现代控制工程理论与应用课件

1、第四章 线性定常系统的综合概 述控制系统综合的目的：设计出一个控制系统，满足性能等要求。控制系统的要求：基本要求其它控制系统综合方法：古典法：“设计校正”现代法：“精确综合”不等式指标：优化型指标：基本综合理论最优控制理论4.1 反馈控制系统的基本结构及其特性4.1.1 输出反馈设n阶系统状态方程与输出方程为：反馈优越性？区别：多变量反馈！线性反馈控制律为：一般情况下，矩阵D=0 (?)，有：维数？通过输出反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为：写成传递函数形式：比较闭环传递函数矩阵和开环传递函数矩阵，有其中： ( 含义? ) ( 分析? ?)4.1.2 状态反馈线性反馈控制律为：通过状态反

2、馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为：一般矩阵D=0，有：其传递函数为： ( 分析? )（1）反馈的引入不增加新的状态变量；（2）可控性无变化。输出反馈保持可观测性，但状态反馈不一定保持可观测性；（3）实现状态反馈的前提是必须能够得到系统状态：或者可以物理量测，或者可以通过状态观测器重构。（4）输出反馈优点：简单易实现，但常常需要辅以补偿器来满足系统性能要求（增加系统维数）。4.1.3 输出反馈与状态反馈特点分析（5）状态反馈优点：可以使系统具有更好的性能。4.2 极点配置4.2.1 基本思想及配置原则 系统稳定性及动态性能由系统极点决定； 极点由特征式即系统矩阵决定； 状态反馈后系统矩阵改

3、变了，极点位置也将发生变化。配置要求：（1 ）对于一个n阶控制系统，可以而且必须给定n个希望的极点；（2）所希望的极点可以为实数或共轭复数；基本思想：通过状态反馈矩阵，可以使闭环系统极点位于所希望的位置。（3）在选取所希望的极点位置时，需要研究它们对系统品质的影响，以及它们与零点分布状况的关系。此外，还要考虑工程实际情况。（4）要考虑抗干扰及低灵敏度问题。应使系统具有较强的抑制干扰能力，对系统参数变化不敏感。4.2.2 单输入单输出状态反馈系统极点配置法定理1对单输入单输出系统以这几个极点为特征根的多项式为：那么存在一个1n矩阵K，使闭环系统：以 为极点的充要条件是闭环系统完全可控。给定任意n

4、个极点 ,可以是实数或共轭复数。证明（充分性） ：如果系统完全可控，则有由于非奇异变换不改变特征值，所以不妨设状态反馈前的系统为可控规范型(?)，即其传递函数为设状态反馈矩阵为于是闭环系统传递函数为因此，只需取则当就可使即以任意给定的 为极点。对完全可控的单输入单输出系统，极点配置不改变系统零点分布状态。由于n阶系统含有n个可以调节的参数，因此状态反馈对系统品质改进程度远比输出反馈好。极点配置法常用于进行系统校正（效果？）。若系统为一般形式，矩阵K可按下式计算：小结：式中 TC 为使系统化成可控标准型的相似变换阵。系统状态反馈后系统完全可观测条件：设如下单输入单输出系统是可控又可观测的：且具有

5、如下可控规范型形式：则采用系统状态反馈后，闭环系统仍保持可观性的充要条件是：即原系统是无零点系统。当控制系统工作于伺服状态时，除了要确定反馈矩阵K外，通常还引入比例放大器k，此时系统闭环传函为：无零点系统特点？（输入不带导数项！）伺服系统极点配置原理图比例放大器为何要放在前端？多输入、多输出系统状态反馈后保持可观性条件？单输入、单输出系统极点配置计算步骤:设系统状态方程为使闭环系统的特征值为 时反馈矩阵K的计算步骤为： （1） 检验系统的可控性。如果系统是可控的，进行下一步；（2） 从矩阵A的特征多项式来确定 值；（3） 求（4） 利用期望的特征值，写出期望的特征多项式并确定 值（5 ）求状态

