的特征值和特征向量.特征值为得基础解系是对应于系数矩阵解 例 求矩阵的特征值和特征向量.特征值为得基础解系是对应于齐次线性方程组为 性质1 设 n 阶方阵A的n个特征值为 则矩阵A的主对角元素之和称为矩阵A的迹.3、特征值和特征向量的性质 若A的特征值是, x是A的对应于的特征向量,性质2 (1) kA的特征值是k;(k是任意常数)(m是正整数)证再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就得 若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2 (1) kA的特征值是k;(k是任意常数)(m是正整数)(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1 ,的特征值是且x仍然是矩阵 分别对应于的特征向量.证 若A的特征值是, X是A的对应于的特征向量,性质2 (1) kA的特征值是k;(k是任意常数)(m是正整数)(3)若A可逆,则A-1的特征值是-1 ,的特征值是且x仍然是矩阵 分别对应于的特征向量.

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