6、反馈矩阵KExample设系统状态方程为式中希望该系统的闭环极点为试确定状态反馈增益矩阵K（1）首先检验系统的可控性矩阵可控性矩阵的秩为3，系统完全可控（2）矩阵A的特征多项式因此（4） 利用期望的特征值，写出期望的特征多项式（3）求（5） 求状态反馈增益矩阵K4.2.3 多输入系统极点配置法设多输入系统状态空间表达式为：其中： x为n维， v为r维引入线性反馈控制律：其中 K为r n维反馈矩阵，则闭环系统状态方程变成：方法1：转化为等价的单输入系统方法2：利用多变量系统的可控规范型分析：闭环特征式只有n个待定系数！ 单输入单输出系统，矩阵K唯一； 多输入系统，矩阵K有nr个待定元素，结 果不

7、唯一！处理：4.3 系统镇定问题镇定问题： 受控系统通过状态反馈或输出反馈，使得闭环系统渐近稳定，这样的问题称为。4.3.1 概述 古典控制论中： 闭环比开环有优越性，但前提是闭环必须稳定； 开环稳定，闭环稳定否？开环不稳定呢？现代控制论： 利用状态反馈等可获得优异性能，但构成的反馈系统是否稳定呢？4.3.2 镇定方法（状态反馈/输出反馈） （1 ）完全可控系统镇定方法设系统状态方程为反馈方程为镇定条件： 只要闭环极点位于复平面的左半平面内（若是离散系统，只要求闭环极点位于复平面单位圆内）。注意“稳定”、“渐近稳定”、“镇定”区别与联系！引入状态反馈矩阵后，系统状态方程为：由于系统是可控的，根

8、据极点配置理论可知，可以通过状态反馈矩阵使闭环系统的极点得到任意配置，因此，只要适当处理，就可以将闭环系统的特征值配置在s平面的左半平面。分析：通过状态反馈矩阵K，可以使完全可控系统镇定。（2 ） 系统不完全可控时镇定处理 如果系统不完全可控，则线性状态反馈使系统获得镇定的充要条件为：系统不可控部分是渐近稳定的，即系统不稳定的极点全部分布在系统的可控部分。如果系统是完全可控的，则系统可镇定。系统可镇定，状态不一定完全可控。分析： 古典控制论中：开环系统不稳定，闭环系统仍可稳定。不完全可控系统镇定条件：（3 ） 线性定常系统输出反馈镇定问题通过输出反馈，可以使系统镇定的充要条件是：（1）其可控又

9、可观测部分是可以镇定的。（2）其可控不可观、可观不可控或既不可观又不可控部分的特征值具有负实部。如果线性系统输出反馈是可镇定的，则该系统状态反馈必可镇定。但是，一个状态反馈可以镇定的系统其输出反馈不一定可镇定。推论：比状态反馈镇定条件严格。因输出反馈对系统性能改善能力也不如前者，故现代控制论中，常用状态反馈。Example考虑线性定常系统其中分析其输出反馈可镇定性条件通过对系统(A,B,C)的可控性矩阵M和可观测性矩阵N的分析可知，系统(A,B,C) 是完全可控和可观测的。系统(A,B,C)的特征多项式为由Roth判据可知，系统不是稳定的。采用输出反馈式中反馈矩阵为则闭环系统的系数矩阵为闭环系

10、统的特征多项式为根据Roth判据，可以得出闭环系统特征根都具有负实部的参数及其取值范围若取则闭环系统的特征多项式为其特征根为可见闭环系统是渐近稳定的，即通过输出反馈可以使系统得到镇定。4.4 系统解耦问题 多输入多输出系统的传递函数矩阵一般具有下面的形式：耦合：4.4.1 概述由于每一个输入 和多个输出有关联；每一个输出 受多个输入控制。使每个输出仅受一个输入控制，而且不同输出受不同输入控制，即将传递函数阵变换成非奇异对角型形式：这种现象称为耦合。解耦：耦合给系统分析、综合、使用带来困难（举例）。4.4.2 补偿器解耦如图所示，设Gp为原系统的传递函数矩阵，Gc为补偿器传递函数矩阵。则前向通道

11、函数矩阵为：反馈回路矩阵为解耦原理：为何将补偿器放在前面？闭环系统的传递函数矩阵为：整理，得或则 应为对角矩阵！(分析？)为了实现解耦，要求W(s)为对角矩阵， I-W(s)也为对角矩阵。解耦计算：已知系统方块图与期望的传递函数对角矩阵W(s)（1）首先求出不包含补偿器的受控对象部分的传递函数矩阵Gp(s)（2）根据（3）解耦条件？输入、输出维数相等，原系统传函阵满秩，4.4.3 状态反馈解耦设系统状态空间表达式为状态反馈系统方块图为其中，Q为输入变换矩阵，K为非奇异的反馈矩阵。其反馈方程为：设系统输出矩阵C的行向量分别为采用输入信号变换状态反馈控制使系统解耦的充要条件为（有条件的！）：矩阵E

12、是非奇异矩阵!式中 di 为0到n-1间的一个正整数。若选取反馈矩阵式中输入信号变换矩阵：则图示闭环系统的状态空间表达式为：系统闭环传递函数矩阵为：解耦计算步骤：（1）求E，并判定奇异性；若非奇异，继续；（2）求Q和K；（3）写出解耦系统状态方程；（4）写出传递函数矩阵。分析：解耦后，传函对角线各元素均为积分环节。称为积分型解耦系统。积分型解耦系统的闭环极点全是零，使系统不稳定。因此需要通过极点配置进一步加以校正。两种解耦方法比较？4.5 状态观测器概述： 系统输出 系统状态：关键在状态！(怎知？) 利用状态反馈可以配置理想极点，获得希望的动态性能（系统可控条件下）； 利用状态反馈可以实现系统

13、镇定； 利用状态反馈可以使系统解耦（一定条件下）。 前提条件：如何得到全部状态变量！研究系统状态的意义：状态重构： 根据系统可量测参量，人为构造出系统状态，使之在一定条件下与真实状态等价。系统状态反映的是系统各阶动态行为；为内部变量，无法全部直接量测；系统输出能够反映状态变化，但为状态的线性组合，不能直接得到各阶状态！放弃状态? or 状态重构?状态获得分析：复杂系统几乎没有不使用状态观测器的！状态重构基本要求：可替代性：构造出的状态应在一定程度上与真实状态等价。 重构系统也必须是动态系统，且应与原系统同步 同一个输入，系统结构相似！ 重构出的状态要满足一定精度要求 误差分析！重构系统响应要快

14、 初始状态没法一样！下面看一下如何解决这些问题。设系统是可观测且线性可微的，其动态方程为 以原系统的输入u和输出y作为重构系统的输入（？），其动态过程可描述为为加权矩阵（配置矩阵）重构原理：-状态观测器的误差模型为定义的差为误差向量，即有其解为误差向量的动态特性由矩阵的特征值决定如果矩阵是渐近稳定，则对任意初始误差向量的误差都将趋于0。换言之，不管和的值如何都将收敛到由于系统是可观测的（哪一个？），总存在一个 使得 具有任意所期望的特征值。分析：状态观测器：如果动态系统 以系统 的输入和输出作为它的输入量，并满足 ，则称动态系统 为 的状态观测器。状态观测器构建原则：（1）观测器以原系统的输入

15、和输出作为其输入；（2）观测器设计条件：原系统可观测，或者x中不可观测部分是渐近稳定的(?)；（3）估计出的系统状态 要尽快逼近x；（4）观测器要具有高的抗干扰性；（5）观测器的结构应尽可能简单。4.5.2 全维状态观测器考虑线性定常系统假设系统是完全可观测的，u和y可直接测量。是一个以y和u为输入的n维动态系统，不论该系统与原系统之间的初始状态的关系如何,该系统的状态与原系统的状态之间总存在如下关系：全维状态观测器:观测器框图：-全维状态观测器的状态方程为其中： 是反馈修正项，目的是用 来消除 的误差。Ke应按照前面给出的条件确定。状态观测器极点选取？比被观测系统极点稍远一些。 对阶数较高的

16、复杂系统设计观测器时，需先化成可观测规范型。4.5.3 降维状态观测器考虑线性定常系统 既然系统具有m个输出，则可以得到m个状态，这些状态可以直接加以利用而无需重构，这样由状态观测器估计的状态数目可以降低，这类状态观测器称为降维观测器。基本思想： 简化了状态观测器结构，节约了成本；提高了状态重构速度，便于应用！ 如何应用m个输出变量（分析）？余者如何重构？ 为了将m个输出分量作为状态向量使用，需作如下坐标变换，即：其前m行为输出矩阵C，后（n-m)行可以任意构造，只要保证P为非奇异矩阵即可。坐标变换矩阵P可按下法构造：m个输出如何使用？（1）求出m个状态？（2）直接将输出作为“某种状态”使用？

17、将P的逆矩阵分块为则由得：仅需重构(n-m）维状态分量经坐标变换 ，状态空间表达式为：令：得：包含 的子系统的状态空间表达式为：重新定义输入和输出，即：则构造关于的(n-m)维状态观测器由于系统完全可观测，可以选择的所有特征值。任意配置将的定义式代入，可得为消去导数项，引入变换则它是一个以u,y为输入的(n-m)维动态系统由于系统完全可观测，可以选择的所有特征值。任意配置由则整个系统的状态重构值为状态重构过程： 降维观测器的设计算法：条件：系统(A,B,C) 可观测，C为行满秩，且秩为m(1)构造变换矩阵P, 其前m行即为C，并添上后(n-m)行,使得P为非奇异矩阵。令(2)利用坐标变换 将系

18、统(A,B,C)化成(3)选择 维矩阵 使得矩阵 具有预先指定的特征值（4）构造（n-m）维降维状态观测器，以获得变量z（5）构造出系统的重构状态全维、降维状态观测器比较：（1）降维观测器结构简单，易实现；（2）全维观测器中输出y经积分滤波后传送到输入端，重构状态中的观测噪声大为减小；（3）在降维观测器中，输出y经Q1矩阵直接传送到重构状态中，若y中包含了严重的观测噪声，则重构状态的精度要受到很大影响。4.6 带状态观测器的状态反馈控制系统特性 带全维状态观测器的状态反馈控制系统，由于系统方程为n维，状态观测器也为n维，所以整个系统为2n维。问题： 加挂了状态观测器后，对整个系统有无影响？分析

19、(以全维状态观测器为例)：系统结构图如后图所示。整个闭环系统的状态方程可写为写成矩阵形式为了便于分析，引入n维观测误差向量 。其一阶微分为：整理后，得：复合系统的特征方程为：n维观测误差向量对u是不可控的，即无论u如何，观测误差向量都按预先设计的速度趋向于零。即：因：状态反馈极点配置要求状态重构极点配置要求控制器的动态特性与观测器的动态特性是相互独立的；状态反馈的引入也不影响已经设计好的观测器的特征多项式 及其相应特征值。 状态反馈控制律的设计与状态观测器的设计可分开独立进行。 “分离原理”。观测器的引入不影响由状态反馈矩阵K所配置的系统特征多项式 及相应的特征值；4.7 渐近跟踪鲁棒调节器4

20、.7.1 概述 随动控制问题，又常称为跟踪问题。控制系统分类中，按照控制目的： 恒值控制：使系统输出值保持恒定； 随动控制：系统输出以给定精度跟踪参考输入信号，即系统输出随输入变化而变化。系统输入信号分类：控制信号：使系统正常工作施加的信号；扰动信号：系统工作时受到的其它外部信号。扰动信号分类：随机性扰动：具有随机性质的扰动信号；确定性扰动：具有确定函数形式的扰动信号。 本节只讨论在确定性扰动作用下受控系统的跟踪问题。 在系统输入信号r(t)和扰动信号w(t)共同作用下，线性定常、可控又可观系统状态空间表达式为：其中：设计目标：确定控制律u(t)，使得系统输出y(t)在扰动作用下仍然能够准确跟踪参考输入信号r(t)。跟踪误差：跟踪条件（渐近跟踪）：对线性定常系统，上式等价于：及：渐近跟踪外扰抑制标称模型（ nominal model )：设计时依据的数学模型，称为。鲁棒性（robustness）： 若系统实际模型与标称模型存在较大差异时，系统仍然具有较好的控制品质，称控制系统具有较好的鲁棒性。设计系统时，